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文档简介
第20讲图形的相似与位似
目录
题型13平行线分线段成比例的常用辅助线之
一、考情分析垂线
考点二相似图形的概念与性质
二、知识建构题型01理解相似图形的概念
考点一比例线段的概念与性质题型02相似多边形
题型01成比例线段题型03相似多边形的性质
题型02图上距离与实际距离考点三位似图形
题型03利用比例的性质判断式子变形是否正确题型01位似图形的识别
题型04利用比例的性质求未知数的值题型02判断位似中心
题型05利用比例的性质求代数式的值题型03根据位似的概念判断正误
题型06理解黄金分割的概念题型04求两个位似图形的相似匕
题型07黄金分割的实际应用题型05画已知图形放大或缩小n倍后的位似
题型08由平行线分线段成比例判断式子正误图形
题型09平行线分线段成比例(A型)题型06求位似图形的坐标
题型10平行线分线段成比例(K型)题型07求位似图形的线段长度
题型11平行线分线段成比例与三角形中位线综题型08在坐标系中求位似图形的周长
合
题型()9在坐标系中求位似图形的面积
题型12平行线分线段成比例的常用辅助线之平
行线
考点要求新课标要求命题预测
>了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线
比例线段的概念与
段;
性质
>通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.在中考中,该模块内容常出现在选
择题、填空题,较为简单.本节内
相似图形的概念与>通过具体实例认识图形的相似.
容是下•节相似三角形的基础,需
性质>了解相似多边形和相似比.
要学生在复习时加以重视.
>了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图
位似图形
形放大或缩小.
@@00
&SC:对十戋段a、b.c、d,如果a/b=c/d(SPad=bc).我们就蟠四联
段是成比货威段,简称比例境段.
比例
当比例的内项相等时.®a/b-b/dSEa:b-b:d,线段b叫做线段atQd的比例中项
KS101就例硒
列断匹条檄fi是否成比例,需要格这四条融从小到大依次H冽.再判81叟02图上距离与实蜉距离
解题思珞断前两条线段的比5后靖条线段的比是否相等即可;题型03利用比例的性技免断式子变形是否正确
题型04利用比例^39^1数的目
基本性搂a/b=c/d«ad=bc(bd*0)
蓬型05利用比例的性涣求代数式的值
合、分比住我a/b=c/do(a土b)/b=(c土d)/d(bd/0)班里3埋账55金分创吃筱尊
比例的性黄金分告购实际应用
相似0207
如果a/b=c/d=e/f==m/n=k(b+d+f+>n*0),题型08由平行税分线段成比例判断式子正误
BB形
好比性俵月%(a+c+e+-m)/(b+d+f+~+n)=kIS型09立行线分级段成比例(AT)
般行线分线段成比例
点C?mf殳AB分;H成AGCCB两晚如®AC/AB=BC/AJ隆微段AB被点4Hom(X&)
黄金分割C黄金分割,点C叫做民段AB的黄金分割点,AC与ABW比N做黄金比.ES111卓行城分雄段成比例与三角形中位哈合
题型12甲行线分嫉侬比隅9帮咫藕曲线之曲世
平行段分I5型13立行线分线段必比阳J常用辅助联之垂线
线段应比定理:三条平H歧载两条亘缘所我得的对应珑或成比碘.
例
推论:平行于三角形一边的a线豉其它常边(或酉边的延长姨)所得的
对四改成比例.
图
形
定义:4£舆边数相同的各边形,如果它们的角分别相等,边成比例的两
的
个多边形叫做相似多边形.
相联型01理第相似展形的概念
相似图形的微科以多边形的对应角相簿,对应边成比例.题型02相似多边形
似的由胡相^多边把的陶长比等于相©比.相心三角形的面积比等于相惧比的平强型03相似多边形的性质
与方.
位
似
定义:如果两个怪形不仅是相1以BB形,且对应点连线相交计点,对应线段相互平行,那么这样的两
个弼形C*tt位似HB形.
