2024年中考数学复习第16讲 三角形的概念及性质（练习）（解析版）

第16讲三角形的概念及性质

录

题型过关练

题型01三角形的稳定性

题型02画三角形的高、中线、角平分线

题型03等面积法求三角形的高

题型04利用网格求三角形的面积

题型05与垂心性质有关的计算

题型06根据三角形的中线求长度

题型07根据三角形的中线求面积

题型08与重心性质有关的计算

题型09应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围

题型10应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子

题型11三角形内角和定理的证明

题型12应用三角形内角和定理求角度

题型13三角形内角和与平行线的综合应用

题型14三角形内角和与角平分线的综合应用

题型15三角形折叠中的角度问题

题型16应用三角形内角和定理解决三角板问题

题型17应用三角形内角和定理探究角的数量关系

题型18三角形内角和定理与新定义问题综合

题型19应用三角形外角的性质求角度

题型20三角形的外角性质与角平分线的综合

题型21三角形的外角性质与平行线的综合

题型22应用三角形的外角性质解决折叠问题

题型23三角形内角和定理与外角和定理综合

真题实战练

题型过关练

题型01三角形的稳定性

I.（2020.山西・校联考模拟预测）下列图形中，没有利用三角形的稳定性的是（）

A.人字,C.拉闸门D.自行车三脚架

【答案】C

【分析】根据三角形的稳定性解答即可.

【详解】解：选项C中闸门，没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形，

由三角形的稳定性可知，选项C中没有利用三角形的稳定性，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键.

2.（2021・吉林长春・统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木

条的数量至少为（）

【答案】B

【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案.

【详解】,・,三角形具有稳定性,

・•・要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，

•・•过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条），

・•・要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条，

故选:B.

【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三箱形具有稳定性是解题的关键.

题型02画三角形的高、中线、角平分线

3.（2023♦吉林长春•校联考二模）图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为

格点，小正方形的边长为1,在给定的网格中,按照要求作图（保留作图痕迹）.

（I）在图①中作△4BC的中线BD.

（2）在图②中作△ABC的高BE.

（3）在图③中作△A4C的角平分线BF.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

（3）见解析

【分析】（1）找出对角线为4c的矩形，连接另一条对称线，两条对角线的交点就是连接BD即可；

（2）找出与线段4c相等的线段8几4c与B7交于点E,连接BE即可；

（3）延长8C到H,使C4的长为小方格的正方形的边长，则==连接4,交外围大正方形的边于

点W,则W是线段4”的中点，连接8W即可.

【详解】（1）如图①中，线段8。即为所求；

（2）如图②中，线段BE即为所求;

【点睛】本题考查了用网格作图，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和

性质，正方形的性质，熟练运用这些知识是解题的关键.

4.（2021•吉根三模）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，aABC为格点三角形.请仅

用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法

/\\/\//\✓\/'✓\✓

L_________乂________X_____M_____0t_________乂__________k._________y

图①图②

（1）在图①中，画出△ABC中A8边上的中线CM；

（2）在图②中，画出△ABC中AC边上的高8N,并直接写出△ABC的面积.

【答案】（1）见解析

（2）图见解析，当

【分析】（1）连接。石，交AB与点、M,由菱形的判定与性质可知M是A8的中点，根据三角形中线的定义

即可得到结论；

（2）连接PQ,交AO于点M由菱形的判定与性质可知N是4。的中点，根据等边三角形的性质，即可知

BN1AO,即可得出结论.

【详解】（1）如图，线段CM即为所求;

图①

（2）如图，线段BN即为所求.

如图可知△4B0为边长是3的等边三角形，N为A。的中点.

・・.8"遗/1。二%

22

・・・SM8c=）C・BN=：X2X^=竽.

【点睛】本题考查了作图-应用与女计，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

题型03等面积法求三角形的高

5.在Rt△力BC中，乙4c8=90。，AC=8,BC=6,AB=10,则力B边上的高的长度是（）.

A.5B.5.6C.4.8D.4.6

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形的高.过点。作。。上力8于点。，根据三角形的面积公式求得CD

即可.

【详解】解:过点C作CD148于点D,

c

S&ARC=TxACxBC=xABxCD,

...|x8x6=ixl0xCD,

CD=Y=4.8,

故48边上的高长为4.8.

故选：C.

6.（2022・陕西西安•校考三模）如图，△A8C的顶点在正方形网格的格点上，若每个小正方形的边长为1,

则Z?C边上的高为.

