河北省衡水市武强中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案及解析

武强中学2024—2025学年度上学期期中测试高二数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，直线，则点A到直线l的距离为（）A.1 B.2 C. D.2.设，，向量，，，且，，则（）A. B. C. D.3.已知直线与直线，若，则（）A. B.2 C.2或 D.54.如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是A. B. C. D.5.直线被圆所截得的弦长为（）A. B.1 C. D.26.三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于()A.－2 B.2 C. D.7.椭圆左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（）A.1 B.C. D.28.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A. B. C. D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列叙述正确的是（）A.直线倾斜角的取值范围是B.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率C.若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或10.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（）A与EF相交 B.平面DEFC.EF与所成的角为 D.点到平面DEF的距离为11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A离心率B.面积最大值为C.以线段为直径的圆与直线相切D.的最小值为0三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________13.已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.14.已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则ΔABC的面积为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.16.已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.17.已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求点P的坐标．18.如图，三棱锥中，平面，，．分别为线段上的点，且．(1)证明：平面；(2)求二面角余弦值．19.出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离.（1）已知点，，求的值；（2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求；（3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积.武强中学2024—2025学年度上学期期中测试高二数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，直线，则点A到直线l距离为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解：点，直线，则点A到直线l的距离,故选：C.【点睛】点到直线的距离.2.设，，向量，，，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据和，可分别求出的值，再根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为，所以即，解得x=0，因为，所以，解得y=−1，所以，，所以.故选：B.3.已知直线与直线，若，则（）A. B.2 C.2或 D.5【答案】A【解析】【分析】解方程，再检验即得解.【详解】解：若，则，所以或．当时，重合，不符合题意，所以舍去；当时，符合题意．故选：A4.如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】（法一）连接，则即为异面直线与所成的角，解三角形即可；（法二）分别以、、为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，可得、、、各点的坐标，从而得出、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出、的夹角余弦之值，即可得到异面直线与所成的角的余弦值．【详解】解：（法一）连接，由题意，，则即为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为2，则，则，在中，；（法二）分别以、、为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，得，2，，，0，，，2，，，2，，，，，，0，，因此，得到，，且，，异面直线与所成的角是锐角或直角，面直线与所成的角的余弦值是，故选：A．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．5.直线被圆所截得的弦长为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线距离公式可得，再由垂径定理及弦长关系即可求得所截弦长.【详解】圆，所以圆心，半径，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截得的弦长为，故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆相交的弦长求法，垂径定理的应用，属于基础题.6.三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于()A.－2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：考点：平面向量数量积的运算7.椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（）A.1 B.C. D.2【答案】C【解析】【分析】设，，根据和余弦定理，列方程求解即可【详解】设，，则，又（1），（2），（1）式平方减去（2）式得：，得：.故选：C【点睛】本题考查余弦定理，考查向量的数量积运算，主要考查学生的计算能力，属于基础题.8.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离的范围，由三角形的面积公式计算即可.【详解】因为线分别与轴，轴交于两点，所以，所以，由，可得圆的圆心为，半径为，因为点在圆上，所以圆心到直线的距离为，故到直线的距离的范围为，则.故选：A.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列叙述正确的是（）A.直线倾斜角的取值范围是B.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率C.若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或【答案】ACD【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解.【详解】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确；对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误；对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确；对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确；故选：ACD.10.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（）A.与EF相交 B.平面DEFC.EF与所成的角为 D.点到平面DEF的距离为【答案】BCD【解析】【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱中，．，F分别是AC，AB的中点，，．又平面DEF，平面DEF，平面故B正确；对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．，，．与所成的角为，故C正确；对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量．0，，1，，由，即，得取，则，0，，设点到平面DEF的距离为d．又2，，，点到平面DEF的距离为，故D正确．故选：BCD【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A.离心率B.面积的最大值为C.以线段为直径的圆与直线相切D.的最小值为0【答案】CD【解析】【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项.详解】对于A：由椭圆可知，，，，所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A错误；对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大，所以面积最大值为，故选项B错误；对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1，由圆心到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确；对于D：设，，，则的最小值为，故选项D正确；故选：CD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________【答案】【解析】【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解.【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以，解得.故答案为：13.已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】【详解】设，由余弦定理知，所以，故填.14.已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则ΔABC的面积为___________.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.【详解】由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程；（2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出．【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为.因为直线过点，所以直线的方程为，即.（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，所以，解得或.故直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．16.已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【小问1详解】因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d.据题意，d＝|AC|，则，解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d，则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小问2详解】k不存在时，x＝0符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.17.已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求点P的坐标．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义得到，求得，进而求得，即可求得椭圆的标准方程；（2）设点，由，求得，代入椭圆的方程，进而求得点的坐标.【小问1详解】解：由椭圆的焦点为，可得，即，又由椭圆的定义，可得，因为的周长为，可得，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：设点，且，，则，因为，可得，解得，即，将代入椭圆，可得，即，解得，所以点的坐标为.18.如图，三棱锥中，平面，，．分别为线段上的点，且．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面，可知，再分析已知由得，这样与垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于，平面，因此两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面和平面的法向量，向量的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论．试题解析：（1）证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD（2）解：由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．以Ｃ为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），设平面的法向量，由，，得.由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即.从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角A-PD-C的余弦值为.考点：考