苜先看这两个图形是否科以
判距位似陛形的方法|----------------------------
再看对应点的连线是否经过位蚁中心
位似图形的对应顶点的逢线所在直线相交与一点KSI01位伤图形的识别
题型02列新位蚁中心
位似图形的对应边互相平行或者共线
IE里03根蚓立似的概念¥蜥正误
位假图形的性质雅里04求两个位似不形的相似比
位似图形位世图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
次堡05国已知图形放大壬缩小n倍后的位似图形
在立面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为k,那么位题型06天付似图形的坐标
似图形对应点的生标的比等于k或-k.题里07求位似图形的幽长度
!8型08在坐标系中求位似图形的周长
直位晚定位做中心,我原图形的关曜点.
或8109在坐标系中东付U丽彤的面积
像团她定位仰比
恤
以位项中心为急点向各关邰点作射版
顺次连结各截©点,即可得到要求的新闻形.
;主意:画位似弱形时,注意关于某点的位似图形有两个
考点一比例线段的概念与性质
知识梳理
线段的比的定义:两条线段的比是两条线段的长度之比.
比例线段的定义:对于四条线段三、b、C、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度的比)与另两条线段的
比相等,如三=一(即ad=bc),我们就说这四段线段是成比例线段,简称比例线段.其中a、匕、c、d叫组
成比例的项:a、d叫比的外项,b、c叫比的内项,
【补充】当比的内项相等时,即'或a:b=b:cl,线段b叫做线段a和d的比例中项.
【解题思路】
1)判断四条线段是否成比例,需要将这四条线段从小到大依次排列,再判断前两条线段的比与后两条线段
的比是否相等即可;
2)成比例的线段是有顺序的,比如:a、b、c、d是成比例的线段,则成比例线段只能写成E=京即:当1=祭),
bu第一条弟四条
而不能写成三=士
bc
比例的性质:
1)基本性质::=;<=>ad=be^=-<=>b2=ac
bdbc
(交换内项)
2)变形:==p(交换外项)核心内容:ad=be
g=(同时交换内外项)
3)合、分比性质:^=3=呼=岑
bdbd
【补充】实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差
b-a_d-c
(a+bc+d
4)等比性质:如果?=5=:=…=上=k,那么+"'=k(b+d+fT---FnH0).
bdfnb+d+f+…+n''
【补充】根据等比的性质可推出,如果则?=:=言(b+dHO).
bdbab+d
5)黄金分割:点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果啜=需那么线段AB被点C黄金分割,点C叫做线
ABAC
段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
【注意】1)AC="AB、0.648AB(竽叫做黄金分割值).简记为:自=杵=竽
2)一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点:
如图,已知线段AB,按照如下方法作图:
①经过点B作使BD^AB.
②连接AD,在DA上截取DE二DB.
③在AB上截取AOAE.则点C为线段AB的黄金分割点.4-^------
6)平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
①已知h〃L〃15,可得前=前或标=而或M=加或丘=而或而=蠢等
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中,会出现下面的两种情况:
推论:平行于三角形•边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
易混易错
1.求线段之比时,要先统i线段的长度单位,最后的结果与所选取的单位无关系.
2.通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a和b统一为一个单位,c和d
统一为另外一个单位也可以.
提升•必考题型归纳
题型01成比例线段
【例1】(2023•福建泉州•校联考模拟预测)下列长度的各组线段中,能构成比例线段的是()
A.2,5,6,8B.3,6,9,2C.1,2,3,4D.3,6,7,9
【答案】B
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积.然后根据比例线段的定义进行判断.
【详解】解:A.V2X8B5X6,
・・・2,5,6,8不能构成比例线段,不符合题意;
B.V2x9=3x6,
,3,6,9,2能构成比例线段,符合题意;
C.V1x4W3x2,
.•.I,2,3,4不能构成比例线段,不符合题意;
D.V3x9工6x7,
・・・3,6,7,9不能构成比例线段,不符合题意:
故选B.
