第17讲 万有引力定律及其应用(讲义)（原卷版）-2025年高考物理一轮复习讲练测（新教材新高考）

第17讲万有引力定律及其应用目录01、考情透视，目标导航TOC\o"1-3"\h\u02、知识导图，思维引航 303、考点突破，考法探究 3考点一开普勒定律 3知识点1、开普勒三大定律的内容 3知识点2、开普勒第二定律的数学表达式 4知识点3、开普勒第三定律的数学表达式 4考向1.开普勒第一定律的理解 5考向2.开普勒第二定律的理解 5考向3开普勒第三定律的应用 6考点二宇宙速度 6知识点1．第一宇宙速度的推导 7知识点2．宇宙速度与运动轨迹的关系 7考向洞察 7考向1对宇宙速度的理解 7考向2第一宇宙速度的计算 8考向3第二宇宙速度的计算 8考点三万有引力定律 8知识点1．万有引力定律的理解 9知识点2．星体表面及上空的重力加速度 9知识点3.万有引力与重力的关系 9考向洞察 10考向1万有引力与重力的大小关系 10考向2天体表面的重力加速度的计算 10考向3地球表面某高度和某深度的重力加速度 11考点四天体质量和密度的计算 12考向洞察 13考向1“自力更生”法(g－R) 13考向2“借助外援”法(T－r) 1404、真题练习，命题洞见 15考情分析2024·辽宁·高考物理试题2024·江苏·高考物理试题2024·甘肃·高考物理试题2024·湖北·高考物理试题2024·江西·高考物理试题2024·北京·高考物理试题2023·辽宁·高考物理试题复习目标目标1.了解开普勒三定律内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。目标2.理解万有引力定律的内容，知道适用范围。目标3.掌握计算天体质量和密度的方法。目标4.掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关系。目标5.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。考点一开普勒定律知识点1、开普勒三大定律的内容定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是____，太阳处在_______的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。知识点2、开普勒第二定律的数学表达式已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。由开普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，则有eq\f(1,2)v1Δt·r1＝eq\f(1,2)v2Δt·r2，可得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)。知识点3、开普勒第三定律的数学表达式把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得：eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，即k＝eq\f(GM,4π2)。考向1.开普勒第一定律的理解1.(多选)下列说法正确的是()A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点B．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向C．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直D．太阳是静止不动的考向2.开普勒第二定律的理解2.如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是()A．太阳位于焦点F1处B．S1>S2C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkND．在N和P处，小行星的加速度aN>aP考向3开普勒第三定律的应用1.(2024年1月·广西高考适应性演练)我国酒泉卫星发射中心在2022年将“夸父一号”卫星送入半径为r1的晨昏轨道；2023年又将“星池一号A星”送入半径为r2的晨昏轨道eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r1>r2))，“夸父一号”与“星池一号A星”在绕地球运行中，周期之比为()A．1∶1 B．r1∶r2C．eq\r(r13)∶eq\r(r23) D．eq\r(r23)∶eq\r(r13)2.2021年2月，我国首次火星探测任务中探测器“天问一号”成功进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极轨转移轨道(图中未画出)，进入近火点高度(离火星表面的高度)为h、远火点高度为H、周期为eq\f(1,5)T的火星停泊轨道。已知火星半径为R。则大椭圆环火轨道半长轴为()A.eq\r(3,\f(25,8))(H＋h) B.eq\r(3,\f(25,8))(H＋h＋2R)C.eq\f(25,2)eq\r(5)(H＋h) D.eq\f(25,2)eq\r(5)(H＋h＋2R)考点二宇宙速度知识点1．第一宇宙速度的推导法一：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v12,R)得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s≈7.9×103m/s。法二：由mg＝meq\f(v12,R)得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s≈7.9×103m/s。第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时人造卫星的运行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))≈5078s≈85min。知识点2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v发＝7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。(2)7.9km/s＜v发＜11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11.2km/s≤v发＜16.7km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。(4)v发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。考向1对宇宙速度的理解1．(多选)已知火星的质量约为地球质量的eq\f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq\f(1,2)。下列关于“天问一号”火星探测器的说法中正确的是()A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度D．“天问一号”火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的一半考向2第一宇宙速度的计算2．某星球直径为d，航天员在该星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为()A.eq\f(v0,2) B．2v0eq\r(\f(d,h))C.eq\f(v0,2)eq\r(\f(h,d)) D.eq\f(v0,2)eq\r(\f(d,h))考向3第二宇宙速度的计算3．火星的表面积相当于地球陆地面积，火星的自转周期约为24.6h，火星半径约是地球半径的0.53倍，火星质量约是地球质量的0.11倍。