+【公开课】等式的性质++教案+2024-2025学年人教版数学七年级上册

第五章一元一次方程5.1.2《等式的性质》

一、教材分析本节课《等式的性质》是人教版初中数学七年级上册第5章第一节内容的第3课时，等式的性质在教材中占据重要地位，是学生学习数学不可或缺的基础知识之一，等式的性质是连接算术与代数的桥梁，是数与代数领域的基础内容之一，对于后续学习方程、不等式、函数等内容具有重要作用．在算术阶段，学生主要学习数的运算和简单的应用题；而在代数阶段，学生需要学习用字母表示数、建立方程等更高级的数学概念．等式的性质正是这一过渡过程中的重要环节，教材首先明确等式的定义，即表示两个数学表达式相等（用等号“=”连接）的式子．这是理解等式性质的基础．进而深入学习等式的两个基础性质．这些性质是后续解方程和进行数学推理的重要工具．本课时要求学生理解和掌握等式的两个基本性质，以及如何利用等式的性质解一元一次方程．通过具体例题，展示如何将方程逐步化简为“x=m”的形式，从而求出未知数的值．教材中设置典型的例题及练习，包括直接应用等式性质进行化简、解方程等类型的题目．这些习题旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力．这个过程不仅锻炼了学生的计算能力，还加深了他们对等式的性质的理解，通过学习等式的性质和应用等式的性质解决问题，可以培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力和问题解决能力．对于学生未来的学习和生活都具有重要意义．

二、学情分析本节《等式的性质》内容是在学生已经对等量关系和等式有了初步的认识基础上进行的．在小学阶段，学生已经接触过简单的等式，并能够通过观察和实践理解等式的基本概念．初中阶段的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的时期，他们开始具备更强的逻辑思维能力和归纳总结能力．因此，在教学过程中，应注重引导学生通过观察、分析、归纳等方式，逐步理解等式的性质．掌握等式的性质是解决数学问题的基础和关键．鼓励学生自主探究和归纳，培养他们的自主学习能力和批判性思维．设计多样化的练习题，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力．鼓励学生积极主动进行思考、分析、交流，直到解决问题．课堂立足于学生的“学”，要求学生多观察．课堂采用自主探究和合作交流的方法组织教学，使每位学生都参与到课堂当中，体会到数学的乐趣．

三、教学目标1．了解等式的概念，理解并掌握等式的性质并能灵活运用，能准确应用于解一元一次方程的过程．2．应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x＝m”的形式．3．经历等式的性质的探究过程，培养观察、归纳的能力，提高学生的迁移运用能力．在运用等式的性质解方程的过程中，渗透化归的数学思想．4．小组合作共同探究，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨的数学思维习惯和良好的学习习惯．

四、教学重难点重点：了解等式的概念，理解并掌握等式的性质并能灵活运用，能准确应用于解一元一次方程的过程．难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x＝m”的形式．