【点睛】本题考杳了比例线段:判定四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两
条线段之比与后两条线段之比是否相等即可,求线段之比时,要先统一线段的长度单位,最后的结果与所
选取的单位无关系.
【变式「1】(2023•上海长宁・统考一模)已知线段〃、b、"是成比例线段,如果Q=l,b=2,c=3,
那么d的值是()
A.8B.6C.4D.1
【答案】B
【分析】利用成比例线段的定义得到a:b=c:d,然后根据比例的性质求d的值.
【详解】解:根据题意得:a-.b=c.d,
即1:2=3:d,
解得d=6.
故透:B.
【点睛】本题考查了比例线段:对于四条线段。、氏c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与
另两条线段的比相等,如a:b=c:d(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段.
【变式1-2](2023・上海杨浦•统考一模)已知线段a=3厘米,c=12厘米,如果线段b是线段Q和c的比例中
项,那么b=—厘米.
【答案】6
【分析】本题考查了比例线段,根据比例中项的定义得到a:b=b:c,然后利用比例性质计算即可,解题的
关键是理解四条线段a、b、c、d,如果具中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,a:b=c:d,
我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段,当a:b=b:c时,线段匕是线段a和c的比例中项.
【详解】•・•线段匕是线段Q和c的比例中项,
.\a:b=b:c,BP/?2=ac=3x12,
At=6(cm),
故答案为:6.
题型02图上距离与实际距离
【例2】(2023•江苏常州・常州市第二十四中学校考模拟预测)在比例尺是1:8000的地图上,延陵西路的长
度约为25cm,该路段的实际长度约为()
A.3200mB.3000mC.2400mD.2000m
【答案】D
【分析】首先设它的实际长度是双m然后根据比例尺的定义,即可得方程1:8000=25:,解此方程即可求
得答案,注意统一单位.
【详解】解:设它的实际长度为犹m,
根据题意得:1:8000=25:工
解得:x=200000,
V200000cm=2000m
・•・该路段实际长度约为2000m
故选:D.
【点睛】此题考查了比例线段.此题难度不大,解题的关键是理解题意,根据比例尺的定义列方程,注意
统一单位.
【变式2-1](2023•上海嘉定•校考一模)甲、乙两地的实际距离为250km,如果画在比例尺为1:5000000
的地图上,那么甲、乙两地的图上距离是cm.
【答案】5
【分析】根据比例尺=图上距离♦实际距离进行求解即可.
【详解】解:由题意得甲、乙两地的图上距离是250x1000x100x前急=5cm,
故答案为:5.
【点睛】本题主要考查了比例尺,熟知比例尺的定义是解题的关键.
题型03利用比例的性质判断式子变形是否正确
【例3】(2023•安徽合肥•校考一模)已知2x=3y(x=0,yH0),则下列比例式成立的是()
.xyx3xyp.x_2
A.-=-DB.-=-C.-=-D.-=-
322y23y3
【答案】A
【分析】根据若:=工0,d工0),则ad=be,进行逐一判断即可求解.
【详解】解:A.可化为2%=3y,故此项符合题意;
B.可化为盯=6,故此项不符合题意;
C.可化为3x=2y,故此项不符合题意;
D.可化为3x=2y,故此项不符合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查了比例是性质,掌握性质是解题的关键.
【变式3-1](2023•上海宝山•一模)已知线段公〃,如果a:b=2:3,那么下列各式中一定正确的是()
A.2a=3bB.a+b=5C.—=?D.=1
a2b+2
【答案】C
【分析】根据比例的性质进行判断即可.
