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分部积分法引言上一节我们提到了有很多看似简单的函数利用换元法是无法求出积分的，诸如

等，像此类的不定积分，需要用到求不定积分的另一种基本方法――分部积分法．移项得对这个等式两边求不定积分，得此公式称为分部积分公式.如果积分不易求,而积分比较容易时,用分部积分公式就可以计算了.具体推导过程如下：设函数及具有连续导数．那么，两个函数乘积的导数公式为通常将上式变形，得到如下更易记忆的形式:

1.仔细观察，将被积函数分成两部分和，并变为的形式；2.代入公式，计算，使；3.计算，从而算出整个积分值.分部积分法可分为以下几步完成：解(1)若选择，，则，于是

例4.3.1

求

分析由于被积函数是是两个函数的乘积,选其中一个为,那么另一个即为．到底谁为呢？我们不妨两种都试一下.这样做的结果就是新得到的部分比原积分更加难求，因此这种选择行不通.(2)若选择，，于是由此例可以看到，如果和选取不当，就求不出结果．所以应用分部积分法时，恰当选取和是关键，一般以比易求出为原则.

例4.3.2求下列不定积分.(1)；(2).分析两道例题皆是含有，若将其作为，则很难得到，因此.解：(1)

(2)

例4.3.3求下列不定积分.(1)；(2).分析两道例题皆是含有反三角函数，若将其作为，同样很难得到，因此只能将其作为.解（1）

(2)若被积函数是指数为正整数的幂函数(或常函数)和对数函数或反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并选择幂函数为．反之，若被积函数是指数为正整数的幂函数(或常函数)和指数函数或三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并选择幂函数为．．解

分析被积函数是幂函数(指数为正整数)和三角函数的乘积，选择幂函数为容易求解.例4.3.4求

例4.3.5求．解类似的方法可求

例4.3.6求．解令，则.于是

例4.3.7求.令

，解则

.

*例4.3.8求．解思考

试求.小

结

本节以分部积分法为重点，解决了一大类典型函数的积分问题，为以后的章节打下了基础.目前为止，我们已经学习不定积分的两种主要方法——换元法和分部积

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