湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题01分式的定义十五种模型全攻略(原卷版+解析)

专题01分式的定义压轴题十五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一分式的识别】 1【考点二分式有意义的条件】 2【考点三分式无意义的条件】 3【考点四分式值为零的条件】 4【考点五分式的值】 5【考点六求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 6【考点七求使分式值为整数时未知数的整数值】 8【考点八判断分式变形是否正确】 9【考点九利用分式的基本性质判断分式值的变化】 11【考点十将分式的分子分母的最高次项化为正数】 12【考点十一将分式的分子分母各项系数化为整数】 14【考点十二最简分式】 15【考点十三约分】 17【考点十四最简公分母】 18【考点十五通分】 19【过关检测】 22【典型例题】【考点一分式的识别】例题：（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）下列各式中，分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列代数式中，是分式的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）代数式，，，中，属于分式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点二分式有意义的条件】例题：（2023·河南南阳·统考三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【变式训练】1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式有意义，则的取值范围为______．2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式有意义，则的取值范围为____．【考点三分式无意义的条件】例题：（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x__________时，分式无意义．【变式训练】1．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义．2．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式无意义，则x的取值范围是_________．【考点四分式值为零的条件】例题：（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式的值为0，则x的值为(

)A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式的值为零，则x的值为（

）A． B．0 C．3 D．2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式的值为0，则的取值是（

）A． B． C． D．【考点五分式的值】例题：（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）若，则分式__．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）当a＝1时，分式的值是______．2．（2023春·七年级单元测试）已知，则分式的值为______．【考点六求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值大于零，则x的取值范围是______．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为负数，x的取值范围是_________．2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知分式的值是正数，那么的取值范围是_____．【考点七求使分式值为整数时未知数的整数值】例题：（2023春·七年级单元测试）若表示一个负整数，则整数________．【变式训练】1．（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值为_______．（写出两个即可）2．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.【考点八判断分式变形是否正确】例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（）A． B．C． D．【考点九利用分式的基本性质判断分式值的变化】例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值（

）A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍【变式训练】1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当，时，若、都扩大为原来的10倍，则分式的值（

）A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的【考点十将分式的分子分母的最高次项化为正数】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数．(1)(2)．【变式训练】1．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“”：(1)；(2)(3)(4)2．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数．(1)；(2)(3)．【考点十一将分式的分子分母各项系数化为整数】例题：（2023秋·八年级单元测试）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．（1）_________；（2）__________；（3）________．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_____．2．（2023春·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．【考点十二最简分式】例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为(

)①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点十三约分】例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________．【变式训练】1．（2023秋·八年级课时练习）已知，则_____________，_____________．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）约分：（1）___________；（2）___________；（3）___________．【考点十四最简公分母】例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式与的最简公分母是______．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式，，的最简公分母是_______．2．（2023春·江苏·八年级校考周测）的最简公分母是_________【考点十五通分】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）通分：(1)与；(2)与．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）通分：(1)，(2)，．2．（2023秋·八年级课时练习）通分：(1)与；(2)，，；(3)，，；(4)，．【过关检测】一、选择题1．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）要使分式有意义，x的取值范围满足（

）A． B． C． D．2．（2023春·全国·八年级专题练习）将分式约分的结果是（）A． B． C． D．3．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各分式中，是最简分式的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（

）A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍5．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列式子中是分式的个数有(

)①；②1＋；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知a，b为实数，，，则分式的值为（

）A．3 B． C．2 D．二、填空题7．（2023·湖南长沙·校考三模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．8．（2023春·浙江·七年级专题练习）若，则分式____．9．（2023春·全国·八年级专题练习），，的最简公分母是_____．10．（2023春·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）已知分式的值为，则______．11．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）若分式的值为0，则________12．（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）已知：分式的值为整数，则整数a有______．三、解答题13．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）按照下列要求解答：(1)约分：；(2)通分：与14．（2023春·全国·七年级专题练习）不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．①；②；③；④．15．（2023春·浙江·七年级专题练习）当的取值范围是多少时，(1)分式有意义；(2)分式值为负数．16．（2023秋·八年级单元测试）已知分式．(1)若分式无意义，求x；(2)若分式值为0，求x；(3)若分式的值为整数，求整数x的值．17．（2023秋·八年级课时练习）小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：．(1)下列分式中，属于真分式的是(

