三角函数中ω的取值范围6大题型

三角函数中ω的取值范围6大题型三角函数是高考的必考考点，其中求ω取值范围问题是热门考点。主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象。从近几年的高考情况来看，常在选择题中出现，难度稍大。一、求ω取值范围的常用解题思路1、依托于三角函数的周期性因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2π2、利用三角函数的对称性（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.3、结合三角函数的单调性函数fx=Asin(ωx+φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于T2，据此可用来求反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数fx=Asin(ωx+φ)在二、已知函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，在[x1,x2]第一步：根据题意可知区间[x1即x2−x第二步：以单调递增为例，利用ωx1+φ,ωx第三步：结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.三、结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。四、已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．【题型1根据单调性求ω范围】【例1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的最小正周期，所以，即．当时，，依题意知，，解得，又∴当时成立，．故选：A．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以因为函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，且，即.因为，所以，函数在上单调递增等价于或，所以，解不等式得或，所以，的取值范围是.故选：D【变式1-2】（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知函数（其中）在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，所以，解得，当时，，因为，所以，所以，解得，综上所述，.故选：C.【变式1-3】（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】【解析】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，函数在区间上单调递增，所以，即，解得，①又，所以，解得，②由①②可得.【变式1-4】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是___．【答案】【解析】，令，，所以，．即单调递增区间为，，所以只需，，解得，，则，解得，又，所以，所以，即的取值范围是．【题型2根据图象平移求ω范围】【例2】（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】由题有，则，得，结合，得.故选：B【变式2-1】（2021·重庆·校联考三模）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对称，则的最小值为___________.【答案】4【解析】函数的图象向右平移个单位长度后对应的解析式为，与的图象关于x轴对称，故，∴，∴，∴当k=0时，的最小值为4.【变式2-2】（2022秋·贵州贵阳·高三统考期末）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则的最小值为______.【答案】6【解析】将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，得到，，因为两个函数图象的对称轴重合，所以，，所以，，因为，所以当时，取得最小值为6．【变式2-3】（2022·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为_________.【答案】【解析】，向右平移个单位可得：，又∵，.【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，得，则，所以，要使为钝角三角形，只需即可，由，所以，故选：D.【变式2-5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点、、是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，作出函数、的图象如下图所示：设、、为连续相邻的三个交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以，由，整理得，所以，则，所以，，则，所以，要使为锐角三角形，，所以，，，解得.故选：D.【题型3根据对称性求ω范围】【例3】（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函数的图象的一个对称中心为，所以，所以，由于，则，因为，所以可得：，故选：C【变式3-1】（2022秋·内蒙古·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】时，函数，则，函数在内有且仅有三条对称轴，则满足，解得，即实数的取值范围是.【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】因为在内不存在对称中心，故，解得，又，，故，解得，又，所以，或，，故的取值范围为.故选：D.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象恰有个对称中心在区间内，则的取值范围为______.【答案】【解析】函数的周期为，则，则将函数的图象向右平移个周期后得到，因为，所以，因为所得图象恰有个对称中心在区间内，所以，解得，所以的取值范围为.【题型4根据最值和极值求ω范围】【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当取最值时，．即，由题知，故．即．因为时，；时，；显然当时，，此时在上必有最值点．综上，所求．故选:D．【变式4-1】（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴，又∵在恰有2个极大值点，∴由正弦函数图象可知，，解得：.故选：B.【变式4-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数（，）的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象过点，,，即，又，，，令，即，当时，函数取最值，在区间内不存在最值，，解得，当时，不存在；当时，，又，，当时，，当时，不存在；综合得的取值范围是.故选：D.【变式4-3】（2023·陕西榆林·统考一模）已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为在上恰有3个极大值点，由，得，又函数的极大值点满足，所以，解得.故选：C.【变式4-4】（2023·四川成都·统考模拟预测）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.【答案】【解析】当时，，因为函数在上有唯一的极大值，所以函数在上有唯一极大值，所以，，解得.故答案为：.【题型5根据零点2求ω范围】【例5】（2023·全国·模拟预测）若()在上有且只有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，∴，函数在区间上有且只有两个零点，则﹒解得.故选：A【变式5-1】（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，因为在上恰有3个零点，所以，解得．故选：B．【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，且在上恰有50个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数，，所以，，.所以，所以的取值范围是.故选：C.【变式5-3】（2023·甘肃武威·统考一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知，，先将函数的图象向右平移个单位长度，得，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，当时，，因为在上恰有2个零点，所以，解得.所以的取值范围为，故选：B【变式5-4】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，即，解得.故选：C【题型6结合函数性质综合考查】【例6】（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，因为函数在区间上存在零点，根据正弦函数图象可知，，解得，又函数在区间上的值域为，根据正弦函数图象可知，，解得，所以的取值范围是，故A，C，D错误.故选：B.【变式6-1】（2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，在区间上是增函数，，.当时，取得最大值，而在区间上恰好取得一次最大值，，解得，综上，.故选：D.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上恰有一个最大值点和两个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，函数，；由，得；又在上恰有一个最大值点和两个零点，则，解得，所以的取值范围是【变式6-3】（2023·四川成都·统考模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】设函数的最小正周期为，由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，则，则，注意到，解得，∵，则，由题意可得：，解得，故的取值范围为.【变式6-4】（2023·河南·校联考模拟预测）先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是________．【答案】【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，因为函数的图象与的图象关于x轴对称，所以，因为，所以，又因为在恰有2个零点，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上单调递增，所以，所以，又，解得．综上所述，，故的取值范围是．（建议用时：60分钟）1．（2023秋·天津·高三统考期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，∴，函数在区间上恰有3个零点，则﹒故选：D．2．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件可知，，所以，，当时，，若函数在区间上恰有2个零点，则，解得.故选：D3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为在区间内恰好有3个零点，4个极值点，结合函数图象可得：，解得，的取值范围是.故选：A.4．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若方程，则，即或，当时，，则的可能取值为，因为原方程在区间上恰有3个实根，所以，解得，即的取值范围是，故选：A.5．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由题意可得：，则，解得，若，则，∵函数在区间上单调递减，则，解得，故实数的取值范围为.故选：C.6．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，所以，因为函数在上没有零点，所以，即，得，又因为，满足在此区间上没有零点，则需，解得，由于，当时，解得，当时，解得，所以的取值范围是，故选：A.7．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）设函数在区间上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，因为，所以，要使函数在区间有两个极值点、三个零点，只需函数在上有两个极值点、三个零点即可.又因为的极值点即为的最值点，即在对称轴处取得极值.作出的图象，，.根据函数图象可知，需满足，即，即，解得，所以的取值范围是.故选：C.8．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知函数的最小正周期大于，且存在唯一的，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数的最小正周期大于，所以，所以，因为，所以，因为，所以，因为存在唯一的，使得，所以，所以，即.故选：D9．（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由题知，，因为，所以，因为在上有且仅有3个极值点，所以，解得，所以的取值范围是，故选：A10．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）设函数在区间恰有5个极值点，4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，得，因为，所以，因为函数在区间恰有5个极值点，4个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D.11．（2022秋·广西柳州·高三统考阶段练习）已知的数（），若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，其周期为，由题意有：.故选：D.12．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意.当时，.∵在内有且仅有2个最低点，∴，∴.故选：D.13．（2022秋·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数，因为，可得，又函数的图象在区间上恰有3个最高点，所以，解得，即实数的取值范围是，故选:C14．（2022秋·甘肃兰州·高三兰州市第二中学校考阶段练习）已知函数在内恰有三条对称轴，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以