【答案】2V5

【分析】设8C边上的高为江先艰据△ABC的面积等于其所在的正方形面积减去周围三个三角形的面积求

出AA8C的面积，根据勾股定理求出8c的长，再根据三角形面积公式即可求出/?.

【详解】解：设8c边上的高为力，

由题意得S—BC=4x4-ix3x4-ixlx2-1x2x4=5,

VBC=V12+22=V5,-BC-h=5,

2

.*./i={=2V5>

BC

故答案为：2>/5.

【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，勾股定理与网格问题，正确求出aABC的面积是解题的关键.

7.（2023上•陕西延安•八年级校联考阶段练习）如图，△A8C在平面直角坐标系中，力，B,C三点在方格线

的交点上.

⑴请在图中作出△/8C中边上的高.

（2）求的面积.

⑶点8到江边所在直线的距离为个，求力。的长度.

【答案】（1）见解析

（2）8

（3MC=5

【分析】（1）根据高线的定义结合网格特点作图即可;

（2）利用三角形的面积公式计算即可；

（3）根据三角形的面积公式列式计算即可.

【详解】（1）解：如图，边上的高CO即为所作；

(2)如图，S^ABC=^AB-CD=1x4x4=8；

(3)•・•点B到力。边所在直线的距离为蓝，

:*S&ABC=Xy=8,

AC=5.

【点睛】本题考查了三角形的高线，三角形的面积计算，熟练掌握网格特点是解题的关键.

题型04利用网格求三角形的面积

8.（2022・广东深圳・深圳市宝安中学（集团）校考三模）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单

位长度，△ABC的三个顶点A,B,C都在格点（正方形网格的交点称为格点）.现将△ABC平移.使点A

平移到点。，点E、尸分别是8、C的对应点.

（I）请在图中画出平移后的^DEF；

（2）分别连接A。，BE,则与比:的数量关系为位置关系为

（3）求^QEF的面积.

【答案】（1）见解析

（2）AD=BE,ADIIBE

（3）7

【分析】（1）利用平移变换的性质作出8,C的对应点E,尸即可；

（2）根据平移变换的性质解决问题即可；

（3）利用利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解.

【详解】（1）解：•・•点A平移到点。，

•••△A3C先向右平移6个单位，耳向下平移2个单位得到△DEF,

（2）解：:△ABC先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到△OEE

・••点A到点D与点B到点E的平移方向和平移距离相同，

：.AD\\BE,AD=BE；

故答案为：AD=BE,ADIIBE；

（3）解：S^DEF=4x4-2x4x1-2x3x1-lx4x1=7.

【点睛】本题考查作图一平移变换，平移的性质，网格二角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的

性质.

9.（2023•上海杨浦・统考一模）新定义：由边长为I的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称

为格点.如图，已知在5x5的网格图形中，△力BC的顶点A、B、C都在格点上.请按要求完成下列问题:

⑴“A8C=:sin乙4BC=；

（2）请仅用无刻度的直尺在线段A月上求作一点P,使SMCP=[SM8c•（不要求写作法，但保留作图痕迹，

写出结论）

【答案】（1）4,:

⑵作图见解析

【分析】（1）由正方形面积减去三个小三角形面积即可求出SMBC；过点A作ADJ.BC于点。.根据勾股定

理可求出AB=8C=4U.再根据三角形面积公式可求出4。=等，最后由正弦的定义求解即可；

（2）如图，取格点M和N,连接MN交48于点P,连接力M、BN,则4M||BN,即可证△力MP〜△BNP,

得出喘二警=：.再根据A/CP和ABCP同高，即得出SMCP：SA"P=；，进而得出5MCP=：5“BC，即说明

orDN445

点P即为所作.

【详解】（1）S^ABC=3x3-1x3xl-|x3xl-|x2x2

=4；

如图，过点A作40_LBC于点。.

由图可知48=BC="+32=./To.

-SAABC=IADBC=4,

：.^ADx710=4

.・.4。=”

5

4yT0

故答案为：4,点

（2）如图，点尸即为所作.

【点睛】本题考查利用网格求三角形的面积，求角的正弦值，三角形相似的判定和性质等知识.利用数形

结合的思想是解题关键.

题型05与垂心性质有关的计算

10.（2020下•江西赣卅九年级校考阶段练习）如图，已知锐角三角形48c的顶点4到垂心”的距离等于它

的外接圆半径，则iBHC的度数为（）

A

小C

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】利用直径所对的圆周角的性质和垂心的性质判断出力川ICD,CHWAD,进而判断出CD=R,再判断

出ACOD是等边三角形，即可得出结论.