五、教学过程活动一温故旧知练一练1．下面等式中哪些是一元一次方程？(1)9+3=4+8；(2)12y－8=5－y；(3)2x2+3x+6=19答案：(1)不含未知数，不是一元一次方程．(2)满足一元一次方程的条件，是一元一次方程．(3)未知数的次数不是1，不是一元一次方程．2．x=2，x=3是方程10x=15(x－1)的解吗？答案：当x＝2时，方程10x=15(x－1)，左边＝10×2＝20，右边＝15×(2－1)＝15．方程左、右两边的值不相等，所以x＝10不是方程的解．当x＝3时，方程10x=15(x－1)，左边＝10×3＝30，右边＝15×(3－1)＝30．方程左、右两边的值相等，所以x＝3是方程的解．问题1：观察方程2x＝3，x＋1=3，直接说出它们的解．答：通过观察方程2x＝3，因为2×32＝3，所以x＝3方程x＋1＝3，因为2＋1＝3，所以x＝2．问题2：你能求出方程12－3y＝5y－68的解吗？总结：像2x＝3，x＋1＝3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，但是对于比较复杂的方程(如：12－3y＝5y－68)，仅靠观察来解方程是困难的．因此，还要研究怎样解方程．方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质．师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答．设计意图：通过回顾旧知、引发好奇和直接体验，激发学生对新知识的兴趣和探索欲．通过做题回顾上节课所学知识“检验方程的解”和“识别一元一次方程”，题目设置由认识一元一次方程到检验方程的解到自己探究方程的解一步步引出本节课将要学习的新知识，为本节课进一步学习等式的性质以及运用等式的性质解方程打下基础．通过回顾旧知进一步提出“不止要会验证方程的解，还需要求出方程的解”，这自然引发了学生的好奇心，促使他们思考如何求解方程中的未知数．从而唤起新思维的过程，搭建知识框架，为新知识的学习提供支持，并引发学生的思考，为学习新课做铺垫．活动二回顾等式的定义问题3：什么是等式？答：像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2，3x＋1＝5y这样的式子，都是等式．我们可以用a＝b表示一般的等式追问：由等式a＝b，你能想到什么？答：关于等式的两个基本事实：(1)等式两边可以交换．如果a＝b，那么b＝a．(2)相等关系可以传递．如果a＝b，b＝c，那么a＝c．问题4：判断哪些是等式？(1)2a＞b(2)3m＋4a(3)6x－9＝8(4)9＋8＝17答：(3)和(4)满足等式的定义，是等式．师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示．设计意图：帮助学生明确概念，通过具体的例子，让学生识别哪些表达式是等式，哪些不是，从而进一步加深对等式定义的理解．这种识别过程有助于学生明确等式的核心特征——即用等号连接两个相等的数学表达式．建立逻辑联系，促进知识迁移和培养数学思维，确保学生能够准确理解并应用后续的性质，为后续的学习等式的性质打下坚实的基础．活动三探究等式的性质问题5：在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等．引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试．答：4×6＝3×84×6＋2＝3×8＋2；4×6＋(－3)＝3×8＋(－3)；4×6－2＝3×8－2；4×6－(－3)＝3×8－(－3)；4×6×2＝3×8×2；4×6×(－3)＝3×8×(－3)；4×6÷2＝3×8÷2．4×6÷(－3)＝3×8÷(－3)．结论：等式的性质1等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a＝b，那么a±c＝b±c等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a＝b，那么ac＝bc．如果a＝b，c≠0，那么ac＝b师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示．设计意图：通过让学生观察和分析这些等式，引导他们探究等式可能具有的性质．例如，观察等式两边在进行相同数学运算后的变化，从而发现等式的两个性质．探究等式的性质不仅是对知识的学习，更是对学生数学思维的培养．它要求学生具备观察、分析、归纳和推理的能力，从而能够从具体例子中抽象出一般规律．等式的性质是后续学习方程、不等式等代数知识的基础．通过探究等式的性质，学生可以建立起解决代数问题的基本思路和方法，为后续学习打下坚实的基础．活动四巧用性质来变形【教材例题】：例3根据等式的性质填空，并说明依据：(1)如果2x＝5－x，那么2x＋_____＝5；(2)如果m＋2n＝5＋2n，那么m＝_____；(3)如果x＝－4，那么_____·x＝28；(4)如果3m＝4n，那么32m＝_____·n解：(1)2x＋x＝5；根据等式的性质1，等式两边加x，结果仍相等．(2)m＝5；根据等式的性质1，等式两边减2n，结果仍相等．(3)－7·x＝28；根据等式的性质2，等式两边乘－7，结果仍相等．(4)32m＝2·n；根据等式的性质2，等式两边除以2师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答．设计意图：通过具体的填空题目，让学生回顾并巩固等式的性质，这些性质是后续解决更复杂代数问题的基础．题目要求学生根据等式的性质进行填空，并说明依据，这不仅能够锻炼学生的解题能力，还能促使他们养成在解题过程中明确每一步骤依据的好习惯．通过说明依据，学生可以更深入地理解等式的性质，并学会如何将这些性质应用到实际问题中，这些例题不仅限于对等式性质的直接应用，还涉及到一些简单的代数运算和变形．通过解答这些题目，学生可以学会如何将等式的性质与代数运算相结合，从而解决更复杂的代数问题．这种知识迁移能力对于学生后续学习代数知识具有重要意义．活动五利用性质解方程例4利用等式的性质解方程：(1)x＋7＝26；(2)－5x＝20；(3)－13x－5＝4分析：要使方程x＋7＝26转化为x＝m(常数)的形式，需要去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出x的值．