2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练八对数与对数函数课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练八对数与对数函数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2024·天津高考)设a=30.7,b=QUOTE,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】选D.因为a=30.7>1,b=QUOTE=30.8>30.7=a,c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.【加练备选·拔高】(2024·长郡模拟)三个数log67,0.76,log0.76的大小依次是 ()A.log0.76<0.76<log67B.0.76<log67<log0.76C.log0.76<log67<0.76D.0.76<log0.76<log67【解析】选A.log67>log66=1,0<0.76<0.70=1,log0.76<log0.71=0,所以log0.76<0.76<log67.2.1614年纳皮尔在探讨天文学的过程中为了简化计算而独创对数;1637年笛卡尔起先运用指数运算;1770年,欧拉发觉了指数与对数的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的独创先于指数,称为历史上的珍闻.若2x=QUOTE,lg2=0.3010,则x的值约为 ()A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669【解析】选A.由2x=QUOTE,lg2=0.3010,所以x=log2QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈1.322,即x的值约为1.322.【加练备选·拔高】依据有关资料,围棋状态空间困难度的上限M约为3361,而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与QUOTE最接近的是 ()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093【解析】选D.设QUOTE=x=QUOTE,两边取对数,lgx=lgQUOTE=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x=1093.28,即与QUOTE最接近的是1093.3.(2024·泰安模拟)对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一平面直角坐标系内的图象可能是 ()【解析】选A.由对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x可知,①当0<a<1时,此时a-1<0,对数函数y=logax为减函数,而二次函数y=(a-1)x2-x开口向下,且其对称轴为x=QUOTE<0,故解除C与D;②当a>1时,此时a-1>0,对数函数y=logax为增函数,而二次函数y=(a-1)x2-x开口向上,且其对称轴为x=QUOTE>0,故B错误,而A符合题意.4.(2024·眉山模拟)已知a>0,若函数f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上是增函数,则a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.要使f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,则y=ax2-x在[3,4]上单调递增,且y=ax2-x>0恒成立,即QUOTE解得a>QUOTE.5.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则 ()A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数【解析】选D.由QUOTE得x∈(-10,10),且f(x)=lg(100-x2).所以f(x)是偶函数,又t=100-x2在(0,10)上单调递减,y=lgt在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在(0,10)上单调递减.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知log23=a,3b=7,则loQUOTE2QUOTE的值为________.

【解析】由题意3b=7,所以log37=b.所以loQUOTE2QUOTE=loQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.(2024·宜宾模拟)设函数f(x)=lgQUOTE的定义域为A,g(x)=QUOTE的定义域为B,A⊆B,则a的取值范围是__________.

【解析】由QUOTE-1>0,可得-1<x<1,所以A={x|-1<x<1},由(x-a)2-1≥0,可得x-a≥1或x-a≤-1,所以B={x|x≥a+1或x≤a-1},因为A⊆B,-1≥a+1或1≤a-1,所以a≤-2或a≥2.答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)8.(2024·南充模拟)已知函数f(x)=QUOTE关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是________.

【解析】问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1.答案:(1,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)9.函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1).(1)求方程f(x)=0的解;(2)若函数f(x)的最小值为-1,求a的值.【解析】(1)由QUOTE得-3<x<1.所以f(x)的定义域为(-3,1).f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)=loga(-x2-2x+3).令f(x)=0,得-x2-2x+3=1,解得x=-1-QUOTE或x=-1+QUOTE,经检验均满意原方程成立.故f(x)=0的解为x=-1±QUOTE.(2)由(1)得f(x)=loga[-(x+1)2+4],x∈(-3,1).由于0<-(x+1)2+4≤4,且a∈(0,1),所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4.因为函数f(x)的最小值为-1,所以loga4=-1,解得a=QUOTE,所以实数a的值为QUOTE.10.已知定义在R上的函数f(x)=kx+log9(9x+1)(k∈R).(1)若k=0,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)是偶函数,求实数k的值.【解析】(1)k=0时,f(x)=log9(9x+1),因为9x>0,所以9x+1>1,所以log9(9x+1)>log91=0,所以f(x)的值域为(0,+∞).(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),因为f(-x)=-kx+log9QUOTE=-kx+log9QUOTE=-kx+log9QUOTE-x=-QUOTEx+log9QUOTE,所以-QUOTEx+log9QUOTE=kx+log9(9x+1),所以-(k+1)x=kx,所以-(k+1)=k,解得k=-QUOTE.1.(5分)(2024·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2【解析】选B.设f(x)=2x+log2x,则f(x)为增函数,因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log所以f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)=log2QUOTE=-1<0,所以f(a)<f(2b),所以a<2b,解除A选项.f(a)-f(b2)=2a+log2a-(QUOTE+log2b2)=22b+log2b-(QUOTE+log2b2)=22b-QUOTE-log2b,当b=1时,f(a)-f(b2)=2>0,此时f(a)>f(b2),有a>b2,当b=2时,f(a)-f(b2)=-1<0,此时f(a)<f(b2),有a<b2,所以解除C,D选项.【光速解题1】选B.因为2a+log2a=4b+2log4b=4b+log令b=1,则2=21+log21<2a+log2a=4<22+log则1<a<2,可解除A,D选项.令b=2,则23+log23<2a+log2a=17<24+log【光速解题2】选B.令a=2,则1<b<2,所以2<2b<4,即a<2b.故选B.2.(5分)已知a>b>1,若logab+logba=QUOTE,ab=ba,则a=______,b=________.