【详解】解:A、由a:b=2:3,得3Q=2b,故本选项错误,不符合题意;
B、当a=4,6=6时,a:b=2:3,但是a+b=10,故本选项错误,不符合题意;
C^由Q:%=2:3,得—=|,故本选项正确,符合题意;
D、当Q=4,b=6时,a:b=2:3,但是汽二:,故本选项错误,不符合题意.
0+28
故选:C.
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形,用到的知识点:在比例里,两外项的积等于两内项的积,
比较简单.
题型04利用比例的性质求未知数的值
【例4】(2023•湖南郴州•模拟预测)若(5-%):%=2:3,则%=—.
【答案】3
【分析】根据比例的性质得到方程3(5-幻=2%,再解方程即可求解.
【详解】解:•;(5—X):。=2:3,
.*.3(5-%)=2x,
15-3%=2x,
解得%=3.
故答案为:3.
【点睛】本题考查比例性质,熟练掌握内项之积等于外项之积是解题关键.
【变式4-1](2023・四川成都・统考二模)若£=京且Q+b=7,则a的值为
【答案】3
【分析】根据比例的性质得到3b=4a,结合a+b=7求得a的值即可.
【详解】解:由a:b=3:4知3力=4a,
所以
«5
所以由a+b=7得到:a+;a=7,
解得:Q=3,
故答案为:3.
【点睛】考查了比例的性质,内项之积等于外项之积.若£=则ad=bc.
题型05利用比例的性质求代数式的值
【例5】(2023・浙江•模拟预测)用“▲”,“•”,“♦”分别表示三种物体的重量,若5=等=白,则上,•,
团团0+3
♦这三种物体的重量比为()
A.2:3:4B.2:4:3C.3:4:5D.3:5:4
【答案】B
【分析】可设曰=等二品=k,利用等比性质可得k的值,设▲为小♦为),,♦为z,得到3个等式,联立
可得用X表示),、Z,相比即可.
【详解】解:设g==▲为储•为y,♦为z,
E)□0+13
・・.k=^l£t£=^L=L
y+x+y+x2(x+y)2
:式=力y_z=1x,z=/+y),
y=2x,z=^x,
・•・▲,•,♦这三种物体的重量比为2:4:3.
故选:B.
【点睛】考查比例性质的应用;利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键.
【变式5-1](2023•上海虹口・统考一模)已知x:y=3:2,那么(x-y):%=—.
【答案】1:3
【分析】本题考杳了比例的性质,表示出y是解题的关键.先用x表示出y,再代入比例式进行计算即可得
解.
【详解】解:,.•%:y=3:2,
.2
/.(x—y):x=(x—',x—^x:x=1:3,
故答案为:1:3.
【变式5-2](2023•宁夏银川•校考一模)若2=4=;(a#c),则”=_____.
aC22Q-C
【答案】加.5
【分析】根据等比性质、合比性质转换即可.
【详解】解:•・q=m=:(aHc),
.2bd1/、
..——=-=-(ac),
2ac2K,
・2b-d1,…、
•,^7=2(a*c),
故答案为
【点睛】本题考查了比例线段,比例的性质,正确理解等比性质、合比性质是解题的关键.
【变式53](2023•江西抚州•校联考一模)解方程:
(l)x(x—3)=2%—6:
(2)已知a:b:c=2:3:4,且2a+3b-2c=15,求a-2b+3c的值.
【答案】(1)不=3,M=2;
⑵24
【分析】(1)先移项,再利用因式分解法解一元二次方程,此题得解;
(2)由a:b:c=2:3:4,可设a=2k,则b=3k,c=4k,根据2a+3b—2c=15nl得出关于上的一元一次
方程,解之即可得出Z值,进而可得出4、仄C的值,将其代入2b+3c中即可求出结论.
【详解】(1)解:移项得,x(x-3)-2(x-3)=0,
即(》一3)(工-2)=0,
即x-3=0或%-2=0,
解得:Xi=3,x2=2;
(2)解:Va:b:c=2:3:4»
・,•设a=2k,KOb=3k,c=4k.
