2025年中考数学终极押题猜想（全国）（原卷版）

中考数学终极押题猜想（全国通用）（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一选填题之几何图形综合问题 2 2押题猜想二选填题之函数综合问题 5 5押题猜想三选填题之规律探索问题 7 7押题猜想四选填题之新定义问题 9 9押题猜想五解答题之函数与实际问题综合问题 12 12押题猜想六解答题之一次函数与反比例函数综合问题 16 16押题猜想七解答题之用三角函数解决实际问题 20 20押题猜想八解答题之几何图形的证明与计算问题 24 24押题猜想九解答题之阅读理解问题 26 26押题猜想十解答题压轴之几何综合 34 34押题猜想十一解答题压轴之二次函数综合 39 39押题猜想一选填题之几何图形综合问题1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：①CP与QD一定不相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；A．②④ B．②③ C．①②③ D．②③④2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN恰好经过点D，与边AB交于点E，连接CE，以下四个结论中：①∠ABC=120°；②4S△BCE=S△CDE；③2BE=AD；④A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·山东聊城·二模）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC=130°时，四边形ADFE是矩形；③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．

押题解读几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容，该题型难度较高，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边形与圆为载体的几何求解问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握，但是每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N分别在边AD，BC上．沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF．已知下列判断：①MN⊥BF；②△MHN∽△BCF；③MNBF=34其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）2．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE与对角线BD交于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于点G，下列四个结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=2BF；④SΔ

A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE.①△ACE≌△BCD②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；③D④若AB=32，AD=2BD，则AF=其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)

押题猜想二选填题之函数综合问题1．（2024·山东临沂·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为4,0，其对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc<0；②b2−4ac<0；③9a+3b+c=0；④8a+c=0；⑤若关于x的方程ax2+bx+c=−1有两个实数根A．5 B．4 C．3 D．22．（2023·广东佛山·一模）如图，点A在双曲线y=kx（k>0，x>0）上，点B在直线l：y=mx−2b（m>0，b>0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①Ab,3b②当b=2时，k=43③m=3押题解读一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分，复习环节重在提高学生对函数图象和性质理解和掌握的能力.1．（2024·贵州遵义·一模）如图，点A在y=mx（x>0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，交y=nx（x>0）的图象于点E，连接OE．若AE=3CE，四边形OBAE的面积为7，则m，A．m=6，n=4 B．m=4，n=1C．m=12，n=3 D．m=8，n=22．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中有一反比例函数y=−6x过第一象限内的点P分别作x轴，y轴的垂线，与y轴，x轴分别交于A、B两点，与双曲线分别交于C、D两点．则以下结论中，正确结论的序号是（①存在无数个点P使S②存在无数个点P使S③存在无数个点P使四边形OAPB的面积=A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数y=x①该函数图象过定点−1,②当m=1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1<m<32时，点Px1,其中，正确结论的序号为．4．（2024·青海西宁·一模）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的x−1013y0−1.5−20根据表格中的信息，得到了如下的结论：①abc<0②二次函数

y=ax²+bx+c可改写为y=ax−1③关于x的一元二次方程ax2④若y>0，则x>3⑤当x≥2时，y有最小值是−1.5其中所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．①③⑤ D．②③④⑤押题猜想三选填题之规律探索问题1．（2023·重庆九龙坡·一模）已知fn(x)=nx1+x，Tn(x)=f1(x)+f2(x)+f3(x)+…+fn(x)（nA．0 B．1 C．2 D．32．（2023·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为1,0，点D的坐标为0,2，延长CB交x轴于点A1，做第1个正方形A1B1C1C；延长C1B