【解析】由于a>b>1,则logab∈(0,1),因为logab+logba=QUOTE,即logab+QUOTE=QUOTE,所以logab=QUOTE或logab=2(舍去),所以QUOTE=b,即a=b2,所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以a=2b,b2=2b,所以b=2(b=0舍去),a=4.答案:423.(5分)函数fQUOTE=QUOTE,若fQUOTE的值域为QUOTE,则a的值为________.

【解析】因为fQUOTE=QUOTE(ax2-2x+4)(a∈R)的值域为QUOTE,所以ax2-2x+4>0,且函数y=ax2-2x+4的最小值为QUOTE,即QUOTE解得a=QUOTE.答案:QUOTE【加练备选·拔高】若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围为________.

【解析】令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在(-∞,1]上单调递减,则有QUOTE即QUOTE解得1≤a<2,即a∈[1,2).答案:[1,2)4.(10分)(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=loga(3-ax).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?假如存在,试求出a的值;假如不存在,请说明理由.【解析】(1)因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0.所以a<QUOTE.又a>0且a≠1,所以a∈(0,1)∪QUOTE.(2)t(x)=3-ax,因为a>0,所以函数t(x)为减函数.因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以y=logat为增函数,所以a>1,当x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),所以QUOTE即QUOTE故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.5.(10分)已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2fQUOTE.(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的最值.【解析】(1)函数g(x)=[f(x)]2+2fQUOTE满意QUOTE解得1≤x≤4,即函数g(x)=[f(x)]2+2fQUOTE的定义域为[1,4].(2)因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2].g(x)=[f(x)]2+2fQUOTE=QUOTE+6+2log2x2=QUOTEx+10×log2x+15=QUOTE-10,当log2x=0时,g(x)min=15,当log2x=2时,g(x)max=39,即函数g(x)的最大值为39,最小值为15.1.已知点A(1,0),点B在曲线G:y=lnx上,若线段AB与曲线M:y=QUOTE相交且交点恰为线段AB的中点,则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点.那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.4【解析】选B.设B(x0,lnx0),x0>0,线段AB的中点为C,则CQUOTE,又点C在曲线M上,故QUOTE=QUOTE,即lnx0=QUOTE.此方程根的个数可以看作函数y=lnx与y=QUOTE的图象的交点个数.画出图象(如图),可知两个函数的图象只有1个交点.2.函数y=f(x)的定义域为D,若满意:①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]⊆D,使得f(x)在[a,b]上的值域为QUOTE,则称函数f(x)为“胜利函数”.若函数f(x)=logc(cx+t)(c>0,且c≠1)是“胜利函数”,则t的取值范围为()A.(0,+∞)B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.因为f(x)=logc(cx+t)(c>0,且c≠1)是“胜利函数”,所以f(x)在其定义域内为增函数,f(x)=logc(cx+t)=QUOTEx,所以cx+t=QUOTE,cx-QUOTE+t=0,令a=QUOTE>0,所以a2-a+t=0有两个不同的正数根,所以QUOTE解得t∈QUOTE.【加练备选·拔高】已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的值域为()A.