已知地球半径约为6.4×106m，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2，逃逸速度为第一宇宙速度的eq\r(2)倍。根据以上信息请你估算火星的逃逸速度约为()A．3.0km/s B．4.0km/sC．5.0km/s D．6.0km/s考点三万有引力定律知识点1．万有引力定律的理解(1)内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与成正比、与它们之间成反比。即F＝Geq\f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。(2)适用条件①公式适用于间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。②质量分布均匀的球体可视为质点，r是间的距离。知识点2．星体表面及上空的重力加速度(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空的重力加速度大小g′地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)。知识点3.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。考向1万有引力与重力的大小关系1．(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是()A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)考向2天体表面的重力加速度的计算2．(2024·广东中山模拟)被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)已取得一系列重大科学成果，发现新脉冲星数量超过800颗。脉冲星就是旋转的中子星，某中子星的质量是太阳质量的20倍，自转周期为0.01s，半径是地球绕太阳运动的轨道半径的eq\f(1,106)。已知地球绕太阳做匀速圆周运动的向心加速度约为6.0×10－3m/s2，则该中子星两极表面的重力加速度大小约为()A．4.0×108m/s2 B．6.0×1010m/s2C．1.2×1011m/s2 D．2.0×1013m/s2考向3地球表面某高度和某深度的重力加速度3．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是()A．g1＝eq\f(R,R＋h)g B．g2＝eq\f(R,R－d)gC．g1＝eq\f(R3,R－dR＋h2)g2 D．g1＝eq\f(R－dR＋h2,R3)g2【【题后反思】不同位置处重力加速度的比较地面地下天上两极(或不计自转)赤道g＝eq\f(GMr,R3)＝eq\f(GM,R3)(R－h)g＝eq\f(GM,r2)＝eq\f(GM,R＋h2)考点四天体质量和密度的计算天体质量和密度的计算方法类型方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天体的质量r、vGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)m中＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)，Geq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)m中＝eq\f(gR2,G)—密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(m中m,r2)＝meq\f(4π2,T2)rm中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时，ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)—考向1“自力更生”法(g－R)1.(2024·黄山高三质检)据报道，中国新一代载人运载火箭和重型运载火箭正在研制过程中，预计到2030年左右，中国将会具备将航天员运上月球的实力，这些火箭不仅会用于载人登月项目，还将用在火星探测、木星探测以及其他小行星的探测任务中。假设中国航天员在月球表面将小球以速度v0竖直向上抛出，小球上升的最大高度为h，已知月球的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是()A．月球表面的重力加速度大小为eq\f(v02,h)B．月球的第一宇宙速度为eq\f(v0,2h)eq\r(Rh)C．月球的质量为eq\f(2v02R2,Gh)D．月球的密度为eq\f(3v02,8πGRh)【题后反思】利用天体表面的重力加速度g【题后反思】利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。2.一卫星绕某一行星做匀速圆周运动，其高度恰好与行星半径相等，线速度大小为v。而该行星的环绕周期(即沿行星表面附近飞行的卫星运行的周期)为T。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.eq\f(v3T,2πG)B.eq\f(\r(2)v3T,2πG)C.eq\f(v3T,πG)D.eq\f(\r(2)v3T,πG)3.2022年11月27日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若已知该卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，其线速度大小为v，角速度大小为ω，引力常量为G，则地球的质量为()A.eq\f(v3,Gω2) B.eq\f(v2,Gω)C.eq\f(v3,Gω) D.eq\f(v2,Gω2)【题后反思】【题后反思】测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。1．（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（）A． B． C． D．2．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（）A． B． C． D．3．（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（）A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小4．（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（）A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍5．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（）A． B． C． D．6．（2024·全国·高考真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（）A．在环月飞行时，样品所受合力为零B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小7．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（）

A． B． C． D．8.（2023·北京·高考真题）2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是（）

A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离9．（2024·河北·高考真题）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功