直角三角形的性质和判定压轴题八种模型全攻略（解析版）

专题01直角三角形的性质和判定压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一直角三角形的两个锐角互余】 1【考点二直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】 3【考点三含30°角的直角三角形三边数量关系】 5【考点四直角三角形中三边关系即勾股定理】 7【考点五锐角互余的三角形是直角三角形】 9【考点六利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形】 11【考点七用HL证全等】 14【考点八全等的性质和HL综合】 15【过关检测】 19【典型例题】【考点一直角三角形的两个锐角互余】例题：（2023上·辽宁大连·八年级校联考期中）如图，等腰三角形中，，，于D，则等于．【答案】/23度【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：∵在等腰三角形中，，，∴，∵，∴，∴；故答案为：．【变式训练】1．（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则．【答案】【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长交于点M，可得在中，三边所在的高交于一点，即，由此即可解答．【详解】解：延长交于点M，如图，在中，三边所在的高交于一点，∴，∵，∴，故答案为：．2．（2023上·新疆喀什·八年级统考期中）如图，已知的两条高相交于点O，，求的度数．【答案】【分析】本题考查了三角形的高线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和，根据三角形高线的定义及可知，再利用直角三角形的性质得到，最后利用三角形的内角和即可解答．【详解】解：∵的两条高相交于点O，，，∴，∴．【考点二直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半】例题：（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，是的中线，，，则的度数为．【答案】/度【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质解决问题即可．【详解】解：是斜边的中线，，．是的一个外角，，．．故答案为：．【变式训练】1．（2023上·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）如图，在中，，，，E为中点，若，则．

【答案】2【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，先证，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出和，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出．【详解】解：，，，，，中，，，，又中，，，中，E为中点，．故答案为：2．2．（2023上·陕西安康·八年级统考期中）如图，在中，为斜边的中点，连接．若，求的长．

【答案】【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解．【详解】中，，，∵D为斜边的中点，．【考点三含30°角的直角三角形三边数量关系】例题：（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点D为边中点，，并与边交于点E，如果，，那么等于．【答案】【分析】本题考查线段垂直平分线的判定和性质、等腰三角形性质、三角形外角定理、含角的直角三角形的性质等．由题意可知，垂直平分，进而得到；利用外角定理可知，再利用“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，即可解答．【详解】解：∵点D为边中点，，∴垂直平分，∴，∴,∴，∴，故答案为：．【变式训练】1．（2023下·广东茂名·八年级校考期中）如图，中，，则的长为．【答案】8【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半．【详解】解：，，，，，，，，故答案为：8．2．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，为的中点，，(1)求的长．(2)请直接写出线段与线段之间的数量关系．【答案】(1)(2)【分析】本题考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线．（1）根据含30度的直角三角形的性质，得到，斜边上的中线，得到，即可得出结果；（2）根据30度的角所对的直角边为斜边的一半，即可．掌握30度的角所对的直角边为斜边的一半，斜边上的中线为斜边的一半，是解题的关键．【详解】（1）解：∵为的中点，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴．【考点四直角三角形中三边关系即勾股定理】例题：（2022上·河南南阳·八年级期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接，则的长为．【答案】/【分析】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先再由线段垂直平分线的性质得，从而在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，设，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，故答案为：．【变式训练】1．（2023上·广东湛江·八年级校考期中）在中，，若，则，．【答案】14【分析】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，由含角的直角三角形的性质得到．由勾股定理求出的长．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：14，．2．（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）在中，，，，．(1)若，，求；(2)若，，求．【答案】(1)(2)20【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，（1）由于所求边c是斜边，所以利用勾股定理直接可得，代入a，b的值即可求得c的值；（2）设，，根据，可得，即可求得b的值．【详解】（1）∵在中，，，，，，，∴根据勾股定理，．（2）∵∴设，，∵在中，，，∴，∴，（负值舍去），∴，．【考点五锐角互余的三角形是直角三角形】例题：（2023上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键．【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意；B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；C、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意．故选：A．【变式训练】1．（2022上·山东德州·八年级校考阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形．【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意故答案为：C【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键．2．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）下列对的判断，错误的是（

