数学学案：随机变量的均值和方差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。5随机变量的均值和方差学习目标重点、难点1．能记住离散型随机变量的均值概念及计算方法；2．能记住离散型随机变量的方差概念及计算方法；3．能用均值、方差（标准差）来分析解决实际问题.重点:均值、方差（标准差）的概念．难点:利用均值、方差（标准差)解决实际问题。1．离散型随机变量的均值（数学期望）若离散型随机变量X的概率分布为P(X＝xi)＝pi（i＝1，2，…，n）,则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E（X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，其中,xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0,i＝1，2，…,n,p1＋p2＋…＋pn＝1。预习交流1离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗?提示：不一定，如，E（X）＝0。5，在试验中未出现．2．离散型随机变量的方差与标准差一般地,若离散型随机变量X的概率分布为：,则(xi－μ）2（μ＝E（X））描述了xi（i＝1,2，…，n)相对于均值μ的偏离程度,故（x1－μ）2p1＋（x2－μ)2p2＋…＋（xn－μ）2pn（其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1）刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差,记为V(X)或σ2.即V（X）＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋（xn－μ)2pn,其中,pi≥0,i＝1，2，…，n,p1＋p2＋…＋pn＝1.方差也可用公式V（X）＝eq\i\su(i＝1，n,x)eq\o\al（2,i）pi－μ2计算．随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差,X的方差V（X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝eq\r（V(X））.预习交流2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示:随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体方差．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧!我的学困点我的学疑点一、离散型随机变量的均值（数学期望)某运动员投篮命中率为0。6，（1）求一次投篮时命中次数X的数学期望;(2）求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．思路分析：（1）X只能取0,1这两个值,列出分布列，求出X的均值(数学期望)．（2）Y服从Y～B(5，0.6)，利用E(Y)＝np求出Y的均值(数学期望）．解：(1）投篮一次，命中次数X的分布列为，则E（X）＝0.6。（2）由题意,重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E（Y）＝np＝5×0.6＝3。在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的配方方案,需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时,需要选用不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1，2,3，4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．(1)写出X的分布列；（2)求X的数学期望E（X)．解:(1）X的分布列为:X123456789Peq\f(1,15)eq\f(1，15)eq\f（2，15）eq\f(2，15)eq\f(1，5)eq\f(2,15)eq\f（2,15）eq\f（1,15)eq\f（1，15)（2）由E(X)的定义得：E（X)＝（1＋2＋8＋9)×eq\f(1，15）＋(3＋4＋6＋7)×eq\f(2，15）＋5×eq\f（1，5）＝5。求离散型随机变量X的均值的步骤：（1）理解X的意义,写出X可能取的值;(2)求出X取每个值时的概率；(3)写出X的概率分布列（有时可以略);(4)由均值的定义求出E(X）．二、离散型随机变量的方差和标准差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X,Y.X和Y的分布列如下：X012Peq\f(6，10)eq\f(1,10）eq\f(3,10)Y012Peq\f（5，10)eq\f（3，10）eq\f(2,10)试对这两名工人的技术水平进行比较．