直角三角形的性质和判定压轴题八种模型全攻略（原卷版）

专题01直角三角形的性质和判定压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一直角三角形的两个锐角互余】 1【考点二直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】 3【考点三含30°角的直角三角形三边数量关系】 5【考点四直角三角形中三边关系即勾股定理】 7【考点五锐角互余的三角形是直角三角形】 9【考点六利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形】 11【考点七用HL证全等】 14【考点八全等的性质和HL综合】 15【过关检测】 19【典型例题】【考点一直角三角形的两个锐角互余】例题：（2023上·辽宁大连·八年级校联考期中）如图，等腰三角形中，，，于D，则等于．【变式训练】1．（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则．2．（2023上·新疆喀什·八年级统考期中）如图，已知的两条高相交于点O，，求的度数．【考点二直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】例题：（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，是的中线，，，则的度数为．【变式训练】1．（2023上·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）如图，在中，，，，E为中点，若，则．

2．（2023上·陕西安康·八年级统考期中）如图，在中，为斜边的中点，连接．若，求的长．

【考点三含30°角的直角三角形三边数量关系】例题：（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点D为边中点，，并与边交于点E，如果，，那么等于．【变式训练】1．（2023下·广东茂名·八年级校考期中）如图，中，，则的长为．2．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，为的中点，，(1)求的长．(2)请直接写出线段与线段之间的数量关系．【考点四直角三角形中三边关系即勾股定理】例题：（2022上·河南南阳·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接，则的长为．【变式训练】1．（2023上·广东湛江·八年级校考期中）在中，，若，则，．2．（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）在中，，，，．(1)若，，求；(2)若，，求．【考点五锐角互余的三角形是直角三角形】例题：（2023上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（2022上·山东德州·八年级校考阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）下列对的判断，错误的是（

）A．若，，则是等边三角形B．若，则是直角三角形C．若，，则是等腰三角形D．若，，则【考点六利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形】例题：（2023上·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，点D为内一点，且，．(1)求BC的长；(2)求图中阴影部分（四边形）的面积．【变式训练】1．（2023上·新疆喀什·九年级校联考期中）如图，已知等腰的底边是腰上一点，且(1)求证：是直角三角形；(2)求的周长2．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）已知：在四边形中，，．(1)求的长．(2)是直角三角形吗？如果是，请说明理由．(3)求这块空地的面积．【考点七用HL证全等】例题：（2023上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在与中，点E，F在线段上，，，，求证：．【变式训练】1．（2023上·天津静海·八年级校考期中）如图，已知，，，与交于点O，求证：2．（2023上·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期中）已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：．【考点八全等的性质和HL综合】例题：（2023上·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考阶段练习）在中，为延长线上一点，点在上，连接、，且．(1)求证：；(2)若，求的长．【变式训练】1．（2023上·河北承德·八年级校考期中）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点E．(1)求证：；(2)若，，求的周长．2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在中，F为延长线上一点，点E在上，且．(1)若，求度数；(2)求证：；(3)试判断与的位置关系．【过关检测】一、单选题1．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在中，，，，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）满足下列条件的不是直角三角形的是

（

）A． B．C． D．3．（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，下列说法中，不正确的是（

）A． B． C． D．4．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，若的垂直平分线经过点，，则（

）A．6 B．4 C．3 D．25．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，在中，，把绕点旋转至的位置，延长交于点．若，．则的长为（）A．9 B．6 C．8 D．7二、填空题6．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在中，，D是的中点．若，则．7．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是．8．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知的三条边长，，满足，则的面积为．9．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）如图所示，在中，，的垂直平分线交，于点D，E，且，则的度数为．10．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）如图，是边长为的等边三角形，动点分别同时从点A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都为，当点P到达点B时，两点停止运动，设点P的运动时间为，当时，是直角三角形．三、解答题11．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．

(1)__________，__________，__________；(2)的形状为__________三角形；(3)求中边上的高__________．12．（2023上·广东江门·八年级校考期中）如图，点B、F、C、E在同一直线上，、相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．13．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，中，，是的中线，垂直平分．(1)求证：；(2)若，求的度数．14．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．(1)当时，则______；(2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值；(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何