）A．若，，则是等边三角形B．若，则是直角三角形C．若，，则是等腰三角形D．若，，则【答案】D【分析】利用等边三角形的性质（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）即可判断A；设三个角的度数之比为，利用三角形内角和为计算求解即可判断B；利用三角形内角和为求解未知角度数即可判断C；根据等腰三角形的性质（等边对等角）即可判断D．【详解】选项A：，，是等边三角形，故本选项正确，不符合题意．选项B：，，最大角的度数是．是直角三角形，故本选项正确，不符合题意．选项C：，，．．是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意．选项D：，．，．，故本选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定的理解能力以及三角形的内角和定理．涉及有一个角是的等腰三角形是等边三角形；在同一个三角形中，有两个底角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）；内部有一个角为的三角形为直角三角形；任意三角形内角和为．明确相关知识点进行分析是解本题的关键．【考点六利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形】例题：（2023上·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，点D为内一点，且，．(1)求BC的长；(2)求图中阴影部分（四边形）的面积．【答案】(1)5(2)24【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．（1）根据勾股定理求解即可；（2）由勾股定理逆定理可证为直角三角形，且，再根据，结合三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：在中，，∴．（2）解：∵，，，∴，∴为直角三角形，且，∴．∵，∴．【变式训练】1．（2023上·新疆喀什·九年级校联考期中）如图，已知等腰的底边是腰上一点，且(1)求证：是直角三角形；(2)求的周长【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．（1）由，知道，所以为直角三角形，（2）由（1）可求出的长，周长即可求出．【详解】（1）证明：∵，，∴为直角三角形；（2）解：设，∵是等腰三角形，∵，∴即解得：，∴的周长2．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）已知：在四边形中，，．(1)求的长．(2)是直角三角形吗？如果是，请说明理由．(3)求这块空地的面积．【答案】(1)(2)是直角三角形，理由见解析(3)【分析】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型．（1）利用勾股定理，求解即可；（2）利用勾股定理的逆定理证明即可；（3）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可．【详解】（1）解：在中，，∴．（2）解：结论：是直角三角形．理由：∵，∴，，∴，∴，∴是直角三角形．（3）【考点七用HL证全等】例题：（2023上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在与中，点E，F在线段上，，，，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查三角形全等的证明，运用“”方法即可证明．【详解】∵，∴，即，∵，∴在和中，，∴．【变式训练】1．（2023上·天津静海·八年级校考期中）如图，已知，，，与交于点O，求证：【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定，和是两个直角三角形，根据证明即可．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，∴．2．（2023上·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期中）已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：．【答案】见解析【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定两个三角形全等是解决此题的关键．【详解】证明：∵∴，在和中，，∴．【考点八全等的性质和HL综合】例题：（2023上·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考阶段练习）在中，为延长线上一点，点在上，连接、，且．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质．（1）直接证明，得到，再利用等腰三角形的判定与性质即可得出结论；（2）根据，利用勾股定理求出，由（1）知，由即可求解．【详解】（1）证明：在与中，，，，；（2）解：，，，，，．【变式训练】1．（2023上·河北承德·八年级校考期中）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点E．(1)求证：；(2)若，，求的周长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．（1）先证，即可利用证明即可；（2）根据（1）中结论可得，根据的周长即可解题．【详解】（1）证明：平分，，在和中，，∴；（2）解：∵，，的周长．2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在中，F为延长线上一点，点E在上，且．(1)若，求度数；(2)求证：；(3)试判断与的位置关系．【答案】(1)(2)见详解(3)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．（1）根据在中，，F为延长线上一点，点E在上，且，可以得到和全等，根据全等三角形的性质，进行求解即可；（2）根据，可以得到，然后即可转化为的关系，从而可以证明所要证明的结论；（3）根据，，，结合，即可作答．【详解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴；∵，∴，∴，∴，∴，即．（2）证明：∵，∴，∵，∴．（3）解：，过程如下：延长交于一点H，如图∵，∴，由（1）知，∴，∴.【过关检测】一、单选题1．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在中，，，，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形的性质是解题的关键．由题意知，，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∴，故选：C．2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）满足下列条件的不是直角三角形的是

