数学期望在决策型问题中的应用资料

0•上一记录0返回O下载❽打印©Em日il•下一记录【标题】数学期望在决策型问题中的应用【作者】付奎【关键词】数学期望经济问题决策型问题【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】一、引言在日常生活和经济活动中，公民应该具有合理的决策能力.所谓决策能力就是指决策分析，这是在20世纪发展起来帮助人们在复杂情况下,在可供选择的行动中,作出选择的一组数学模型和数学方法.决策分析有助于阐明许多复杂的情况，那里存在着数目极大的可能的行动以及许多不同的自然状态，决策者必须平衡极大化期望和极小化风险这样的矛盾的要求，还必须在一个多阶段过程的每一个阶段做出决策.例如：个人的采购、求职、投资、企业的生产或经营方案、股票和保险的获利等方面.经常需要对事物的进展情况作出决策，以便用最有利的方式采取行动，由于事物的进展情况和信息往往受随机因素的影响，使得决策带有风险性.因此，人们常把数学期望作为决策参考的重要依据.其原理如下：1、若离散型随机变量的概率分布列为：若级数绝对收敛，则称为的数学期望或均值.2、若连续型随机变量，其概率密度为若绝对收敛，则称的值为的数学期望或均值.我们知道数学期望是随机变量的概率平均值.因此，数学期望能够从最大程度上刻画、反映出各种随机因素的影响，从而成为风险决策的重要数字特征.二、主要定义定义1离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布律为( )=( 1，2， )，若级数绝对收敛，则称的值为的数学期望(或均值)，记作 ,即.定义2连续型随机变量的数学期望设为连续型随机变量，其概率密度为,若绝对收敛，称的值为的数学期望(或均值)，记作()，即() .定义3随机变量函数的数学期望设是随机变量，=()是的函数，()是连续实函数.当是离散型随机变量，其分布律为( ) ( 1，2， )，当级数绝对收敛时，随机变量()的数学期望为:() [()]当是连续型随机变量概率密度是，若积分绝对收敛，随机变量=()的数学期望为:() [()]数学期望无论从计划还是从决策观点看都是至关重要的，在日常生活和经济活动中，人们往往不自觉地利用它.本文就是通过具体的实例来说明数学期望在决策型问题(日常生活和经济活动中)中的应用.三、数学期望在实践中的应用求职决策问题有三家公司为大学毕业生李明提供了应聘的机会，按面试的时间顺序这三家公司分别记为A、B、C,每家公司都可以提供极好、好、一般三种职位.每家公司根据面试情况决定给予何种职位或拒绝提供职位.按规定，双方在面试后要立即作出决定提供、接受或拒绝某种职位,且不允许毁约.咨询专家在为李明的学业成绩和综合素质进行评估后认为,他获得极好、好、一般、没有的可能性分别为、 、、.三家公司的工资承诺见下表：李明如果把工资作为首选条件的话,那么他在各公司面试时,对该公司提供的各种职位应如何对策？公司 职位极好好一般ABC解析：由于面试时间有先有后，使得李明在A、B公司作选择时，还要考虑后面的C公司的情况，所以应先从C公司开始讨论：C公司的工资期望值为：(元)现在考虑B公司.因为B公司的一般职位工资只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司极好或好的职位，否者就到C公司应聘.如此决策时，他的工资期望值为:(元)最后考虑A公司.只有极好职位的工资超过3015元，所以他只接受A公司极好的职位，否则就到B公司应聘.因此，他的总决策是这样的：先去A公司应聘，若A公司提供极好的职位就接受，否则就到B公司应聘，若B公司提供极好或好的职位就接受，否则就到C公司应聘，接受C公司提供的任何职位.在这一决策下，他的工资期望值为：（元）.营销决策问题暑假期间，某书店计划订购一本新版书，根据以往经验来预测，这本新书销售量为、、（本）的概率分别为、、，这本书的订购价为元，销售价为元，如果售不出以后处理剩书每本为元，试确定应订购多少本新书盈利才最大？分析：售出一本新书能得到利润元，处理剩书将亏损元，为决定进货量，应先求出在不同销售量时盈利的数学期望.解：订购本，销售本，盈利（元），因此，盈利数的分布列为：（元）（1）订购本，销售本、本.盈利分别为（元），因此，盈利数的分布列为：（元）（2）订购本，销售本、本、本时盈利分别为（元）、 （元）、 （元），此时盈利数的分布列为:元根据盈利的数学期望较高，决定订本.投资决策问题某人有万元,有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息.