)A．

B．

C．

D．(2)将假分式化成整式和真分式的和的形式．18．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读材料题：已知：，求分式的值．解：设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k①；所以②．(1)上述解题过程中，第①步运用了的基本性质；第②步中，由求得结果运用了的基本性质；(2)参照上述材料解题：已知：，求分式的值．

专题01分式的定义压轴题十五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一分式的识别】 1【考点二分式有意义的条件】 2【考点三分式无意义的条件】 3【考点四分式值为零的条件】 4【考点五分式的值】 5【考点六求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 6【考点七求使分式值为整数时未知数的整数值】 8【考点八判断分式变形是否正确】 9【考点九利用分式的基本性质判断分式值的变化】 11【考点十将分式的分子分母的最高次项化为正数】 12【考点十一将分式的分子分母各项系数化为整数】 14【考点十二最简分式】 15【考点十三约分】 17【考点十四最简公分母】 18【考点十五通分】 19【过关检测】 22【典型例题】【考点一分式的识别】例题：（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）下列各式中，分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可．【详解】解：中，是整式，是分式，共2个分式，故选：B【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列代数式中，是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的定义，逐项判断即可．【详解】解：A.该代数式是整式，故此选项不符合题意；B.该代数式是整式，故此选项不符合题意；C.该代数式是分式，故此选项符合题意；D.该代数式是整式，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义：一般地，如果表示两个式子，并且中含有字母，那么式子叫做分式，是解题的关键．2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）代数式，，，中，属于分式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义即可求解．分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．【详解】代数式，，，中，属于分式的有，，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．【考点二分式有意义的条件】例题：（2023·河南南阳·统考三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可．【详解】解：依题意得：．故答案是：．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．【变式训练】1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式有意义，则的取值范围为______．【答案】【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，即可完成求解．【详解】∵分式有意义，∴，解得．故答案是：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握这一条件是解题的关键．2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式有意义，则的取值范围为____．【答案】【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【考点三分式无意义的条件】例题：（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x__________时，分式无意义．【答案】【分析】根据分式无意义的条件进行计算即可．【详解】解：∵分式无意义，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式中的分母为0时，分式无意义是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义．【答案】【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由分式没有意义，可得，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键．2．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式无意义，则x的取值范围是_________．【答案】【分析】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可．【详解】解：∵分式无意义，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为0是解题的关键．【考点四分式值为零的条件】例题：（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式的值为0，则x的值为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴且，解得：．故选：D．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式的值为零，则x的值为（

