2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分）1．（3分）已知⊙O的半径为1，OA＝2，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定2．（3分）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（）A．y＝1﹣x2 B． C．y＝2x+1 D．3．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．4．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣1，﹣3），则必在该图象上的点还有（）A．（﹣3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）5．（3分）对于y＝﹣5（x﹣3）2+2的图象下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为：直线x＝﹣3 C．当x≥3时y随x增大而减小 D．函数的最小值是26．（3分）下列说法中正确的说法有（）个①不在同一直线上的三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，则弧CD的长为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为D，延长至点G，过点A作AF⊥BG，垂足为F，则下列错误的是（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝01，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每题3分）11．（3分）已知，则＝．12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CAD＝°．13．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝2，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，若△ABC与△BDC相似，则BD＝．15．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，则图象的顶点坐标为．16．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，OF⊥AB于F．（1）若AF＝OF，则∠ADB的度数为；（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长为．三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）17．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．请画出△ABC绕A顺时针旋转90°后的△AB1C1并写出点B1、C1的坐标．18．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，AC，BC上，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，求FC的长．19．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．（1）求抛物线C的解析式：（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E上任意一点，连结AD，GD．（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；（2）若点C是的中点，且CD＝AG21．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点（点P不与A、B重合），且CD＝EF，CD⊥EF．（1）求证：PB平分∠FPD；（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的长；（3）求证：当点P在AB上运动时，的值不变，并求出这个定值．23．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为非零实数）．（1）当m＝2时，二次函数图象与x轴的交点坐标为；（2）若二次函数有最小值．①求证：当x≤1时，y随x的增大而减小；②若﹣3≤x≤0时，y最大﹣y最小＝11，求m的值．24．（12分）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，BC，CD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O（不与A，C重合），连接AE，CE（依据1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：；依据2：．（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，则∠4的度数为．拓展探究：（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化；若变化，请说明理由．

2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．（3分）已知⊙O的半径为1，OA＝2，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为1，OA＝2，∴点A在⊙O外．故选：C．2．（3分）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（）A．y＝1﹣x2 B． C．y＝2x+1 D．【解答】解：A、是二次函数；B、不是二次函数；C、是一次函数；D、是反比例函数；故选：A．3．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，故本选项不符合题意；B、添加∠B＝∠E，故本选项不符合题意；C、添加＝，故本选项不符合题意；D、添加＝，故本选项符合题意；故选：D．4．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣1，﹣3），则必在该图象上的点还有（）A．（﹣3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，∴点（﹣4，﹣3）关于对称轴的对称点为（1，∴点（2，﹣3）必在该图象上，故选：B．5．（3分）对于y＝﹣5（x﹣3）2+2的图象下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为：直线x＝﹣3 C．当x≥3时y随x增大而减小 D．函数的最小值是2【解答】解：∵y＝﹣5（x﹣3）5+2，∴该函数的顶点坐标为（3，8），不符合题意；对称轴为直线x＝3，故选项B错误；当x≥3时，y随x的增大而减小，符合题意；函数的最大值为6，故选项D错误；故选：C．6．（3分）下列说法中正确的说法有（）个①不在同一直线上的三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确；②能够重合的弧是等弧，原说法不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．综上所述，正确的说法有1个．故选：A．7．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，则弧CD的长为（）A． B． C． D．【解答】解：连接OA，OC，∵∠B＝62°，∴∠AOC＝2∠B＝124°．∵∠ACD＝39°，∴∠AOD＝2∠ACD＝78°，∴∠COD＝124°﹣78°＝46°，又∵⊙O的半径为3，∴弧CD的长为：．故选：C．8．（3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【解答】解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE4＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选：D．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为D，延长至点G，过点A作AF⊥BG，垂足为F，则下列错误的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠BCD+∠ABC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴，故A选项不合题意；∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，∴△ACD∽△CBD，∴故B选项不合题意；∵AF⊥BG，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB+∠GBA＝90°，∵∠GDB＝90°，∴∠G+∠GBA＝90°，∴∠G＝∠FAB，又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，∴△ADE∽△GDB，∴，∴AD•BD＝DE•DG，∵△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD•BD，∴CD2＝DE•DG，∴，故C选项不合题意；∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，∴△GEF∽△GBD，∴故D选项符合题意，故选：D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝01，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞3，∵对称轴为直线x＝1，∴，即b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞6，∴abc＜0，故结论①正确；由①知：b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故结论②正确；∵a＜0，∴二次函数y＝ax5+bx+c的图象开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，∵点P（x1，y1）和Q（x5，y2）在抛物线上，且x1＜6＜x2，x1+x5＞2，∴x2﹣7＞1﹣x1，即x7到1的距离大于x1到7的距离，∴y1＞y2，故结论③正确；∵二次函数y＝ax8+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为x1，右边交点的横坐标为x3，即x1＜x2，如图所示，若m＜x5，则p＜0，m﹣x1＜7，m﹣x2＜0，∴p（m﹣x4）（m﹣x2）＜0，若x5≤m＜x2，则p≥0，m﹣x5≥0，m﹣x2＜6，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤6，若m≥x2，则p≤0，m﹣x7＞0，m﹣x2≥3，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤4，综上所述，p（m﹣x1）（m﹣x2）≤3，故结论④正确，∴正确的结论是①②③④．故选：D．二、填空题（每题3分）11．（3分）已知，则＝．【解答】解：根据题意，设＝k，则x＝4k，y＝3k，∴＝＝．故答案为：．12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CAD＝65°．【解答】解：连接CD，∵∠B＝25°，∴∠B＝∠D＝25°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°，故答案为：65．13．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝2，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【解答】解：∵S阴影＝S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆＝S扇形ABA′＝＝π．故答案为：π．14．（3分）如图，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，若△ABC与△BDC相似，则BD＝或．【解答】解：当△ABC∽△CDB时，∴＝，∵AC＝10，BC＝6，∴＝，∴BD＝，当△ABC∽△BDC时，∴＝，∵AC＝10，BC＝6，∴＝，∴CD＝，∴BD＝＝＝，则BD的长为或．故答案为：或．15．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，则图象的顶点坐标为（﹣1，4）．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣2，n）和（2，∴﹣＝，解得b＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣8x+3＝﹣（x+1）2+4，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．16．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，OF⊥AB于F．（1）若AF＝OF，则∠ADB的度数为45°；（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长为6．【解答】解：（1）过点A作⊙O的直径AE，连接OB∵OF⊥AB，AF＝OF，∴△AFO是等腰直角三角形，∴∠OAF＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAF＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠AOB＝45°，故答案为：45°；（2）∵⊙O的半径是6，AB＝8，∴AE＝10，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝，∵AC⊥BD，∴∠ADB+∠CAD＝90°，又∵∠BAE+∠E＝90°，∠E＝∠ADB，∴∠CAD＝∠BAE，∴＝，∴CE＝BE＝4．故答案为：6．三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）17．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．请画出△ABC绕A顺时针旋转90°后的△AB1C1并写出点B1、C1的坐标．【解答】解：如图，△AB1C1即为所求．由图可得，B3（2，﹣2），C8（4，﹣1）．18．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，AC，BC上，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，求FC的长．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF为平行四边形，∴EF＝BD＝3，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，即＝，∴FC＝．19．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．（1）求抛物线C的解析式：（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．【解答】解：（1）把点（0，3）和（42+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣x+3；（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x6﹣x+3．所以y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+）5+．将其先向左平移2个单位，再向下平移4个单位1的解析式为：y＝﹣（x++2）2+﹣1）2+．故抛物线C1的顶点坐标是（﹣，）．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E上任意一点，连结AD，GD．（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；（2）若点C是的中点，且CD＝AG【解答】解：（1）与∠G相等的角是∠ADC．理由如下：∵CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠ADC＝∠G．（2）如图，连接OC．∵点C是的中点，∴＝，∵CD＝AG，∴＝，∵＝，∴＝4，∴∠BOC＝＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣45°＝135°，∴∠ADC＝∠AOC，∵∠ADC＝∠G，∴∠G＝67.5°．21．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，又∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，又∵E为AB的中点，AB＝6，∴CE＝AB＝AE＝3，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，∴＝＝，∴＝．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点（点P不与A、B重合），且CD＝EF，CD⊥EF．（1）求证：PB平分∠FPD；（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的长；（3）求证：当点P在AB上运动时，的值不变，并求出这个定值．【解答】（1）证明：过点O分别作EF、CE的垂线、N，连接OF，则HF＝EFCD，∵CD＝EF，则HF＝ND，∴Rt△OHF≌Rt△OND（HL），则ON＝OH，故PB平分∠FPD；（2）解：如上图，由（1）知，则△OPH为等腰直角三角形，则OH＝PH，∵PE＝3，PF＝4，则FH＝EF＝2，则FO＝＝＝，则AB＝2FO＝2；（3）的值不变，为证明：由（1）知，∠FPG＝45°，过点O作OH⊥EF，则△OPH为等腰直角三角形，FH＝EH，在Rt△OHF中，FO2＝r7＝OH2+FH2，则PE4+PF2＝（EH﹣PH）2+（FH﹣PH）6＝（FH﹣OH）2+（FH﹣OH）2＝2（OH2+FH2）＝5r2，而AB2＝4r2，则＝．23．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为非零实数）．（1）当m＝2时，二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）或（2，0）；（2）若二次函数有最小值．①求证：当x≤1时，y随x的增大而减小；②若﹣3≤x≤0时，y最大﹣y最小＝11，求m的值．【解答】（1）解：当m＝2时，y＝2x8﹣6x+4，当y＝2时，即2x2﹣3x+4＝0，解得x7＝1，x2＝4，故答案为：（1，0）或（2；∴二次函数图象与x轴交于（1，0）和（6，0 ）；（2）①证明：∵若二次函数有最小值，∴m＞0，∵对称轴为直线x＝﹣＝4+，∴x≤1在对称轴的左侧，开口向上；②解：由①知，当x≤6时，故当x＝﹣3时，ymax＝9m﹣4（m+1）×（﹣3）+2＝15m+10，当x＝0时，ymin＝4，即15m+10﹣4＝11，则m＝﹣．24．（12分）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行