V2a+3b-2c=15,
:.4k+9k-8k=15,
解得:k=3,
/.a=6,b=9,c=12,
Aa-2b+3c=6-18+36=24.
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性质,解题的关键是:(1)
熟练掌握因式分解法解一元一次方程的解法;(2)根据比例关系结合2Q+3b-女=15列出关于火的一元
一次方程.
【变式5-4](2023・安徽•校联考模拟预测)已知。=片==三=匕求k2-3k-4的值.
b+c+da+c+da+b+da+b+c
【答案】费或6.
【分析】当a+b+c+d和时,依据等比性质可得等誓耳二匕当a+b+c+d=O时,得b+c+d=-a,代入即可计
3(a+b+c+d)
算出k的值.
【详解】=*_=k
b+c+da+c+da+b+da+b+c
•・・当a+b+c+毋。时,由等比性质可得,会舞二k
k2(a+b+c+d)_2
3(a+b+c+d)3
当a+b+c+d=O时,b+c+d=-a,
•人高二等々;
当k=|时,k2—3k-4=Q)—3x|-4=—
当A=-2时,k2-3k-4=(一27-3x(-2)-4=6.
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用,解决问题的关键是掌握比例的性质.
题型06理解黄金分割的概念
【例6】(2023•上海杨浦・统考一模)已知P是线段4B的黄金分割点,且4P>8尸,那么下列等式能成立的是
)
ABAPBP
A.=—B.—=
APBPBPAP
AP、肉-1Ali诟-1
C.c
BP2D・篇=2
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点,根据黄金分割点的定义得出线段比例关系,选出正确选项,解题的关键是
掌握黄金分割点的性质.
【洋解】解:如图,
P
A'----------------------1--------------哈
•・•点P是线段A8的黄金分割点,且AP>8P,
._APPB,否-1,
••AB--AP--2
故选:A.
【变式6-1](2023•河南郑州・统考二模)神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊时期的帕提农
神庙(ParthenonTemple),我们把图中的虚线表示为矩形/BCD,并发现力0:DC弋0.618,这体现了数
学中的()
A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割比可得答案.
【详解】解:*:AD.DC«0.618,
,体现了数学中的黄金分割;
故选D
【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义,熟记黄金分割比为亨-0.618是解本题的关键.
【变式6-2](2023・四川成都•校考三模)已知点C为线段。B的黄金分割点,4C>BC.若AC=6cm,则48的
长为cm.
【答案】36+3/3+375
【分析】利用黄金比例列出方程解答即可.
【洋解】解:•••点C为线段48的黄金分割点,
AC51
:•=9
A32
6_Vs-l
A32
•••AB=3^5+3.
故答案为:3V5+3.
【点睛】本题考查了黄金分割点的应用,正确应用黄金比是解答本题的关键.
题型07黄金分割的实际应用
【例7】(2023•云南昆明•统考二模)如果矩形/WCD满足翌=与,那么矩形力8co叫做“黄金矩形”,如图,
BC2
已知矩形ABC。是黄金矩形,对角线相,8。相交于。且8。=2,则关于黄金矩形ABCO,下列结论不正确的
是()
A.AC=BDB.S^A0B=J—
C.AC=8-2y[5D.矩形A8CD的周长C=2通+2
【答案】C
【分析】计算得出AB=遥-1,根据矩形的性质求得各项,即可判断.
【详解】解:••噜=竽,且BC=2,
oCL
:.AB=V5-1,
•・•四边形/BCD是矩形,
:.AC=BD,故选项A正确,不符合题意;
••5△408=;S矩形.BCD=:X2X(若-1)二号」,故选项B正确,不符合题意;
:.AC=J(遥-以+22=J10-2遥H8-2通,故选项C错误,符合题意:
工矩形A8CD的周长C=2(遥-1+2)=26+2,故选项D正确,不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查了矩形的性质,二次根式的混合运算,掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键.
