数学学案：平面直角坐标轴中的伸缩变换

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换1．会画出伸缩变换后的平面图形．2．了解在平面直角坐标系中的伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能用变换的观点来观察图形之间的因果关系，知道图形之间是可以类与类变换的．平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的________，将会对图形产生影响．（1）若P（x,y）为坐标轴中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的eq\f(1，2),得到点P′（x′，y′），坐标对应为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2）x，,y′＝y，))通常叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换．（2)若P(x，y)，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的2倍,得到P″（x″，y″）．坐标对应为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x″＝2x，，y″＝y,))通常叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换．【做一做】将一条直线作伸缩变换后得到图形可能是(）．A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线1．对平面直角坐标轴中伸缩变换的理解剖析：在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中,分别作出f(x，y）＝0的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的eq\f(1，k).第（1）种坐标系中的意思是x轴与y轴上的单位长度一样,f（x，y)＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f（x，y)＝0的图形；第（2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的eq\f(1，k），此时f（x,y)＝0表示的图形与第(1）种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的eq\f（1,k),此时f(x，y）＝0表示的图形与第（1)种坐标系中的图形是不同的．2．对伸缩变换图形的画法剖析：图形的伸缩变换，是坐标轴中x轴和y轴的变化，可以利用“五点作图法”进行转化，画出相应图形，再研究其性质．答案:单位长度【做一做】A直线在伸缩变换中图形是不会发生变化的．题型一椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在下列平面直角坐标系中,分别作出椭圆eq\f（x2,9）＋eq\f（y2,4)＝1的图形：（1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的eq\f（1，2).分析：(1)常规描点法画椭圆；（2)改变y轴上的单位长度；(3）改变x轴上的单位长度．反思：改变x轴或y轴的单位长度,导致了椭圆eq\f（x2,9）＋eq\f（y2，4)＝1的图形的变化，改变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚，不然画出的伸缩变换后的图形就不符合题目要求了．题型二双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换【例2】在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线eq\f(x2,9)－eq\f（y2,4)＝1的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的3倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的eq\f(1,3).反思：图形的变化，有的不仅是坐标轴单位长度的变化，有的会引起图形形状的变化．【例1】解:(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，eq\f(x2，9）＋eq\f(y2,4)＝1的图形如下：（2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的eq\f（1，2），eq\f（x2,9）＋eq\f（y2，4)＝1的图形如下：（3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的eq\f(1，2），eq\f（x2,9）＋eq\f（y2,4）＝1的图形如下图:【例2】解：（1)建立平面直角坐标系,使x轴与y轴具有相同的单位长度，eq\f(x2,9)－eq\f(y2，4)＝1的图形如下图:（2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的eq\f（1,3)，eq\f（x2,9）－eq\f(y2,4)＝1的图形如下:（3）如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的eq\f（1,3),eq\f（x2,9）－eq\f(y2,4）＝1的图形如下图：1一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,其图形可能是()．A．双曲线B．圆C．椭圆D．抛物线2已知一椭圆的方程为，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的，则该椭圆的形状为(）．3一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形是__________．4在下列平面直角坐标系中,分别作出抛物线y2＝－4x的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.答案：1．A双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形形状是不会发生变化的．2．B如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的eq\f(1，2)，则该椭圆的形状为选项B中所示．3．平行四边形4．解：（1）建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，抛物线y2＝－4x