思路分析:对两名工人的技术水平进行比较：一是比较两名工人在加工零件数相等的情况下生产出次品数的平均值即数学期望;二是看次品数波动情况,即方差的大小．解：工人甲生产出次品数X的平均值和方差分别为：E(X)＝0×eq\f(6，10)＋1×eq\f(1，10）＋2×eq\f（3,10）＝0.7，V（X）＝（0－0.7）2×eq\f（6，10）＋（1－0。7）2×eq\f（1，10）＋(2－0.7)2×eq\f(3,10）＝0。81;工人乙生产出次品数Y的平均值和方差分别为：E(Y）＝0×eq\f（5,10）＋1×eq\f（3，10）＋2×eq\f（2，10）＝0.7。V（Y)＝(0－0.7）2×eq\f（5,10)＋(1－0。7）2×eq\f(3，10）＋（2－0。7）2×eq\f（2，10)＝0。61.由E(X）＝E(Y)知，两人生产出次品数的均值相同,两人技术水平相当，但V(X)＞V(Y）．可见乙工人的技术水平比较稳定．已知X的分布列为：Y010205060Peq\f（1，3)eq\f(2,5）eq\f（1,15）eq\f(2,15)eq\f（1，15)(1）求V（X）；（2）设Y＝2X－E（X），求V(Y）．解：(1）∵E(X）＝0×eq\f(1，3)＋10×eq\f（2,5)＋20×eq\f（1,15）＋50×eq\f（2，15)＋60×eq\f(1，15)＝16,∴V（X）＝(0－16）2×eq\f（1，3）＋(10－16）2×eq\f(2,5）＋（20－16）2×eq\f(1,15)＋(50－16)2×eq\f(2，15)＋（60－16)2×eq\f(1,15)＝384.（2)∵Y＝2X－E(X）,∴Y的分布列如表所示。Y－1642484104Peq\f（1,3）eq\f（2，5）eq\f(1,15)eq\f(2，15)eq\f(1，15）∴E(Y)＝－16×eq\f(1，3)＋4×eq\f（2，5)＋24×eq\f（1，15）＋84×eq\f（2，15)＋104×eq\f（1,15)＝16.V（Y）＝（－16－16）2×eq\f(1,3）＋(4－16)2×eq\f(2,5)＋（24－16）2×eq\f(1,15）＋(84－16)2×eq\f（2，15)＋(104－16)2×eq\f(1，15)＝1536.已知分布列求离散型随机变量的方差时，首先计算数学期望，然后代入方差公式V(X）＝eq\i\su(i＝1，n,x)eq\o\al(2，i）pi－μ2求方差,在实际问题中方差反映了数据的稳定与波动情况．在均值相等或相差不大的情况下，方差越小,说明数据越稳定，波动情况越小．1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1，4）(k＝1，2，3，4),则E(X）＝__________。答案：eq\f(5，2）解析：∵P（X＝k)＝eq\f(1,4)(k＝1，2，3，4)，∴E(X)＝1×eq\f（1，4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1，4)＋4×eq\f（1，4)＝eq\f(5，2）.2．一批产品中的次品率为eq\f（1，3），现在连续抽查4次，用X表示次品数，则σ＝__________.答案:eq\f(2\r（2)，3）解析：∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3）)），∴V(X）＝σ2＝np(1－p)＝4×eq\f（1，3)×eq\f（2,3)＝eq\f（8,9),∴σ＝eq\f(2\r（2），3).3．设随机变量X～B（n，p)且E（X）＝1。6,V（X）＝1.28，则n＝__________，p＝__________.答案:80.2解析：∵X~B(n，p)，∴E(X）＝np，V（X)＝np(1－p)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝1。6，，np(1－p）＝1。28，)）解之得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n＝8，，p＝0.2。））4．若随机变量X的分布列如下:X01xPeq\f(1，5)peq\f（3,10)若E(X)＝1。1,则V(X）＝__________。答案：0.49解析：由eq\f(1，5)＋p＋eq\f（3，10）＝1，得p＝eq\f（1,2）.又∵E（X)＝1.1，∴0×eq\f（1,5)＋1×eq\f(1，2)＋x×eq\f(3,10)＝1。1，∴x＝2.∴V(X）＝(0－1。1）2×eq\f（1，5）＋（1－1。1）2×eq\f(1,2)＋(2－1。1）2×eq\f（3，10）＝0.49。5．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟,它们的日走时误差分别为X，Y(单位：s)．其分布列为：X－2－1012P0.050。050。80.050。05Y－2－1012P0。10。20。40。20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差,比较这两面大钟的质量．解：∵E(X）＝0，E(Y)＝0，∴E(X)＝E(Y