数学学案：平面的法向量与平面的向量表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修2-1第三章3.2。2平面的法向量与平面的向量表示1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角．4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理．1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1）直线的方向向量．给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，这时点P的位置被t的值完全________，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且________向量a的一条________，向量a称为该直线的________．一条直线有无数个方向向量．（2）空间直线的向量参数方程．点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量,点P为直线l上任一点，t为一个任意实数，以A为起点作向量＝ta。①对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝＋ta。②如果在l上取＝a，则②式可化为＝＋t＝＋t(－），即＝(1－t)＋t。③以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．（3)线段AB的中点M的向量表达式设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则＝__________。【做一做1】若A（－1，0,1），B（1，4,7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（)A．(1,2，3）B．（1，3，2）C．(2，1，3）D．(3,2,1）空间三点P，A,B满足＝m＋n，且m＋n＝1,则P，A，B三点共线．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1）直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合⇔__________。(2）直线与平面平行已知两个不共线向量v1,v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或l在α内⇔存在两个实数x,y，使__________．（3)平面与平面平行已知两个不共线的向量v1,v2与平面α共面,则α∥β或α与β重合⇔__________.【做一做2】l1的方向向量v1＝(1,2，3），l2的方向向量v2＝(λ，4,6），若l1∥l2，则λ＝__________。3．用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角(1)设两条直线所成的角为θ(锐角）,则直线方向向量间的夹角与θ__________；(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,直线l1与l2的夹角为θ，则l1⊥l2⇔__________，cosθ＝__________.【做一做3】设直线l1和l2的方向向量夹角为120°,则l1和l2这两条直线所成的角为__________．两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两直线所成的角．4．法向量的概念已知平面α，如果向量n的________与平面α________，则向量n叫做平面α的法向量,或说向量n与平面α正交．【做一做4】若n＝(2,2,1)是平面α的一个法向量，下列向量中能作平面α的法向量的是（)A．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1，1，\f（1，2)))B．（2,3,1）C．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－1,1，\f（1，2）))D．（2,2，2）5．平面的向量表示式设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件·n＝0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的________，________通常称为一个平面的向量表示式．【做一做5】n为空间任一非零向量，若·n＝0,·n＝0，则向量A,M，B，N四点是否在同一平面内？6．利用法向量判断平面与平面的平行与垂直设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到平面α∥平面β或α与β重合⇔n1______n2;平面α⊥平面β⇔________⇔________。【做一做6】平面α,β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝（1,0，2），则平面α,β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断（1）用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．（2)用向量方法证明平行或垂直问题的步骤：①建立空间图形与空间向量之间的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建立)．②通过向量运算研究垂直关系问题．③根据运算结果解释相关问题．7．三垂线定理及三垂线定理的逆定理三垂线定理:如果在______的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的______垂直，则它也和这条______垂直．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条______垂直，则它也和这条斜线在平面内的______垂直．定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题．【做一做7】斜线b在平面α内的射影为c且直线a⊥c，则a与b__________垂直．(填”一定"或”不一定”）1．空间直线的向量参数方程有什么作用？剖析：直线的向量参数方程＝ta是＝＋ta和＝（1－t)＋t的基础．空间中P,A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ(λ＋μ＝1）．