A．5×324046 B．5×9420033．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023

A．222020 B．222021 C．押题解读规律探索问题在各地市的中考试卷中有五种常见类型:(1)数式规律；(2)图形个数规律；(3)图形的递变规律；(4)图形的循环规律；(5)图形的递变加循环规律.规律探索问题是中考考试中经常出现的一个问题，它通常以“数式”或“图形”为设计问题的蓝本，以考查学生解决问题的全面性、辩证性、流畅性及建模思想。这类问题最大的特点在于“有规律”上，即在数式或图形分布中，从简单到复杂，让学生寻找各个数式或图形之间的内在的，本质的，稳定的、反复出现的形态，从而利用数学建模的思想解决此类问题。1．（2023·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3A．22019π B．22020π C．2．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9…都是等边三角形，且点A．509,0 B．508,0 C．−503,0 D．−505,03．（2023·重庆九龙坡·三模）由n（n≥2）个正整数组成的一列数，记为x1，x2，x3…xn，任意改变它们的顺序后记作y1，y2，y3①若x1=2，x2=4，x3②当n=3时，若x1，x2，x3③若M为偶数，则n一定为奇数；④若M为奇数，则n一定为偶数．A．4 B．3 C．2 D．1押题猜想四选填题之新定义问题1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ，A．6+24 B．6−242．（2023·重庆江津·二模）如果实数a，b满足a−b=ab的形式，那么a和b就是“智慧数”，用(a,b)表示．如：由于2−23=2×①−12和②如果(3，☆)是“智慧数”，那么“☆③如果(x,y)是“智慧数”，则y与x之间的关系式为y=x④如果(x,y)是“智慧数”，当x>0时，y随x的增大而增大，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的等边三角形称为点A，B的“确定三角形”．如果点E在以边长为23的等边△ABC的边上，且AB∥y轴，AB的中点为P(m,0)，点F在直线y=−x+2上，若要使所有的E，F的“确定三角形”的周长都不小于32，那么

押题解读在近几年各省市的中考数学命题中,新定义问题越来越受到关注和重视.所谓新定义问题，是相对于初中教材而言,指在初中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.新定义问题一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.1．（2023·山东菏泽·三模）定义运算“★”：a★b=a2−ba≤bb2−a2．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点Px1,y1，当点Qx2,y①点Q13,8，Q2②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为2,4③抛物线y=x2−④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·重庆·模拟预测）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性．现在我们继续探索一类数．定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍比千位、个位数字之和大1，则我们称这个四位数t是“四·二一数”例如：当t=6413时，∵2×（4+1）已知t=4abc（1≤a≤9、1≤b≤9、1≤c≤9且均为正整数）是“四·二一数”，满足4a与bc的差能被7整除，则所有满足条件的t的最大值为4．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成p=x2+y2−xy（例如：39=72+（1）有理数1“希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．①设连续两个奇数中较小的数是2n−1（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为；②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是．5．（22-23九年级上·重庆万州·阶段练习）定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与B=a2x2（1）代数式：−2x2+3x（2）若8mx2+nx−5与6n（3）当b1=b2=0时，无论x（4）若A、B互为“同心式”，A−2B=0有两个相等的实数根，则b1其中，正确的结论有（

）个.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个押题猜想五解答题之函数与实际问题综合问题1．（2024·四川达州·一模）随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元．(1)求出快速充电桩和慢速充电桩的单价；(2)该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？2．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA=OC=12cm，BC=28cm，一个素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA=右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）任务1：设右侧托盘放置yg物体，OP长xcm，求y关于x的函数表达式，并求出任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．3．（2024·广东惠州·一模）水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．(1)问草莓、苹果各购买了多少箱？(2)小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元．①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表：草莓数量（箱）苹果数量（箱）合计（箱）甲店a________20乙店_________________20小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知5<a<15，则a=________．4．（2023·湖南·中考真题(改)）我国航天事业发展迅速，2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？押题解读利用函数（或方程）解决实际问题可以说是初中数学当中最重要的部分，也是中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。1．（2024·陕西宝鸡·二模）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式y=−140x2+94x，无人机从西侧距坡底

(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．2．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R（Ω）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量β（gkm）变化的关系图象如图2所示，R0（(1)请根据图2，判断气敏电阻R（Ω）与尾气中一氧化碳的含量β（gkm(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0g/km．若某辆小轿车的尾气检测阻值为(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至0.1g/3．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1