类似地，利用等式的性质，可以将另外两个方程转化为x＝m的形式．解：(1)方程两边减7，得x＋7－7＝26－7，于是x=19．(2)方程两边除以－5，得－5x－5＝20－5(3)方程两边加5，得－13x－5＋5＝4＋5．化简，得－13x＝9．方程两边乘－3，得x＝－总结：解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x＝m(常数)的形式．等式的性质是转化的重要依据．一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等．例如，将x＝－27代入方程－13x－5＝4的左边，得－13x×27－5＝4．方程的左、右两边的值相等，所以x＝－27是方程－13x－5师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答．设计意图：通过例题学生学习并掌握利用等式的性质解方程的基本方法．这是代数学习中的基础技能，对于后续更复杂的方程求解至关重要．通过解决这些方程，学生可以更深刻地理解等式性质的意义和重要性．解方程的过程涉及到代数运算，如加法、减法、乘法和除法等，通过反复练习这些方程，学生可以提升他们的代数运算能力，培养解题步骤的规范性，为后续的代数学习打下坚实的基础．解方程是一种问题解决的过程，学生需要分析问题、确定解题策略、执行解题步骤并验证结果，通过这个过程，学生可以增强他们的问题解决能力，学会如何面对并解决复杂的数学问题．活动六运用新知显身手【教材练习】1．根据等式的性质填空：(1)如果x＝y，那么x＋1＝y＋____；(2)如果x＋2＝y＋2，那么____＝y；(3)如果x＝y，那么____·x＝5y；(4)如果3x＝6y，那么x＝____·y．解：(1)x＋1＝y＋1；根据等式的性质1，等式两边加1，结果仍相等．(2)x＝y；根据等式的性质1，等式两边减2，结果仍相等．(3)5x＝5y；根据等式的性质2，等式两边乘5，结果仍相等．(4)x＝2y；根据等式的性质2，等式两边除以3，结果仍相等．2．利用等式的性质解下列方程，并检验：(1)x－5＝6；(2)0.3x＝45；(3)5x＋4＝0；(4)2－(－x)＝3．解：(1)方程两边加5，得x－5＋5＝6＋5，于是x＝11．检验：将x＝11代入方程左边，得11－5＝6．方程的左、右两边的值相等，所以x＝11是方程的解．(2)方程两边除以0.3，得0.3x0.3＝450.3．于是检验：将x＝150代入方程的左边，得0.3×150＝45．方程的左、右两边的值相等，所以x＝150是方程的解．(3)方程两边减4，得5x＋4－4＝0－4．化简，得5x＝－4．方程两边除以5，得x＝－4检验：将x＝－45代入方程的左边，得5×(－45)＋4＝0．方程的左、右两边的值相等，所以x＝－(4)方程两边减2，得2－(－x)－2＝3－2．化简，得－(－x)＝1．得x＝1．检验：将x＝－1代入方程的左边，得2－(－1)＝3．方程的左、右两边的值相等，所以x＝1是方程的解．师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答．设计意图：让学生进一步巩固所学知识，填空题要求学生准确识别并应用等式的性质进行填空，这有助于培养学生的观察力和推理能力．解方程并检验的题目则要求学生掌握解方程的基本步骤和技巧，如何将方程最终转化为“x=m”的形式，并学会检验解的正确性，这有助于培养学生的解题技能和严谨的科学态度．通过具体的题目巩固和深化学生对等式性质的理解，培养解题技能和逻辑思维能力，增强学习兴趣，并促进知识迁移．活动七限时5分测测看1．下列说法正确的是_______A．方程都是等式B．等式都是方程C．不是方程的就不是等式D．方程不一定是等式2．根据等式的性质，下列变形错误的是()A．若2ac＝2bc，则a＝bB．若a6＝b6，则3a＝C．若a2＝b2，则a＝bD．若2ac＝2bc，则2ac－3＝2bc3．利用等式的性质解方程并检验．8x＋5＝3x＋104．已知关于x的方程3mx－4=8和方程2x＋3=11的解相同，求m的值．答案：1．A；根据方程必备的条件可知方程一定是等式，所以选A．2．C；a2＝b2，化简，得a＝b或a＝－3．x＝1；方程两边减5，得8x＋5－5＝3x＋10－5．化简，得8x＝3x＋5．方程两边减3x，得5x＝5．方程两边除以5，得x＝1．检验：将x＝1代入方程的左边和右边，得8×1＋5＝3×1＋10．13＝13，方程的左、右两边的值相等，所以x＝1是方程的解．4．m＝1；关于x的两个方程解相同，也就是x的值相同，先解方程2x＋3=1．2x＋3=11两边减3，化简得2x=8．两边除以2，化简得x=4．将x＝4代入3mx－4=8，得3m×4－4=8．化简后得到关于m的方程12m－4=8．继续解关于m的方程12m－4=8．两边加4，得12m－4＋4=8＋4．化简，得12m=12．两边除以12，化简得m=1．师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答．设计意图：通过本次活动，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．通过一系列精心挑选的题目，快速检验学生对等式和方程概念的理解程度，以及他们运用等式的性质解方程的能力．同时，通过限时测试的形式，也锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣．活动八课堂总结师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．1．本节课你学到了什么？2．等式有什么性质？3．根据等式的性质如何解方程？设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．实践作业从生活中寻找可以证明等式的性质的实例，并跟同学们一起分享(提示：天平实验等)．

六、板书设计

七、教学反思本节课《等式的性质》是人教版初中数学七年级上册第5章第一节内容的第3课时，等式的性质在教材中占据重要地位，是学生学习数学不可或缺的基础知识之一．等式的性