【详解】解：如图，设△ABC的外接圆的半径为R,

连接8。，并延长3。交圆。于点O,连接。配AD,CD,CH,

•・•点。是△4BC的外心，

••・B。是。。的直径，

zfiCD=90°,

:,CD1BC,

•・•〃是ZUBC的垂心，

同理：CHWAD,

「・四边形AHCO是平行四边形，

：.CD=AH=R,

•・•点。是△ABC的外接圆的圆心,

：.0C=0D=R,

：,0C=0D=CD=R,

・・・A0CD是等边三角形,

AzFDC=60°,

・・・48AC=48OC=60°,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了三角形的外心和垂心，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判

断出CD=R是解本题的关键.

11.(2020•浙江杭州•九年级期末)如图,H、0分别为AABC的五心、外心,Z.BAC=45°,若A(BC外接圆

的半径为2,则力H=()

A.2V3B.2V2C.4D.V3+1

【答案】B

【分析】连接BO并延长交O0于点D,连接HC,CD,DA,由圆周角定理的推论，可得DCXBC,DA1AB,

由三角形的垂心的定义得AH_LBC,CH_LAB,从而得四边形AHCD是平行四边形，结合NB4C=45°^ABC

外接圆的半径为2,即可求解.

【详解】连接BO并延长交。。于点D,连接HC,CD,DA.

•・•点O是△ABC的外心，

・・・BD是。0的直径，

ADC1BC,DA1AB,

又二点H是AA8C的垂心,

AAH1BC,CH1AB,

，AH〃DC,CH〃DA,

:.四边形AHCD是平行四边形，

AAH=DC,

■:乙BAC=45°,△ABC外接圆的半径为2,

/.ZBDC=ZBAC=45°,BD=4,

AH=DC=BD4-72=44-V2=2V2.

故选B.

【点睛】本题主要考查三角形外心与垂心的定义，圆周角定理及其推论，平行四边形的判定和性质定理，

掌握三角形外心与垂心的定义，添加合适的辅助线，构造平行四边形和等腰直角三角形，是解题的关键.

题型06根据三角形的中线求长度

12.（2022.陕西西安.高新一中校考模拟预测）如图，△/WC中，A8=IO,AC=8,点。是8C边上的中点,

连接AQ,若的周长为20,则△A8O的周长是（）

A

A.16B.18C.20D.22

【答案】D

【分析】利用三角形的周长公式先求解40+CD=12,再证明=CD,再利用周长公式进行计算即可.

【详解】解：•••AC=8,△ACO的周长为2（）,

:.AD+CD=20-8=12,

•.•点。是8c边上的中点，

•••BD=CD,

■:48=10,

力BD的周长为：AB+BD+AD=10+AD+CD=10+12=22.

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形的周长的计算，三角形的边的中点的应用，掌握“三角形的周长公式及中点的

含义”是解本题的关键.

13.（2023・安徽•校联考一模）己知：△ABC中,4。是中线，点E在4。上,且CE=CD,LBAD=^ACE.则

郭值为（）

A.2B.在C.匹二D.上更

3222

【答案】B

【分析】根据已知得出△4。8s△CEA,则/8=iC4E,进而证明△84C〜△4DC,得出力（？=遮。。，即可

求解.

【洋解】解：.••△ABC中，40是中线,

：.BD=CD,

'：CE=CD,

工乙CED=LCDE,BD=CE,

：,LADB=Z.CEA,

又丁/B/。=AACE,

:.AADBCEA»

.*.zU=Z.CAE,

'：LBCA=/-ACD,

:.LBACADC>

.BC_AC

**~AC-"CD'

：.AC2=BCxCD=2CD2,

即=\f2CD,

CECDBCV2

二元二就=松=3'

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形

的性质与判定是解题的关键.

14.（2020•浙江•模拟预测）在△48。中,48边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8,则△力BC的面积为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得2AC•BC=

28,最后根据=TAC­8C求解即可.

【详解】解：如图，在△力8C中，力A边上的中线，

VCD=3,AB=6,

・・・CD=3,AB=6,

ACD=AD=DB,

:.Z1=z2,z3=Z4,

Vzl+z2+z3+z4=180°,

/.zl+z3=90°,

・・・zMBC是直角三角形，

：,AC2+BC2=AB2=36,

又,,"+BC=8,

：.AC2+2AC-BC+BC2=64,

:.2ACBC=64-(AC2+BC2)=64-36=28,

又；AABC=^AC-BC,

***^ABC=2X~2=

故选B.