国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1

检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．素材2

图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n=1探究2

当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．素材3

如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b探究3

若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．4．（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cms）、滑行距离y（单位：cm任务一：数据收集记录的数据如下：运动时间xt0246810⋯运动速度v1098765⋯滑行距离y01936516475⋯根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：任务二：观察分析（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）任务三：问题解决（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以2cms的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则押题猜想六解答题之一次函数与反比例函数综合问题1．（2024·江苏盐城·一模）如图，已知A−3,2，Bn,−3是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数(1)求反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．2．（23-24九年级下·江西赣州·模拟）如图，点P在函数y=4xx>0的图像上，过点P作x轴和y轴的平行线分别交函数y=1x的图像于点M，N，直线MN(1)设点P横坐标为a，则点P的坐标为______，点M的坐标为______，点N的坐标为______．（用含字母a的式子表示）(2)当点P在函数y=4xx>0的图像上运动时，△PMN(3)请直接写出EM与FN满足的数量关系．3．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，直线AB与反比例函数y=kxx>0的图象交于点A2,6和点B6,n，与x轴交于点C(1)求反比例函数的表达式及n的值．(2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．①求点F的坐标．②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．押题解读反比例函数与一次函数的综合题是中考常考的内容，但是此类问题牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。掌握反比例函数和一次函数的图像和性质，也是解决反比例函数与一次函数综合题的关键，所以反比例函数和一次函数的图像和性质必须熟记.1．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象相交于点A2,a(1)由图像可知，当x时，12(2)求出a，k的值；(3)若Mm,0为x轴上的一动点，当△AMB的面积为72时，求(4)在x轴上是否存在点D，使得∠BOA=∠OAD，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由．2．（2024·江苏连云港·一模）一次函数y=−x+5与反比例函数y=kx的图像在第一象限交于A,B两点，其中(1)求反比例函数表达式；(2)结合图像，直接写出−x+5≤kx时，(3)若把一次函数y=−x+5的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数y=kx的图像只有一个交点，请直接写出3．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数y=12x−1的图像与y轴相交于B点，与反比例函数y=(1)求反比例函数的表达式；(2)点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图像于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？4．（2024·四川广安·模拟预测）如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=kx的图象相交于Am,2，B两点，分别连接OA(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求不等式x+1>k(3)在平面内是否存在一点P，使得以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．押题猜想七解答题之用三角函数解决实际问题1．（2022·辽宁鞍山·中考真题（改））北京时间2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船发射成功．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin2．（2024·山西朔州·二模）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆AB和折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC=3m，折臂底座CD=2m，上折臂EF=8m，上折臂EF与下折臂DE的夹角∠FED=88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，求上折臂顶端F到地面的距离BF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin43°≈0.683．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有A、B两个码头，这两个码头相距60千米（AB=60），有一艘船C在这两个码头附近航行．

(1)当船C航行了某一刻时，由码头A测得船C在北偏东55°，由码头B测得船C在北偏西35°，如图，求码头A与C船的距离（AC的长），其结果保留3位有效数字；（参考数据∶sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan(2)当船C继续航行了一段时间时，由码头A测得船C在北偏东30°，由码头B测得船C在北偏西15°，船C到海岸线AB的距离是CH（即CH⊥AB），如图，求CH的长，其结果保留根号．押题解读初中三角函数应用题几乎全国的中考数学考试都要考到，而三角函数的应用是非常重要的几何工具，既有省略相似的繁琐证明过程，也能够通过自身的知识点特征进行应用的适用。在运用三角函数的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，:若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解，其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键.1．（2024·山东济南·模拟预测）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，(1)求屋顶到横梁的距离AG；(2)求房屋的高AB．2．（23-24九年级上·浙江湖州·模拟）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座AB高为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD(1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin3．（2024·浙江·一模）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．(1)当水桶在井里时，∠AOD=120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m(2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD=143°，求点A上升的高度（结果精确到0.14．（2024·山东临沂·二模）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，∠BAC=53°，∠DOC=37°

(1)求BO的长．(2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈押题猜想八解答题之几何图形的证明与计算问题1．（2024·江苏南京·一模）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，CD=DE．经过A，B，C三点的⊙O交BD于点F，且CD是⊙O的切线．(1)连接AF，求证：AF=AB；(2)求证：A(3)若AE=2，EC=6，BE=4，，则⊙O的半径为．2．（2024·江苏南京·一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE=CF，连接BE，DF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)已知AB=4，AD=8，∠BAD=120°，当AE的长为时，四边形EBFD是菱形．3．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，且DE∥BC，若BD=2AD，BC=15，则【问题探究】（2）如图2，在△ABC和△CDE中，点B、C、D在同一条直线上，AB=CD，∠B=∠D=∠ACE=60°，判断AC与CE的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，五边形ABCDE是某植物园的平面图，C、D分别是植物园的入口和出口（可看作点），AC和AD是进出植物园的两条主路，该植物园为举行春季花展，现要在出入口C、D之间进行花墙装饰工作．已知∠B=∠BAE=∠E=90°，∠CAD=45°，AB=60m，AE=120m，AC=305押题解读几何图形的证明与计算问题是中考命题的热点，其中全等/相似三角形是解决诸多几何综合问题的关键知识，其次熟记几何图形的性质与判定也应该牢记.1．（2024·云南·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，作DE⊥AC于点E．