）A． B．0 C．3 D．【答案】D【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：解得：，故选：D．【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件．2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式的值为0，则的取值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零，据此解答．【详解】解：依题意得：且，解得：，故选B．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．【考点五分式的值】例题：（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）若，则分式__．【答案】2【分析】将分式变形为，再把代入计算即可．【详解】解：，将代入分式得：原式故答案为：2．【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的加减法和具备整体代入思想是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）当a＝1时，分式的值是______．【答案】2【分析】直接把a的值代入计算即可．【详解】解：当a=1时，．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．2．（2023春·七年级单元测试）已知，则分式的值为______．【答案】6【分析】根据求得，然后代入求值即可得解．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：6．【点睛】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的约分是解题的关键．【考点六求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值大于零，则x的取值范围是______．【答案】且【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．【详解】解：∵分式的值大于零，∴x+2＞0，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x＞﹣2且x≠1．【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为负数，x的取值范围是_________．【答案】且【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：，再解不等式组从而可得答案.【详解】解：由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：由①得：由②得：所以：x的取值范围是且故答案为：且【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键.2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知分式的值是正数，那么的取值范围是_____．【答案】x＞-4且x≠0【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x+4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．【详解】解：∵＞0，∴x+4＞0，x≠0，∴x＞-4且x≠0．故答案为：x＞-4且x≠0．【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，注意此题中的x≠0．【考点七求使分式值为整数时未知数的整数值】例题：（2023春·七年级单元测试）若表示一个负整数，则整数________．【答案】或或【分析】由表示一个负整数，m为整数，可得或或，进而可得答案．【详解】解：因为表示一个负整数，m为整数，所以或或，所以或或；故答案为：或或．【点睛】本题考查了分式为整数时相关参数的求解，正确理解题意，得出是4的负约数是解题关键．【变式训练】1．（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值为_______．（写出两个即可）【答案】0或1（答案不唯一）【分析】分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成．【详解】解：∵，若原分式的值为整数，那么由得，；由得，；由得，；由得，；∴或或0或1，故答案为：0或1(答案不唯一)【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键．2．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.【答案】7或9【分析】根据分式的性质即可求出答案．【详解】解：∵的值为正整数，∴或3，∴整数的值为7或9，故答案为：7或9．【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．【考点八判断分式变形是否正确】例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答．【详解】解：，故A正确；与不一定相等，故B错误；与不一定相等，故C错误；当时，，故D错误，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质对各选项进行约分判断即可.【详解】解：A、，故本选项变形错误；B、，故本选项变形正确；C、，故本选项变形错误；D、，故本选项变形错误；故选：B.【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分式的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，故该选项正确，符合题意；B.，故该选项正确，符合题意；C.，故该选项正确，符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．【考点九利用分式的基本性质判断分式值的变化】例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值（

）A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍【答案】D【分析】先用代替分式中的x、y进行计算，再比较大小即可．【详解】解：用代替分式中的x、y得．那么这个分式的值扩大2倍．故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是注意分式的基本性质的使用，以及整体代入．【变式训练】1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当，时，若、都扩大为原来的10倍，则分式的值（

）A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍【答案】A【分析】根据分式的基本性质（无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变）解答．【详解】解：根据题意，得：，即分式的值缩小到原来的，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的【答案】A【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则，即可解答．【详解】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍，∴，∴分式的值不变，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【考点十将分式的分子分母的最高次项化为正数】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数．(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可．【详解】（1）解：原式＝；（2）原式＝．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则．【变式训练】1．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“”：(1)；(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；（3）利用分式的基本性质解答，即可求解；（4）利用分式的基本性质解答，即可求解．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．2．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数．(1)；(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【考点十一将分式的分子分母各项系数化为整数】例题：（2023秋·八年级单元测试）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．（1）_________；（2）__________；（3）________．【答案】【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．【详解】解：（1）；故答案为：（2）；故答案为：（3）故答案为：【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_____．【答案】【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．【答案】【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．【详解】解：分式，分子、分母同时乘以10，则有原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．【考点十二最简分式】例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；B、，是最简分式，符合题意；C、，不是最简分式，不符合题意；D、，不是最简分式，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将各选项进行化简判断即可．【详解】解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意，故选：C．【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为(