【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关

键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三

角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.

15.（2023・陕西渭南・统考i模）如图，4。是AABC的中线，若48=6,AC=5,则△48。与△力CD的周长

之差为__________

【答案】1

【分析】利用三角形的中线的定义可知80=CD,所以两个三角形的周长差即为48-4C.

【详解】解：^ChABD=AB+BD+AD,C^ACD=AC+CD+AD,

CMBD-金/ICD=48+BD+AD-AC-CD-AD=AB+BD—AC-CD.

又•・•AD是△ABC中线，

：.BD=CD,

'：AB=6,AC=5,

,,^^ABD—^AACD=AB—AC=6—5=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段.

16.（2022・安徽合肥・统考一模）如图，A/WC中，AQ是中线，点石在A。上，且CE=CD=\,ZBAD=ZACE,

则AC的长为

【分析】先根据中线的定义和已知求得8C的长，然后利用等边对等角证得NCOE=4CED,进而得到"1EC=

^BDA,证得A/18D~ASE,由此再证得△力8C〜△D4C,利用相似三角形的对应边成比例即可求得AC的

长.

【详解】解：•••AA3C中，A。是中线，。。=1,

：.BC=2CD=2,

，：CE=CD,

*.LCDE=乙CED,

'：z.AEC+LCED=180°,乙BDA+LCDE=180°,

:,乙AEC=Z.BDA,

又,•,N8AO=NACE,

:,RABDsMAE,

.\z.CAE=乙B,

XVz/lCS=乙DCA,

：.LABC~A£MC,

**CD~AC'

即心=BC-CD,

TBC=2,CD=\,

：.AC2=BC-CD=2,

:.AC=a,

故答案为：V2

【点睛】本题考杳了相似三角形的判定和性质，能发现A4BC〜4c是解题的关键.

题型07根据三角形的中线求面积

17.（2023•辽宁葫芦岛•统考二模）在RSA8C中，"=90。，分别以点8,C为圆心，大于邻C长为半径画

弧，交于E,F两点、,连接EF,交BC于点、D,连接40.AD=原,CD=2,则△力BO的面积是（）

A.2B.3C.V13D.詈

【答案】B

【分析】由题意可得EO为的垂直平分线，故可得SM8D=S“CD，利用勾股定理求得4c的长，即可算出

Sue。•

【详解】解：由题意可得£0为8C的垂直平分线,

BD=CD,

•••/W是内△ABC的中线，

•••S^ABD=SMC。，

根据勾股定理，可得AC=VW-CD2=3,

'S&ABD=SpcD=QCD,AC—3>

故选:B.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，中线的性质，熟知垂直平分线的画法，得到ED为BC的

垂直平分线是解题的关键.

18.（2023・陕西西安・统考三模）如图，在△A8C中，AB=AC=5,8C=6,4。18aHe边上中线BE交于

点。，则4BCE的面积为（）

【答案】A

【分析】根据等腰直角三角形的性质求得8。=3,根据勾股定理求得力。=4,进而根据三角形面枳公式求

得SMBC，根据三角形中线的性质可得aBCE的面积为［S“8C，即可求解.

【详解】解：'：AB=AC=5,BC=6,ADLBC,

：.BD=DC=3,

RtAABD中，AD=>JAB2-BD2=V52-32=4,

11

:•SxABC=-BC-AD=&x6x4=12，

vBE是力。边上的中线，

•••△BCE的面积日SAABC=|xl2=6.

故选:A.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线的性质，求得SMBC是解题的关键•

19.（2023・陕西榆林•校考二模）如图，AD,BE分别为的中线和高线，△/WD的面积为5,AC=4,

则8E的长为（）

【答案】A

【分析】首先利用中线的性质可以求出△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：・・NO为△48C的中线，

•••△43。的面积为5,

ABC=2S^ABD=10，

TBE为AABC的高线，AC=4,

•“△ABC=xBE=：x4xBE=10，

:・BE=5.

故选:A.

【点睛】题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性.