2．如何用向量的方法证明空间中的平行关系？剖析：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量a∥b即a＝λb(λ∈R）．此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可;证明面面平行也可用证明平面的法向量平行的方法．3．如何理解平面的法向量？剖析：平面的法向量并不唯一，并且垂直于平面内的所有向量．设n1，n2分别是平面α,β的法向量：平面α∥平面β或α与β重合⇔n1∥n2；平面α⊥平面β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0。题型一利用向量方法判定线、面的位置关系【例1】（1）设a，b分别是直线l1，l2的方向向量，判断l1，l2的位置关系：①a＝(2，3，－1），b＝(－6，－9，3);②a＝(5,0，2），b＝（0,4,0）．（2)设u,v分别是平面α,β的法向量,判断α，β的位置关系：①u＝（1,－1,2），v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)））；②u＝(0,3,0),v＝（0，－5,0)．(3)设u是α的法向量，a是直线l的方向向量，判断α,l的位置关系:①u＝（2,2，－1），a＝(－3，4,2）；②u＝(0，2，－3），a＝(0,－8，12）．反思：解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法．在向量问题转化为几何问题时，注意两者的区别,如第(3）问中的①题，直线的方向向量和平面平行，则直线可能在平面内,也可能与平面平行．题型二平面的法向量的求法【例2】四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD,SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，求平面SCD和平面SAB的法向量．分析：解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内不共线的两个向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．反思：平面的法向量有无数个，一般用待定系数法解一个三元一次方程组,求得其中的一个即可．构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的,赋值时保证所求法向量非零，本题中的法向量的设法值得借鉴．题型三利用向量法证明空间中的平行关系【例3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F,E1分别是棱AA1,BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F.反思：此类题目，能建坐标系的先建立坐标系，找出相应直线的方向向量和平面的法向量，并确定它们对应的坐标，进行求解、证明；不方便建系的可以用基向量法．题型四向量法证明线线垂直、线面垂直【例4】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1）AE⊥CD；（2)PD⊥平面ABE.分析:(1）建立空间直角坐标系→确定，的坐标→计算·→AE⊥CD；（2）求平面ABE的法向量n→判断满足＝kn（k∈R）→PD⊥平面ABE或确定，，的坐标→计算·，·→→PD⊥平面ABE。反思：(1）证明线线垂直一般转化为证明直线上的向量数量积为零．（2)证明线面垂直有两种方法．一是用线面垂直的判定定理证明；二是通过证明直线上的向量与平面的法向量平行来证．题型五,向量法证明面面垂直【例5】在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点,求证：平面BEF⊥平面ABC。分析：本题首先可证出为平面ABC的一个法向量，然后再证明两平面的法向量垂直即数量积为零即可．反思：证明面面垂直的传统方法是转化为线面垂直、线线垂直,另一种方法是证明两个平面的法向量垂直．应用后一种方法的关键是①建立适当的空间直角坐标系；②求出平面的一个法向量；③判断两个法向量的关系;④由法向量的关系转化为平面关系．1两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0,－1）,v2＝（－2，0,2），则l1与l2的位置关系是（)A．平行B．相交C．垂直D．不确定2已知动点P的竖坐标为0，则动点P的轨迹是(）A．平面B．直线C．不是平面也不是直线D．以上都不对3已知两条异面直线l1，l2的方向向量分别为v1和v2，若cos<v1,v2〉＝－eq\f(1,2），则l1与l2所成角的余弦值为__________．4已知点A(1，0,0),B(0，1,0）,C(0,0，1），则平面ABC的单位法向量坐标为__________．5已知v＝(－2,2,5），u＝(6，－4，4）分别是平面α,β的法向量，则α与β__________.6求证:在正方体ABCD－A1B1C1D1中,是平面ACD1的法向量．答案：基础知识·梳理1．（1）确定平行于直线l方向向量（2）eq\f（1,2）(＋)【做一做1】A2．（1）v1∥v2(2）v＝xv1＋yv2（3)v1∥β且v2∥β【做一做2】23．（1）相等或互补(2）v1⊥v2|cos〈v1,v2〉|【做一做3】60°4．基线垂直【做一做4】A5．平面·n＝0【做一做5】解:不一定．6．∥n1⊥n2n1·n2＝0【做一做6】B7．平面内射影斜线斜线射影【做一做7】不一定(因为a不一定在平面α内）典型例题·领悟【例1】解:（1)①∵a＝(2，3,－1），b＝（－6，－9，3），∴a＝－eq\f(1，3)b.∴a∥b。∴l1∥l2。②∵a＝（5，0，2),b＝(0,4,0),∴a·b＝0。∴a⊥b.∴l1⊥l2.(2）①∵u＝(1，－1，2），v＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(3，2，－\f（1,2））)，∴u·v＝0.∴u⊥v.∴α⊥β。②∵u＝（0,3，0），v＝(0，－5，0），∴u＝－eq\f(3,5)v.∴u∥v.∴α∥β.（3)①∵u＝（2,2，－1)，a＝(－3，4,2），∴u·a＝0.∴u⊥a。∴l∥α或l⊂α.②∵u＝（0,2,－3)，a＝（0，－8,12)，∴u＝－eq\f（1，4）a。∴u∥a.∴l⊥α.