高等数学（第二版）下册课件：幂级数

幂级数8.3.1

函数项级数

8.3.2

幂级数及其收敛性

8.3.3

幂级数的运算1.正项级数的比较审敛法、比值审敛法.预备知识:3.级数

当

时收敛，

时发散.2.等比级数当时收敛，当时发散函数项级数的定义由这函数列构成的表达式:称为定义在区间

上的函数项级数.一般地,由定义在某一区间

上的函数列8.3.1函数项级数收敛点与收敛域

在函数项级数

中,若令

取定义区间中某一确定值

,则得到一个常数项级数若该常数项级数收敛,则称点

为函数项级数

的一个

收敛点，反之,若该常数项级数发散,则称点

为函数项级数

的发散点．函数项级数

收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.和函数

若

是收敛域内的一个值,则必有一个和

与之对应,即当

在收敛域内变动时,由上述对应关系,就得到一个定义在收敛域上的函数,使得这个函数

就称为函数项级数

的和函数．将函数项级数

的前项和记为

,即则在收敛域内有记

,

称为函数项级数的余项(只有当点为收敛点时才有意义)

,

并有

成立.试求函数项级数

的收敛域．级数可看作公比为

的等比级数,其敛散性取决于公比解

例8.3.1的绝对值.分析当时级数收敛;当时级数发散,故级数的收敛域为且其和为，即:8.3.2幂级数及其收敛性函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是称为在

或

处的幂级数,其中都是常数,称为幂级数的系数．特别地,

时的幂级数为最简单的幂级数.幂函数的函数项级数,即令

,就可以将幂级数

化为,

所以我们主要讨论幂级数

.为了求幂级数的收敛域,我们给出如下定理.即为这种形式的幂级数.定理8.8[阿贝尔(Abel)定理](1)若幂级数在处收敛,则对于满足的一切,级数绝对收敛．(2)若幂级数在点处发散,则对于满足的一切,级数均发散.证明(1)设收敛,由级数收敛的必要条件知,又由收敛的数列必有界知，存在常数M＞0,使得当

时,,等比级数

收敛.由正项级数的比较审敛法知,幂级数

收敛,从而级数

绝对收敛.于是(2)的证明利用反证法.若幂级数在

处发散,而有一点

满足

使得级数收敛,则根据(1)的结论知,级数在处必收敛,这与已知相矛盾,定理得证.阿贝尔定理告诉我们：若幂级数在处收敛,则该幂级数在内绝对收敛;若幂级数在处发散,则该幂级数在内发散．我们假设幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散得如下重要推论：侧,且由定理8.8知,它们到原点的距离是相等的.由此我们可从原点沿数轴向左方走,情形也是如此.两个界点在原点的两遇到发散点.这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点.点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只推论如果幂级数

不是仅在

点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的数

存在,使得(1)当时,幂级数绝对收敛;(2)当时,幂级数发散;(3)当与时,幂级数可能收敛也可能发散.正数通常叫做幂级数的收敛半径,开区间叫做幂级数的收敛区间.根据幂级数在处的敛散性,可以确定幂级数的收敛域为中的某一个.特别地,当幂级数仅在处收敛时,规定其收敛半径为;当在整个数轴上都收敛时,规定其收敛半径为,此时的收敛域为.关于幂级数收敛半径的计算,有以下定理.定理8.9设是幂级数的收敛半径,而幂级数的系数满足,则(1)当时,.(2)当时,.(3)当时,.证明考察幂级数的各项取绝对值所成的级数有(1)若,由达朗贝尔比值审敛法知,当即时,收敛,从而绝对收敛;当即时,发散,且一般项不趋于0,则也不趋于0,由级数收敛的必要条件知,级数发散.综上,幂级数的收敛半径为.(2)若,则,即对任意,收敛,从而幂级数绝对收敛,且收敛半径.(3)若,则对任意,

,级数的一般项不趋于0，故发散.所以幂级数仅在处收敛,其收敛半径为.例8.3.2求下列幂级数的收敛半径及收敛域:分析利用定理8.9.解故收敛半径为,收敛域为.

故收敛半径为0.例8.3.3求的收敛半径和收敛域.分析利用定理8.9求出收敛半径,再判断级数在端点处的敛散性,从而确定收敛域.解

收敛半径当时,级数为,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.当

时,级数为,为

的p级数,该级数发散．综上,幂级数的收敛半径为,收敛域为.例8.3.4求幂级数的收敛域.分析先作变量替换,求出级数的收敛域,

再利用关系求出级数的收敛域.解令,级数变为收敛半径.当时,级数成为,此级数发散;当时,级数成为,此级数收敛.因此级数的收敛域为.即,所以原级数的收敛域为.

例8.3.5求幂级数的收敛半径.分析级数缺少奇次幂的项,定理8.9不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径.解幂级数的一般项记为当

即时级数收敛;当即时级数发散,所以幂级数的收敛半径为.8.3.3幂级数的运算性质1(代数性质)设幂级数、的收敛半径分别为、,和函数分别为、,则有(1)在中,幂级数(2)在中,幂级数其中性质2设幂级数

的收敛半径为

,则其和函数在收敛区间内连续,如果幂级数在端点

处收敛,则和函数在

处左连续,如果幂级数在端点处收敛,则和函数在

处右连续.性质3在幂级数的收敛区间上,和函数导数存在,且且逐项求导后的幂级数和原幂级数的收敛半径相同,但收敛域可能发生变化．性质4在幂级数的收敛区间上,和函数积分存在,且逐项积分后的幂级数和原幂级数的收敛半径相同,但收敛域可能发生变化.例8.3.6求级数的和函数.分析先求出级数的收敛域,利用和函数的性质将和函数与等比级数联系起来.解先求幂级数的收敛域,由,得收敛半径为在处,级数为,极限不存在,级数发散;在处,级数为,

,亦发散,级数发散;所以幂级数的收敛域为设幂级数的和函数为,即例8.3.7求幂级数的和函数.分析先求出级数的收敛域,利用和函数的性质将和函数与等比级数联系起来.易求得幂级数的收敛域为.解设幂级数的和函数为,即当时,有由和函数在收敛域上的连续性,

综上得例8.3.8求级数的和.利用例8.3.7的结论.分析解和函数为,则在例8.3.7中已得到,于是考虑幂级数,此级数在上收敛,设其例8.3.9求级数的和函数.分析先