20.（2023.浙江宁波.模拟预测）如图，已知△A8C的面积为10cm2,8P为448C的角平分线，AP垂直8P于

点P,则aPBC的面积为（）

A.6cm2B.5cm2C.4cm2D.3cm2

【答案】B

【分析】取AB的中点Q,连接PQ,CQ,根据直角三角形斜边中线的性质及平行线的判定得PQI8C,进而得

到SAPBC=Sg“，再根据等底同高三角形面积相等即可得到解答•

t详解】解；取4B的中点Q,连接。Q,CQ,

FAP1BP,

:.PQ=BQ,

：.^ABP=乙QPB,

HP垂直N8的平分线BP于P,

:.乙ABP=LCBP,

:•乙QPB=乙CBP,

：.PQ\\BC,

••SAPBC=S&BCQ，

f：AQ=BQ=\AB,△48C的面积为10cm2,

:，SABCQ=J^^ABC=~x10=5(cm2)>

,,SAPHC=5(cm2),

故选:B.

【点睛】考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，等底同高证明两三角形面

积相等，掌握△PBC的面枳和原三角形的面枳之间的数量关系是解题的关键.

题型08与重心性质有关的计算

21.(2()23•陕西西安・统考三模)在△48C中，点。为△ABU的重心，连接力。并延长交BC边于点。，若有力。=

”C,则△NBC为()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】首先利用重心的性质可以得到力D为△48c的中线，然后利用已知条件和等腰三角形的性质即可判

断.

【详解】解：如图，•.•点。为AABC的重心,

O

BDC

••.4。为△ABC的中线，

vAD=-2BC,

:.AD=BD=CD,

:./.BAD=ABD,Z.DAC=Z.DCA,

而ZB力。+Z.ABD+LDAC+（DCA=180°,

:.Z.BAD4-LCAD=90°,

：•^DAC=90°,

••.△ABC为直角三角形.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了三角形的重心的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，比较简单.

22.（2023•陕西西安・西安市铁一中学校考模拟预测）在等腰ZM8C中，AB=AC,D、E分别是BC,AC的中

点，点P是线段上的一个动点，当APCE的周长最小时，P点的位置在（）

A.△ABC的重心处B.力。的中点处C.4点处D.D点处

【答案】A

【分析】连接P8,BE,首先证明PC+PE=P8+PE,由PB+PENBE,推出当B,P,E共线时，PC+PE

的值最小，此时8E是△ABC的中线，由此即可判断.

【详解】解：如图，连接P8,BE.

A

•：AB=AC,BD=CD,

AD1BC,

:.PB=PC,

APC+PE=PB+PE,

•••PB+PE>BE,

.••当b,P,E共线时,PC十PE的值最小,此时BE是△/IBC的中线,

•••4）也是中线，

•••点P是△A8C的重心，

故选：A.

【点睛】本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，轴对称线段和最短问题，关键是学会添加常用辅助

线，学会利用两点之间线段最短解决问题.

23.（2023・陕西榆林・统考二模）如图，点G为△48C的重心，连接CG,AG并延长分别交/W,BC于点E,

F,连接EF,若AC=3.4,则£尸的长度为（）

A.1.7B.1.8C.2.2D.3.4

【答案】A

【分析】根据点G为△48C的重心，可知点E为48的中点，点”为8c的中点，即可求解.

【详解】解：•・•点G为△力8c的重心，

・••点E为43的中点，点F为BC的中点,

・・・EF为△48。的中位线,

'：AC=3.4,

:.EF=1.7

故选:A.

【由,睛】本题考查了二角形重心的概念，知道重心是中线的交点是解题的关键.

24.（2023•上海松江•统考二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形力EGD与△48C面积的比值是（）

2

D.

5

【答案】B

【分析】连接DE,根据三角形中位线定理以及中线的性质可得。EIIBC,DE=/（：，SAABD=灯.BC，S&BDE=

片“皿，从而得到△ADE…ACB,进而得到黑=母=：,#=（案）2=6）2=：,继而得到Sa%=

乙HDGc5、AABCXOC/\Z/4

]S&BDE，SgDE=【Suge，可得又。"=&x^SMBC=石5-8「再由S四边形4EGD=，即可•

【详解】解：如图，连接

•••点G是△48c的重心，

・••点。，E分别为AC,4B的中点,

DE||BC,DE=-BC,ShABD=~S^ABC,S^BDE=-S^ABD,

:.AADE^△ACB»

.DGEGDE

BGCGBC2

££_££_!SAAED_/丝,_/1\2_1

BD~CE~3'S&ABC~\BC)~\2)-4,

••SADEG=QSABDE，S^ADE=

••SADEG=3x3sMBD=%SAABD，

:・S&DEG=%X3s“BC—石SAAUC，

'S四边物IEGD=SMDE+S&DEG=\+~^^^ABC=3sMBC，

即四边形AEG。四。面积的比值是;.