)①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据最简分式的定义进行判断即可．【详解】解：①是最简分式；②是最简分式；③，不是最简分式；④，不是最简分式；综上分析可知，最简分式有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义，分子、分母中没有公因式的分式是最简分式．【考点十三约分】例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________．【答案】【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解．【详解】解：（1）；故答案为：；（2）．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的约分化简，首先把分式的分子和分母分解因式，约分化简即可求解．【变式训练】1．（2023秋·八年级课时练习）已知，则_____________，_____________．【答案】5/0.4【分析】根据得出，把代入求解即可．【详解】解：∵，∴，把代入，把代入，故答案为：5，．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是根据题意得出，以及掌握分式的约分．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）约分：（1）___________；（2）___________；（3）___________．【答案】【分析】（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；（3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．【详解】解：（1）；故答案为：（2）；故答案为：（3）故答案为：【点睛】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式．【考点十四最简公分母】例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式与的最简公分母是______．【答案】【分析】先将分式的分母进行因式分解，然后根据最简公分母的定义即可得出结论．【详解】∵，∴分式与的最简公分母是．故答案是．【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式，，的最简公分母是_______．【答案】【分析】根据最简公分母的定义即可解答．【详解】解：分式、、的最简公分母是．故答案为：．【点睛】本题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．2．（2023春·江苏·八年级校考周测）的最简公分母是_________【答案】【分析】三个分式的分母均为多项式，故先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的知识进行求解即可．【详解】解：的最简公分母是．故答案为：．【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．【考点十五通分】例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）通分：(1)与；(2)与．【答案】(1)，(2)，【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可．【详解】（1）解：∵与的最简公分母是，∴=，=；（2）解：∵与的最简公分母是，∴=，=．【点睛】本题考查的是分式的通分，解题的关键是确定最简公分母．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）通分：(1)，(2)，．【答案】(1)和(2)和【分析】（1）（2）最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．依此即可求解．【详解】（1）∵两个分式分母分别为，未知数系数的最小公倍数为，∵a，b，c的最高次数为2，2，1，∴最简公分母为，将，通分可得：和；（2），∴最简公分母是，，．【点睛】本题考查了通分，规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．2．（2023秋·八年级课时练习）通分：(1)与；(2)，，；(3)，，；(4)，．【答案】(1)，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；（2）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；（3）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；（4）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；【详解】（1）解：，．（2）解：，，．（3）解：，，．（4）解：，【点睛】本题主要考查了分式的通分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）要使分式有意义，x的取值范围满足（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，计算解答即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，即，故选：A．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）将分式约分的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的性质约分即可求解．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键．3．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各分式中，是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：．是最简分式；B.，不符合题意；C.，不符合题意；D.，不符合题意；故选：．【点睛】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键．4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（

）A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍【答案】B【分析】根据分式的性质即可求解．【详解】解：把中的与都扩大3倍，得故选：B．【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．5．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列式子中是分式的个数有(

)①；②1＋；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义进行判断即可．【详解】解：①不是分式；②1＋是分式；③不是分式；④是分式；综上分式可知，分式有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式定义，一般地，如果A、B(B不等于零)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．6．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知a，b为实数，，，则分式的值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】由，得，再整体代入即可求解.【详解】解：∵，∴．∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，整体代入是解题的关键．二、填空题7．（2023·湖南长沙·校考三模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，然后再求解即可．【详解】解：由题意得，即．故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式是解答本题的关键．8．（2023春·浙江·七年级专题练习）若，则分式____．【答案】【分析】由可得，将代入进行计算即可得到答案．【详解】解：∵，，，故答案为：．【点睛】本题考查了求分式的值，掌握代入思想的运用是解题的关键．9．（2023春·全国·八年级专题练习），，的最简公分母是_____．【答案】【分析】根据最简公分母的定义求出所求即可．【详解】的分母为，的分母为，的分母为，∴，，的最简公分母是．故答案为：．【点睛】此题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．10．（2023春·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）已知分式的值为，则______．【答案】【分析】根据分式的值为零的条件：分子且分母，即可求出结论．【详解】解：分式的值为零，，解得：．故答案为：7．【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键．11．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）若分式的值为0，则________【答案】【分析】由题意直接根据分式的值为零的条件即分子等于零且分母不等于零进行分析即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴且，∴或，且，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件即分子为0和分母不为0．这两个条件缺一不可．12．（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）已知：分式的值为整数，则整数a有______．【答案】，1，2，4，5，7【分析】根据因式分解，可得最简分式，根据分式的值是整数，可得分母能被分子整除，可得答案．【详解