【变式7-1](2023•陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测)如图.点C是线段48的黄金分割点,即能=《
若工表示以。4为一边的正方形的面积,S?表示长为48,宽为CB的矩形的面枳,则Si与S2的大小关系是()
Ad
卜
A.S[>S2B.S1VS2C.&=$2D,无法确定
【答案】C
【分析】根据粤=啰得出力。2=a8・8C,根据§1=力。2,S=ABBC,得出SI=S2.
ACAB2
【详解】解:・・•点C是线段A8的黄金分割点,即登=受,
ACAB
/.AC2=AB-BC,
2
•:S]=AC.S2=AB-BCf
:$=s2»故c正确.
故选:c.
【点睛】本题主要考查了黄金分割,解题的关键是根据瞿=哼得出〃<2=48
ACAB
【变式7-2](2023•陕西渭南•统考一模)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)
的高度比,等于下部与全部的高度比(即馁=警),可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度”为
2m的雕像,则该雕像的下部高度5c应设计为—m.(结果保留根号)
A
【答案】(声-1)
【分析】雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比(即5=唱),48=2,
BCAB
设4C=x,根据比例即可求解.
【详解】解:•・•雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比,
工设=则BC=2—x,
・
..-X-=-2--X,
2-X2
解分式方程得,x=3+V5>2(舍去)或x=3-通,
检验,当无=3—病时,原分式方程有意义,
■\x=3—V5,即4C=3—V5,
:.BC=2-(3-V5)=V5-1,
••・该雕像的下部设计高度为(遍-l)m,
故答案为:(病—1).
【点睛】本题主要考查比例,解比例方程,理解题意,掌握比例的性质,解比例方程是解题的关键.
【变式7-3](2023・江西鹰潭•统考二模)【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例,具有严格
的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值、我们知道:如图1,如果与=差,那么称点C为线
ACAB
段71B的黄金分割点.
ACB
图2
(1)【问题发现】如图1,请直接写出C8与4c的比值是;
(2)1尺规作黄金分割点】如图2,在RtA/BC中,ZC=90°,BC=1,AC=2,在B4上截取BD=BC,在
AC上截取4£=71。,求笫的值;
/1C
(3)【问题解决】如图3,用边长为4的正方形纸片进行如下操作:对折正方形480E得折痕MN,连接EN,
点A对应点,,得折痕CE,试说明:C是4B的黄金分割点.
【答案】(1亨
⑵与
(3)见解析
2
【分析】3)由翌二喋得到CRT/?=4。2,由4/7=4C+c儿代入后整理得到(为十*-1=0,解方
ACAB\AC/AC
程即可得到答案;
(2)在Rt△A8C中,乙C=90°,BC=1,AC=2,由勾股定理得,AB=瓜由80=BC=1得到力。=AB-
FD=V5-1,则/E=/1D=而一1,即可得到翌的值;
(3)设EC与MN相交于点P,作PQ1EN于点Q,由MN||AB.MN=4B,且M为4E的中点得到芸=器=:,
AE2
EM=^AE=2,可得到PQ=MP=|/1C,设PQ=MP=^AC=x,则PN=4—,由勾股定理得到EN=2A/5,
由sinz_ENM=黑=警得到/—二解得X=1,贝ijAC=2A/^-2,求出*=当',=-5即可
PNEN4-x2V5AB2AC2
得到结论.