(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BD=25，AE=1，求⊙O的半径．2．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作EH⊥CF于点H，过点F作FG⊥AE于点G．(1)请你添加一个条件：______，使四边形EGFH为矩形，并给出证明．(2)在（1）的条件下，若AE=5，tan∠DAE=2，EG=2GF，求AG3．（2024·江西南昌·一模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图①，如果BCAC=ACAB，则点(1)【问题发现】如图①，点C为线段AB的黄金分割点，请直接写出AC:AB的值为；(2)【尺规作黄金分割点】如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AEAC(3)【问题解决】如图③，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN；再次折叠正方形ABDE使EA与EN重合，点A对应点H，得折痕CE，试说明：点C是线段AB的黄金分割点．押题猜想九解答题之阅读理解问题1．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用，例：如图1，已知P为等边三角形ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°.求以AP，BP，CP为边的三角形中各个内角的度数.解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以AP，BP，CP为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为AP，BP，CP的三角形来解决问题．解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC．∴BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP．由旋转可知∠QAP=60°，∴△APQ是等边三角形．【依据】∴QP=AP，∠3=∠4=60°．∴△QBP就是以AP，BP，CP为边的三角形．∵∠APB=113°，∴∠5=∠APB−∠4=53°．∵∠AQB=∠APC=123°.∴∠6=∠AQB−∠3=63°．∴∠QBP=180°−∠5−∠6=64°．∴以AP，BP，CP为边的三角形中，三个内角的度数分别为64°，63°，53°.构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．任务：(1)上面小论文中的“依据”是________．(2)如图2，已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC=102°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的度数为________°．(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AB=BC．求证：BD2．（2023·山东青岛·三模）【阅读与思考】如图1，在正方形中ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AD上的点，GE⊥BF于点O，那么GE=BF.证明过程如下：∵GE⊥BF于点O，∴∠GOB=90°，过点A作AH∥GE交BC于点H，交BF于点M，∴∠AMB=∠GOB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AG∥HE，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∴∠ABM+∠FBC=∠ABC=90°，∴∠BAM=∠FBC，∴△ABH≌△BCF（依据），∴AH=BF，∵AH∥GE,AG∥HE∴四边形AHEG为平行四边形，∴AH=GE，∴GE=BF．【材料探究】：上述证明过程的“依据”是______；【问题解决】：如图2，在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M.则∠AMC为______°；【拓展延伸】：如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N.求∠DMC的度数．3．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟：已知方程x2解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=y把x=y2代入已知方程，得化简，得y2故所求方程为y2这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．解决问题：(1)已知方程x2(2)方程ax2+bx+c=0(3)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根分别为1和−14．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．请阅读上述材料，完成题目：如图，抛物线y=−23x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为−1,0，与y轴交于点C0,2，直线CD:y=−x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．押题解读中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应引起我们特别的重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题，但其难度并不大的题型，通过题目所提供的方法与探究的思路来总结出一些结论，然后按照此结论进行实际的应用，则是考察同学们数学知识和思想方法的运用能力，也就是利用自己掌握的基础数学知识新学习计算的方法。解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。1．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成下列任务．问题背景：数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于(a−b)2≥0，故探索发现：2+8>2×113+3=2×1发现结论：如果a>0,b>0，那么a+b≥2ab（当且仅当a=b解释证明：当a≠b时，∵∴a−2∴a+b>2当a=b时，∵∴a−2∴a+b=2∴如果a>0,b>0，那么a+b≥2ab（当且仅当a=b任务：(1)对于函数y=x+2xx>0，当x(2)对于函数y=−5x+1−x(x>−1)，当x(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当AB长为多少时，矩形花圃ABCD的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题．2．（2023·吉林白城·模拟预测）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上．求证：以DE、CD、BD为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】小明通过探究发现：连接CE，根据已知条件，可以证明BD=CE，∠DCE=120°，从而得出△DCE为钝角三角形，故以DE、CD、【拓展迁移】如图②，四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，点E在BD上．①猜想：以DE、EF、BE为边的三角形的形状是________；②当BE2+E3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：跨物理并联电路，请阅读下列材料，完成相应的任务：有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值我们可以利用公式1R=1R1+1R2求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线，并在这两条垂线上分别截取AC=R1,BD=R2，且点C、D位于直线l的同侧，连接证明：∵EF⊥l,CA⊥l，∴∠EFB=∠CAB=90°，又∵∠EBF=∠CBA，∴△EBF∽△CBA（依据1），∴BF同理可得：AFAB∴BF∴1=EFAC+任务：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：____________；依据2：____________；(2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1=3千欧，R2=6千欧，请在图(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°,AC=BC=R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则4．（2023·山西忻州·模拟预测）阅读与思考如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．平面直角坐标系与直角三角形x年×月ⅹ日星期三原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论口诀：“两线一圆”作图：举例如下：已知A3，0、B0，4情况一：当A为直角顶点时，过点A作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C．如图①，有C1情况二：当B为直角顶点时，过点B作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C．如图②，有C2情况三：当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，则该圆与直线x=1的交点即为所求点C．如图③，有C3，C方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似；二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点．任务：(1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合