【例2】解：∵AD,AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点,以eq\o(AD,\s\up6（→)),eq\o（AB,\s\up6（→)），eq\o（AS,\s\up6(→）)的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0),D（1，0，0），C（2,2，0），S（0,0,2），∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，0,0）是平面SAB的法向量．设平面SCD的法向量为n＝（1，y，z），则n·eq\o（DC,\s\up6（→)）＝(1，y，z）·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－eq\f(1,2）.又n·eq\o（DS，\s\up6（→）)＝（1，y，z)·(－1，0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝eq\f（1，2)。∴n＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，－\f(1,2),\f(1，2))）即为平面SCD的法向量．【例3】证明:以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,如图．设BC＝1，则C(0，1,0），E(1,0，1）,C1（0，1，2）,F(1,1，1），E1eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2）),设平面C1E1F的法向量为n＝（x,y，z),∵＝(1，－eq\f（1，2），0)，eq\o（FC1，\s\up6（→））＝(－1，0，1），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n·\o（C1E1，\s\up6(→））＝0,，n·\o（FC1,\s\up6(→）)＝0，））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（1,2)y,，x＝z，））取n＝（1，2，1)．∵eq\o(CE,\s\up6（→））＝（1，－1,1),n·eq\o(CE，\s\up6（→))＝1－2＋1＝0，∴eq\o（CE，\s\up6(→）)⊥n，且eq\o(CE,\s\up6(→））⊄平面C1E1F。∴CE∥平面C1E1F.【例4】证明：（1）∵AB,AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA＝AB＝BC＝1，则P（0,0,1）．∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f（\r（3)，2)，0）)，Eeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，4），\f(\r(3),4)，\f(1，2）））。设D(0，y，0），由AC⊥CD,得Aeq\o（C，\s\up6(→）)·Ceq\o(D，\s\up6（→））＝0,即y＝eq\f（2\r（3）,3)，则Deq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f（2\r(3），3)，0))，∴＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2），\f（\r（3），6），0）)。又＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，4）,\f（\r(3),4），\f(1,2））），∴·＝－eq\f（1，2)×eq\f(1，4)＋eq\f(\r（3)，6)×eq\f（\r(3),4)＝0,∴⊥,即AE⊥CD.(2)证法一：∵P(0，0，1)，∴＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f（2\r（3）,3)，－1））.又·＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(3)，3）＋eq\f（1，2）×（－1）＝0，∴⊥，即PD⊥AE.又∵＝（1，0,0),∴·＝0，∴PD⊥AB。又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。证法二：∵＝（1，0，0），＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，4),\f（\r（3），4），\f（1，2)))，∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x,y，z），则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0,，\f(1,4)x＋\f(\r（3),4）y＋\f(1，2)z＝0,）)令y＝2，则z＝－eq\r（3),∴n＝(0，2，－eq\r（3))．∵＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3）,3），－1))，显然＝eq\f(\r（3),3）n。∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE。【例5】证明：建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝a，则B（0，0，0），D（0，eq\r(3）a，0)，A（0，0，a）,Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r（3），2)a，\f(\r(3），2）a，0)），Eeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3),4）a,\f(\r（3),4)a，\f(a，2)）)，Feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（\r（3）,2)a，\f(a，2)))。∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC。又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又AB∩BC＝B,∴CD⊥平面ABC.∴＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3）,2)a，\f(\r（3）,2)a，0）)为平面ABC的一个法向量．设平面BEF的一个法向量为n＝（x,y，z），∴n·＝0，得x＝y.