【详解】⑴解:••冬=2
ACAB
:,CB-AB=AC2,
':AB=AC+CB,
2
:.CB-(AC+CB)=ACf
整理得,CB2+CB-AC-AC2=0,
两边问除以Ze?得,偌了十£一1=0,
解得号=与1,招二年(不合题意,舍去),
AC2AC2
・・・C8与AC的比值是与,
故答案为:亨
(2)在RtZk/lBC中,4c=90。,BC=1,AC=2,
由勾股定理得,AB=\/AC2+BC2=旧+啜=yfs,
*:BD=BC=1,
:,AD=AB-BD=V5-1,
:.AE=AD=V5-1,
・AEV5-1
••一=-----,
AC2
即夕的值为冬;
AC2
(3)设EC与MN相交于点尸,作PQLEN于点。
图3
VM/V||AB,MN=AB,且M为力E的中点,
.MPEM1.1。
.•元=京''EM=*E=2,
TEC平分乙AE/V,
:.PQ=MP=^AC,
设PQ=MP=^AC=x,
则PN=MN-PM=4-x,
•:EN=TEM?+MN2=V22+42=2通,
.•.sinz/^L/VA?MM=P-Q=——EM,
PNEN
.x_2
**4-x-2店
解得x=V5-1,
经检验为=病-1是分式方程的根,
:.AC=2x=2\[S-2,
.AC_2百-2_75-1
••,
AB42
BC_4-(2后-2)_焊]
AC-26-2一?’
・BCAC后-1
••/=布=丁'
・・・C是4B的黄金分割点.
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理、正方形的性质、
解方程等知识,正确做出辅助线是解题的关键.
【变式7-4](2023・湖北孝感•校考模拟预测)阅读:两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割,
即:点P是线段/B上一点(4P>BP),若满足警=去则称点P是的黄金分割点.黄金分割在我们的数学
学习中也处处可见,比如我们把有一个内角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”.
图1图2图3
(1)应用:如图I,若点C是线段4B的黄金分割点(AC>8C),若.48=1,则AC的长为.
(2)运用:如图2,已知等腰三角形48c为“黄金三角形",=AC,乙2=36。,BD为N?18c的平分线.求证:
点。是4C的黄金分割点.
(3)如图3中,AB=AC,44=36。,BF平分乙48c交4。于尸,取48的中点E,连接E尸并延长交8C的延长线
于似.BC=1,请你直接写出CM的长为.
【答案】(1浮
(2)证明见解析
⑶CM=等
【分析】⑴设AC=a,则BC=l—a,根据黄金分割的含义可得:器=器即力C2=BCYB,再解方程
ACAB
即可;
(2)证明△C80〜△C48,推出丝=些,推出竺=竺,可得结论.
BCACADAC
(3)如图,连接力M,同理可得:LABC=Z.ACB=72°,Zl=Z2=36°=LBAC,可得力尸=BF=BC=1,
证明MEI力8,MB=MA,Z,CAM=72°-36°=36°=/.BAC,可得。是8M的黄金分割点,且BCVCM,
可得等二*,设CM=x,再解方程可得答案•
CMBM
【详解】(1)解:丁点C是线段AB的黄金分割点(4C>BC),AB=1,
设HC=Q,则8c=1—a,
即4c2=8。♦48,
ACAB
."•a2=1—a,
/.a2+a—1=0,
解得:。=年(负根舍去),
."C=等;
(2)证明:9:AB=AC,Z.A=36°,
:.£ABC=ZC=72°,
又丁加平分乙48C,
:.Z.ABD=乙CBD=-Z,ABC=36%
2
・"80C=36。+36。=72。,
:,AD=BD,BC=BD,即AD=BD=BC,
又,:LC=ZC,"BD=iA,
:.kCBDCAB>
.CDBC
••,1,
BCAC
.,.一CD=—AD,
ADAC
・・・。点是AC的黄金分割点.
(3)如图,连接AM,
同理可得:Z-ABC=Z-ACB=72°,zl=Z2=36°=4BAC,
.\AF=BF=BC=1,
•・•£为力8的中点,AF=BF,
:.ME1AB,
:.MB=MA,
A
C.LABM=Z.BAM=72°,/.AMB=36°,
:.LCAM=72°-36°=36。=^BAC,
同理可得C是BM的黄金分割点,且
•BCCM'/L
..而=前设CM=%'
.1
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