B．统计思想

C．分类讨论

D．转化思想(2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中C1(3)直接写出“情况二”中C2的坐标(4)请你写出在“情况三”中，确定C3、C押题猜想十解答题压轴之几何综合1．（2024·河南信阳·一模）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图①-②，D为等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上的一个动点，连接CD，把CD绕着点C逆时针旋转90°到CE的位置．同学们通过观察，发现了以下结论∶①AD=BE；②AD⊥BE；③如图②，若AC=BC=2，四边形BECD的面积为，④BE、BD、CD的数量关系是

(2)类比迁移如图④-⑥，D为等腰Rt△ABC的直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，把AD绕着点D逆时针旋转90°到DE的位置，连接BE．请你类比问题（1）中的结论，选用图④、图⑤、图⑥①求CDBE②试探究BE、BC、DE的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展应用若AC=BC=2，当点D在直线BC上运动至CD=3时，请直接写出EC的长和以A、B、D、E为顶点的四边形的面积．2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在边长为m的正方形ABCD中，点E，F分别为CD，AB边上的点，将正方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在AD边的点G处．(1)【问题解决】如图①，连接CG，则CG与折痕EF的位置关系是______，CG与EF的数量关系是______；(2)【问题探究】如图②，连接CH，在翻折过程中，GC平分∠DGH，试探究△CGH的面积是否为定值，若为定值，请求出△CGH的面积；若不是定值，请说明理由；(3)【拓展延伸】若m=3，求出CH+CG的最小值．3．（2023·吉林四平·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，连接BD．点P从点A出发，沿折线AB−BD−DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，以AP为对角线作正方形AEPF（点F在直线AP的右侧）．设正方形AEPF的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒)．(1)当点P在线段BD上时，用含t的代数式表示PB的长；(2)当AP⊥BD时，求t的值；(3)求S与t之间的函数关系式．4．（2023·广西钦州·一模）教材变形：如图1，点E，F是正方形ABCD边上的点，连接BE，CF交于点G，CE=DF，判断BE与CF的位置关系，并证明你的结论；探索发现：如图2，在正方形ABCD的边BC上取点H，连接AG，GH，使CE=CH，求证∠BAG=∠CHG；迁移拓展：如图3，点E，F是菱形ABCD边AB，AD上的点，连接DE，点G在DE上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE，DF=GF，CD=10，CG=6，求DF及cos∠ADC押题解读几何综合题以几何知识为主体的综合题，主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，以及特定图形的判定和性质。几何综合题是中考必考题型。试题一般以全等或相似为中心，常常是三角形、四边形、圆、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用。而且几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查学生分析问题，探究问题，综合应用数学知识解决实际问题的能力.1．（2023·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在△OAB中，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得到△OA'B'，连接B（2）【问题探究】如图②，已知△ABC是边长为43的等边三角形，以BC为边向外作等边三角形BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q①求证：△DCQ≌②求PA+PB+PC的最小值；（3）【实际应用】如图③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形内一动点S△PAD=2S△PBC，Q为2．（2024·江苏苏州·一模）【问题初探】如图1，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．求证：∠DAE=∠DAC．【拓展研究】如图2，已知⊙O内接△ABC，AC>BC，点M是ACB的中点，过点M作MD⊥AC，垂足为点D．求证：BC＋CD=AD．【解决问题】如图3，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB上一点，连接DB、DC，tan∠ACD=512，△BDC的周长为242+43．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC．(1)当AC=BC=6时，①将一个直角的顶点D放至AB的中点处（如图①)，两条直角边分别交AC、BC于点E、F，请说明△DEF为等腰直角三角形；②将直角顶点D放至AC边的某处（如图②)，与另两边的交点分别为点E、F，若△DEF为等腰直角三角形，且面积为4，求CD的长．(2)若等腰Rt△DEF三个顶点分别在等腰Rt△ABC的三边上，等腰Rt△DEF4．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取BC中点M，连接AM,DM，则有AM=BM=CM及DM=BM=CM，即AM=BM=CM=DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：(1)如图2，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，若∠BAC=64°，则∠EDF=°．(2)如图3，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（