故迄B

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形

的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键.

题型09应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围

25.（2023•福建福州•校考二模）已知三角形两边长分别为3和5,则第三边的长可能是（

A.2B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取

值范围，即可得出结果.

【详解】解：根据三角形的三边关系，得

故第三边的长度5-3VxV5+3,即2<%<8,

・••这个三角形的第三边长可以是6.

故选:B.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式，确定取值

范围即可.

26.（2023・河北廊坊•校考三模）如图，AB=3,AD=2,BC=1,CD=5,则线段80的长度可能是（）

D

3

A.3.5C.4.5

【答案】C

【分析】由三角形48。可得1<80<5,由三角形BCD可得4<BD<6,从而可得答案.

【详解】解：由三角形480可得IV80V5,

由三角形BCD可得4<BD<6,

A4<BD<5,

・・・A,B,D不符合题意，C符合题意；

故选C

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系是应用，熟记三角形的三边关系是解本题的关键.

27.（2023•浙江杭州•校考二模）如图，在RtUBC中BCJL4C,27128,28=5,CD=3,则4C的长的

取值范围是（）

A

A.AC<5B.AC>3C.3<Z1C<5D.3<AC<5

【答案】D

【分析】根据直角三角形的斜边大于直角边逐步分析即可.

【详解】解：在Rta/IBC中,

•・・BC14C,

：.AC<AB,即ACV5,

*：CDLAB,

：.AC>CD,即4c>3,

.*.3<AC<5f

故选D.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握直角三角形的斜边大于直角边.

28.（2023•河北沧州・统考三模）有四根长度分别为2,4,5,x（%为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾

顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（）

A.最小值是8B.最小值是9C.最大值是13D.最大值是14

【答案】D

【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边

之差小于第三边“，进行分析即可得到答案.

【详解】解：根据题意可得：2、4、x,4、5、x,2、4、5,2、5、%都能组成三角形，

•••4—2<x<4+2,5—4V%<5+4,5—2<冗<5十2,

即2Vxe6,1<x<9,3<x<7,

3<x<6,

•••K为正整数，

二无取4或5,

要组成的三角形的周长最小，即x=4时，三边为2,4,4,其最小周长为2+4+4=10,

要组成的三角形周长最大，即工=5时，三边为4,5,5,其最大周长为4+5+5=14

故选:D.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，利用分类讨论的思想，掌握三角形任意两边之和大于第三边，

任意两边之差小于第三边，是解答本题的关键.

题型10应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子

29.（2023•山东德州・统考二模）已知a,b,c是三角形的三条边，则|c一a-匕|+|c+b-a|的化简结果为

（）

A.0B.2a+2bC.2bD.2a+2b—2c

【答案】C

【分析】根据三角形三边的关系得到c-a-b<0,c+b-a>0t由此化简绝对值再合并同类项即可得到

答案.

【详解】解：•・•〃，b,C是三角形的三条边,

+b>c,h+c>a,

/.c—a—b<0,c+b—a>0,

/.|c-a—b\+|c+b—a|

=一(c-a—b)+(c+b—a)

=a+b-c+c+b-a

=2b,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值和合并同类项，熟知三角形中任意两边之和大丁

第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键.

30.(2023•河北沧州•统考模拟预测)若448c三条边长为a,b,c化简:\a-b-c\-\a+c-b\=.

t答案】2b—2a/—2a+2b

【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到a-b-c<0,c^a-b>0,

再根据绝对值性质化简即可求解.

【详解】解：根据三角形的三边关系得：a-b-c<0,c+a-b>0,

•••\a-b—c\-\a+c—b\

=-(a-b-c)-(a-I-c-b)

=-a+b+c—a—c+b

=2b-2a.

故答案为：2b-2a.

【点睛】本题考查了绝对值的化简和三角形三条边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任

意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它

的相反数，是解答本题的关键.

31.(2022上•湖北咸宁•八年级校考阶段练习)已知〃，〃，c是三角形的三边长，化简：\a-b-c\+\b-c+

a|+|c-a-b\=.

【答案】a+3b-c

【分析】根据三角形三边之间的关系得出如尻。之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简.