（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握三角形内角和定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．根据三角形中最大的角，可判断A的正误；由勾股定理的逆定理可判断B、C、D的正误．【详解】解：∵，∴三角形中最大的角，不是直角三角形，故A符合要求；∵，∴，∴，是直角三角形，故B不符合要求；∵，设，则，，∴，∴，是直角三角形，故C不符合要求；∵，∴，∴，是直角三角形，故D不符合要求；故选：A．3．（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，下列说法中，不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、同角的余角相等，根据含角的直角三角形的性质可得，即可判断A；根据同角的余角相等得出，即可判断B；根据含角的直角三角形的性质可得，即可判断C；分别计算出和，进行计算即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：由图可得：，，，，故A正确，不符合题意；，，，，故B正确，不符合题意；，，，，，故C正确，不符合题意；，，，，，故D错误，符合题意；故选：D．4．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，若的垂直平分线经过点，，则（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质等知识点，先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答；掌握线段垂直平分线到线段的两端点距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．【详解】解：∵的垂直平分线经过点，，∴，∵，是的中点，∴．故选：B．5．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，在中，，把绕点旋转至的位置，延长交于点．若，．则的长为（）A．9 B．6 C．8 D．7【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．连接，由旋转的性质可知，，，再利用“”证明，由全等三角形的性质可得，易得，即可获得答案．【详解】解：如图，连接，由旋转的性质可知，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．故选：B．二、填空题6．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在中，，D是的中点．若，则．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半即可得到答案．【详解】解：∵在中，，，∴由勾股定理得，∵D是的中点，∴，故答案为：．7．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是．【答案】【分析】根据证明两个直角三角形全等，需满足一组直角边、一组斜边分别相等，由此可得答案．【详解】解：由题意知，在和都是直角三角形，已有一组直角边相等，若要用“斜边、直角边”直接证明，还需满足“斜边相等”，因此还需补充的条件是，故答案为：．8．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知的三条边长，，满足，则的面积为．【答案】6【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性，根据二次根式有意义的条件求出、、是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求出，根据非负数的性质分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：，，，故答案为：6．9．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）如图所示，在中，，的垂直平分线交，于点D，E，且，则的度数为．【答案】/度【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余；根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角可得，根据已知可得，根据根据直角三角形的两个锐角互余得出关于的方程，解方程，即可求解．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴，即，解得：，故答案为：．10．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）如图，是边长为的等边三角形，动点分别同时从点A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都为，当点P到达点B时，两点停止运动，设点P的运动时间为，当时，是直角三角形．【答案】或【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：；．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可．【详解】设经过t秒是直角三角形，则，在，∴，在中，，若是直角三角形，则或，当时，，即，∴，当时，，∴，∴．∴当或时，是直角三角形．故答案为：或．三、解答题11．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．

(1)__________，__________，__________；(2)的形状为__________三角形；(3)求中边上的高__________．【答案】(1)，，(2)直角(3)【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解．（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，直接把三边长度分别平方，可以发现即可判定三角形的形状．（3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解．【详解】（1）由题可知，；；．（2）解：∵，，；∴；∴为直角三角形．（3）如下图，过点作的垂线，垂足为；∴；∵是直角三角形；∴；∴；∴．

12．（2023上·广东江门·八年级校考期中）如图，点B、F、C、E在同一直线上，、相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质．（1）利用证明三角形全等即可；（2）三角形的内角和和全等三角形的性质，求出的度数，再利用三角形的外角，求出的度数即可．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，证明．【详解】（1）证明：∵，∴，即：，∵，，∴，又，∴（）；（2）∵，，∴，∵，∴，∴．13．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）如图，中，，是的中线，垂直平分．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质；（1）由直角三角形斜边上的中线可得，利用线段垂直平分线的性质可得，进而可证明结论；（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的