买股票的收益取决于经济形势,假设可分三种状态:形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）.若形势好可获利万元,若形势中等可获利万元,若形势不好要损失万元.如果是存入银行,假设年利率为,即可得利息元,又设经济形势好、中、差的概率分别为、和,试问选择哪一种方案可使投资的效益较大?分析：要确定选择哪一种投资方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值来进行判断.解：由假设，一年中两种投资方式在不同经济形势下对应的收益与概率如下表所示：购买股票状态经济形势好经济形势中等经济衰退收益概率存入银行状态经济形势好经济形势中等经济衰退收益概率从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好的经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势衰退，则采取存入银行的方案比较好.小面通过计算加以分析：如果购买股票，其收益的期望:元如果存入银行，其收益的期望:元因此，按照期望收益最大原则，应选择购买股票.保险公司获利问题一年中一个家庭万元被盗的概率是，保险公司开办一年期万元上家庭财产保险，参加者需缴保险费元，若在一年内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿元(<)，试问如何确定，才能使保险公司期望获利?解：只需考察保险公司对任一参保家庭的获利情况，设表示保险公司对任一参保家庭的收益，则的取值为或，其分布列为:根据题意：()>解得<，又>，所以£(,)时保险公司才能期望获利.进货问题设某种商品每周的需求是取从区间上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损元．若供不应求，则可以外部调剂供应．此时一单位商品获利元．为使商品所获利润期望不少于元，试确定进货量．解：设进货量为，则利润为=()期望利润为：()+依题意有：解得：故利润期望值不少于元的最少进货量为单位.风险决策问题某渔船要对下月是否出海作出了决策，如果出海后遇到好天气，可得到收益元，如果出海后天气变坏将损失元，若不出海，无论天气如何都将承担元损失费.据气象部门的预测下月好天气的概率是，天气变坏的概率为，请你为渔船做出决定，是出海还是不出海？依据是什么？分析：因为天气好与坏是一个不确定的因素，因此作出决策时会存在一定的风险，但必须按风险决策中的期望收益最大准则选择方案.解：设该渔船的一次试验收益数为一随机变量，则其分布列为：数学期望由>知，该渔船出海可得到收益的数学期望元高于不出海经济损失费元，故应选择出海.方案决策问题某厂要决定今后年内生产某电子产品的生产批量，以便及早做好生产前的各项准备工作.根据以往销售统计资料及市场调查和预测知：未来市场出现销路好、销路一般、销路差三种状态的概率分别为、和，若按大、中、小不同生产批量投产，今后年不同销售状态下的益损值如下所示：状态益损销路好销路一般销路差方案 概率大批量生产益损中批量生产益损小批量生产益损试作出分析，以确定最佳生产批量.解：比较期望益损法是常用的决策方法之一，下面算出每一方案的期望益损：比和 均大，所以认为选择中批量生产方案为优.决策优化问题对某学校的名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检查，可以用以下两种方法：(1)每个人的血样分别化验，这时共需化验次；(2)把每个人的血样分成两份，取个人的血样各一份混在一起化验，如果结果为阴性，那么对这个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这个人的另一份血样逐个化验，这时对这个人共需次化验．据报道，对所有人来说，化验结果为阳性的概率为.试比较两种方法所需次数的多少．解:考虑第二种方法时，每个人所需的检验次数为.个人的混合血样呈阴性的概率为,呈阳性的概率为.当个人一组的混合血样呈阴性时，可以认为每个人需要次化验；当个人一组的混合血样呈阳性时，可以认为每个人需要次化验．所以()()为是的函数，表3是取一些正整数时的值．(由计算器讲行计算)表3函数值由以上数据可知，当=时，最小，约为，即对每个人约需检验次，人约需次检验,因此应采取第二种方法.把个人的血样分成一组，所需检验次数最少,这样可减少的工作量,从而提高了工作效率．而当大于时，接近于,分组已经没有意义了.四、结