【详解】解：•・•〃、仄c是三角形的三边长，

a+b>c,b+c>a,a+b>c,

•*»Q—b—c<ZOtb—c+a>0,c-a—bvO,

-b-c\+\b—c+a\+\c-a—b\=-a+b+c+b—ca—c+a+b=a+3b—c,

故答案为：a+3b-c.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，掌握三角形三边关系是解题的关键.三角形三

边关系定理：三角形任意两边之利大于第三边.

题型11三角形内角和定理的证明

32.（2023•河北衡水•校联考二模）定理：三角形的内角和是180。.

已知：MED、乙C、乙。是△CED的三个内角.

求正：zC+zD4-zCFD=180°.

有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②④表示NBEC；③上述证明得到的结论，只有在锐

角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形.其中正确的是（）

证明：如图，过点七作直线4氏

使得ABIICD,

.\z2=zD（*）,

.•.zl+z@=180°,

・••乙C+4O+4CEO=180°.

A.①②B.②③C.②④D.①③

【答案】C

【分析】将证明过程补充完整，由此可得出结论①不正确，结论②正确，结合得到的结论适用于任何三角

形，可得出结论④正确.

【详解】证明：如图，过点七作直线48,

使得48||CD,

・・.，2=4。（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意；

：.L1+Z-BEC=180°,

：.LC+ZD4-LCED=180°.故②符合题怠;

上述证明得到的结论，适用于任何三角形.

故③不符合题意；④符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，将证明三角形的内角和是180。的过程补充完整

是解题的关键.

33.（2023•河北沧州・统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容.下列P1

答不正确的是（）

定理：三角形的内角和为180。.

已知：AABC.

求证：乙4++乙ACB=180°.

证明：延长BC到点。，过点C作CE||@,

，“=◎（两直线平行，内错角相等），

£B=▲

•••Z.ACB+Z-ACE+乙ECD=180°（平角定义），

:./4+48+Z.ACB=180。（等量代换）.

A.@代表ABB.◎代表乙4G?C.▲代表NEG）D.※代表两直线平行，同位角相等

【答案】B

【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可.

【详解】证明：延长到点0,过点C作CEII4氏

・••乙4=4CE（两直线平行，内错角相等），

乙B=LECD（两直线平行，同位角相等）.

•••Z.ACB+Z.ACE+乙ECD=180°（平角定义），

•••/A++乙ACB=180°（等量代换）.

・••四个选项中只有B选项结论错误，符合题意；

故选B.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键.

34.（2023•河南关B州•统考二模）下面是小颖同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等

于180。这一命题，请你帮她补充完整.

命题：三角形的三个内角的和等于180。.

己知：如图，AABC.

求证：//+/8+/O180。.

证明：如图1,延K&4到D,以为边，在其右侧尺规

作NDAE=NB,

V/DAE=/B,

请你帮她完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），

并完善证明过程.

【答案】见解析

【分析】先根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图，然后根据证明AEII8C,得到=由平

角的定义可得NBAC+乙EAC+WAE=180°,则484c+NC+乙8=180°.

【详解】证明：如图，

：.AE||BC,

/./.EAC=乙c,

♦：Z.BAC+Z.EAC+4DAE=180%

：./.BAC+Z.C+Z.B=180°,

即三角形三个内角的和等于180。.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，尺规作图一作与已知角相等的角，灵活运

用所学知识是解题的关键.

题型12应用三角形内角和定理求角度

35.（2022•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在中，乙4=35。，ZF=55°,BC=5,

则边的长是（）

A.」一B.5cos55。C.5tan55°D.5sin55°

cos550

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理可得，ZC=90°,再根据三角函数的定义，求解即可.

【详解】解：由题意可得：NC=180。一44-48=90。，

・・・A48C为直角三角形，如下图：

B

CA

由三角函数的定义可得，sinA=cosB=—,BPsin350=cos550=—

A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意，

故选：A

【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义.

36.（2023•河北沧州・模拟预测）在A4BC中,数据如图所示,若41比0小2。,则42比“（）

A.大2。B.小2。C.大4。D.小4。

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理，得乙4++乙C=+△2,得到乙8+4C=乙1+42,乙B一Z1

42-”1结合已知判断即可.

【详解】根据三角形内角和定理，得乙4+48+〃？=△4+乙1+匕2,

・••乙8+zC=zl+z.2,

/.—zl=z2—zC,

•・21比匕B小2°,

.\z2-zC=2°,

故选A.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键.

37.（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，在中，AB=AC=CD,Z.BAC=40°,则匕。的度数

为.

【答案】35。/35度

【分析】先根据等腰三角形的性质，得出=70。，乙D=匕CAD,根据三角形的外角得出4。+

/.CAD=/.ACB,求出/。的度数即可.

【详解】解:9：AB=AC,AC=CD,

:•乙D+Z.CAD=Z-ACB,

：.LACB=NB=2zD=70°,

AzD=35°.

故答案为:35。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角.

38.（2022•福建福州•校考模拟预测）在△力8c中，乙1:4&4C=1:2:3,^AC-.AB=.

【答案】

【分析】先由在△ABC中，NANBZC=1:2:3得出乙1、乙8和，C的度数，再分别利用勾股定理、30。角所对

的直角边等于斜边的一半得出答窠.

【详解】解：在△力8c中，乙4:46:4C=1:2:3,

/.zC=3z.A,Z.B=2/.A,

vZ.A+Z.B+Z.C=180°,

，乙4+2-1+341=180°,

LA=30°,

:.Z.B=60°,ZC=90°.

/.BC=-AB,

2

：.AC=7AB2-BC2=更AB,

2

•••AC:AB=—.

2

故答案为：

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.

题型13三角形内角和与平行线的综合应用

39.（2023・湖北黄冈•三模）如图为两直线八m与△ABC相交的情形,其中八m分别与BC、4B平行.根据图

中标示的角度，则乙3的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】A

【分析】由两直线平行同旁内角互补可得出乙4、乙C的度数，再根据三角形内角和可得;l"B的度数.

【详解】解：•••，、瓶分别与BC、48平行，

•••ZC4-120°=180°,LA+115°=180°,

ZC=60°,乙4=65°,

LB=180°-^-Z.C=55°,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，由两直线平行同旁内角互补可得出乙4、LC

的度数是解题的关键.

40.(2023•河南安阳・统考二模)如图，在△48C中，40是乙84C的平分线，过点C的射线CE与4D平行，若

乙B=60°,LACB=30°,则44CE的度数为()

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理求出ZB4C,再根据角平分线的定义可得NBAD=N£MC=45C,最后利用

平行线的性质可得乙4CE=Z.DAC.

【详解】解：；乙B=60°,Z.ACE=30°,

/.BAC=180°-60°-30°=90。，

•••4。是。的平分线，

:.LBAD=Z.DAC=45°,

•••ADWCE,

•••LACE=Z.DAC=45°,

故选：B.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质.熟练掌握平行线的性质是解题的

关键.

41.(2021•宁夏银川・统考一模)如图，4c是平行四边形ABCD的对角线，点E在4C上，40=4E=8从ZD=

102°,则乙BAC的大小是()

DC

E

AB

A.24°B.26°C.28°D,30°

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质得到乙48。=/。=102。"又BC,根据等腰三角形的性质得到/EA8=/£84

4BEC=/ECB,根据三角形外角的性质得到NAC8=2NC48,由三角形的内角和定理即可得到结论.

【详解】解：:四边形48C。是平行四边形，

・・・N4BC=ND=102。，AD=BC,

'：AD=AE=BEf

BC=AE=BE,

；・NEAB=NEBA,NBEC=NECB,

ZBEC=ZEAB+ZEBA=2ZEAB,

，ZACB=2ZCAB,

・•・ZCAB+ZAC3=3ZCAB=\8O°-/ABC=18O°-l02°,

，N8AG26。，

故答案为：26。.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，正确的识别图形找到

角与角之间的关系是解题的关键.

题型14三角形内角和与角平分线的综合应用

42.(2022・江苏无锡•校考一模)如图，BE、C尸都是△力BC的角平分线，且NBDC=110°,则/力=.

【答案】40740®

【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可.

【详解】解：••'BE、C”都是△ABC的角平分线，

AZA=I8O°-(N4BC+N4CB)：

=180°-2(NDBC+NBCD)

VZBDC=ISO0-（NDBC+4BCD）,

：.ZA=180°-2（180°-ZBDC）

AZBDC=90°+-ZA,

2

・・・NA=2（110。—90。）=40°.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键.

43.（2U2U・浙江绍兴•模拟预测）△48C中，4〃是N84C的角、卜分线，AE是△A8C的高.

（1）如图1,若48=40。，LC=60°,请说明NZME的度数；

（2）如图2QBV乙C）,试说明4AE、乙B、乙C的数量关系.

【答案】（1）ND4E=10°

（2）WAE理由见解析

【分析】（1）根据三角