上海市杨浦区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题(教师版)

2020学年上海市杨浦区八年级第二学期期终考试一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p的范围即可．【详解】解：∵二次三项式x2+4x+p能在实数范围内分解因式，∴△=16-4p≥0，解得：p≤4，故选：D．【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．2.在一次函数中，如果随的增大而增大，那么常数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数的性质，当k=m-1＞0时，函数y的值随x的值增大而增大，据此可求解．【详解】解：由题意得m-1＞0，解得m＞1，故选：A．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，在一次函数y=kx+b中，当k＞0时函数y的值随x的值增大而增大；当k＜0时函数y的值随x的值增大而减小．3.下列方程中，二项方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二项方程的定义进行判断即可．【详解】解：A、没有常数项，不是二项方程；B、两项都有未知数，不是二项方程；C、是二项方程，D、两项都有未知数，不是二项方程；故选：C．【点睛】本题考查了二项方程，如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．4.以下描述和的关系不正确的是（）A.方向相反 B.模相等 C.平行 D.相等【答案】D【解析】【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可．【详解】解：A、和的关系是方向相反，正确；B、和的关系是模相等，正确；C、和的关系是平行，正确；D、和的关系不相等，错误；故选：D．【点睛】此题考查平面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用．5.下列事件中，属于必然事件的是（）A.某射击训练射击一次，命中靶心 B.室温低于-5℃时，盆内的水结成了冰C.掷一次骰子，向上的一面是6点 D.抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项不合题意；B、室温低于-5℃时，盆内的水结成了冰，是必然事件，故本选项符合题意；C、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件，故此选项不合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.下列命题中，真命题是()A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【答案】C【解析】【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确；D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7.如果是一次函数，那么的取值范围是_______．【答案】k≠-1【解析】【分析】根据一次函数的定义条件直接解答即可．【详解】解：∵y=kx+x+k是一次函数，∴k+1≠0．故答案为：k≠-1．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，属于基础题，注意掌握一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．8.如果点在一次函数的图像上，则__________．【答案】10【解析】【分析】把点（3，a）代入一次函数y=3x+1，求出y的值即可．【详解】解：把点（3，a）代入一次函数y=3x+1得：a=9+1=10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上的点的坐标一定适合此函数的解析式．9.方程的根是_______．【答案】x=或x=【解析】【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案．【详解】解：由x4-9=0得（x2+3）（x2-3）=0，∴x2+3=0或x2-3=0，而x2+3=0无实数解，解x2-3=0得x=或x=，故答案为：x=或x=．【点睛】本题考查解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化为一元二次方程．10.方程的根是________．【答案】x=1【解析】【分析】根据解分式方程的步骤去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，解分式方程容易产生增根，因此要对整式方程的解代入最简公分母检验后得出原方程的解．【详解】解：去分母得，x2-x=0，即x（x-1）=0，所以x1=0，x2=1，经检验：x1=0是原方程的增根，x2=1是原方程的根，所以原方程的根为x=1，故答案为：x=1．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法步骤是正确解答的前提，注意解分式方程容易产生增根需要检验．11.方程的解为_____．【答案】3【解析】【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则12.方程组的解是_________．【答案】，【解析】【分析】解二元二次方程组，用代入消元转化成一元二次方程，解出方程即可．【详解】解：，由①得：y=x-5③，将③代入②：x（x-5）=-6，整理得：x²-5x+6=0，x1=2，x2=3．将上述x代入③，得：y1=-3，y2=-2．∴方程组的解：，，故答案为：，．【点睛】本题考查的是二元二次方程组，考核的是学生解二元二次方程组的能力以及转化思想，因为含有二次项，所以运用代入消元法转化成一元二次方程是关键．13.布袋内装有大小、形状相同的2个红球和2个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是___________．【答案】【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两个都是红球的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两个都是红球的结果数为2，所以两个都摸到红球的概率==，故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．14.如果过多边形的一个顶点共有6条对角线，那么这个多边形的内角和是_______度．【答案】1260°【解析】【分析】从多边形一个顶点可作6条对角线，则这个多边形的边数是9，n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【详解】解：∵过多边形的一个顶点共有6条对角线，故该多边形边数为9，∴（9-2）•180°=1260°，∴这个多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．15.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥CB，点E在AB上，且EB=4，如果梯形ABCD的周长为24，那么△AED的周长为________．【答案】16【解析】【分析】因为AB∥CD，DE∥CB，所以，四边形EBCD是平行四边形，则EB=CD=4，ED=BC，又梯形ABCD周长为24，即AB+BC+CD+AD=24，所以，AE+BC+AD=16，即AE+DE+AD=16．【详解】解：∵AB∥CD，DE∥CB，∴四边形EBCD是平行四边形，EB=4，∴EB=CD=4，ED=BC，又∵梯形ABCD的周长为24，∴AB+BC+CD+AD=24，EB+CD=8，∴AE+BC+AD=16，∴AE+DE+AD=16，即△AED的周长为16；故答案为：16．【点睛】本题主要考查了梯形和平行四边形的性质，把△AED的周长看作一个整体，通过等量代换求出，本题蕴含了整体思想．16.如图，菱形由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线的长为_____.【答案】【解析】【分析】根据图形可知∠ADC=2∠A，又两邻角互补，所以可以求出菱形的锐角内角是60°；再根据AD=AB可以得出梯形的上底边长等于腰长，即可求出梯形的下底边长，所以菱形的边长可得，线段AC便不难求出．【详解】根据图形可知∠ADC=2∠A，又∠ADC+∠A=180°，∴∠A=60°，∵AB=AD，∴梯形的上底边长=腰长=2，∴梯形的下底边长=4（可以利用过上底顶点作腰的平行线得出），∴AB=2+4=6，∴AC=2ABsin60°=2×6×=6．故答案为6．【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质，仔细观察图形得到角的关系和梯形的上底边长与腰的关系是解本题的关键．17.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将ABCD翻折使点B与点D重合，点A落在点E，已知∠AOB=α（α是锐角），那么∠CEO的度数为________．（用α的代数式表示）【答案】90°-α【解析】【分析】先画出图形，由折叠的性质证明△OEF≌△OCF，继而可得△OEF是直角三角形，∠OFE=90°，根据∠AOB=α，可求∠CEO的度数．【详解】解：如图所示：由折叠的性质可得：∠AOB=∠EOF=∠COF，OE=OA=OC，在△OEF和△OCF中，，∴△OEF≌△OCF（SAS），∴∠OFE=∠OFC=90°，∵∠AOB=α，∴∠EOF=α，∴∠CEO=90°-α．故答案为：90°-α．【点睛】本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等、对应角相等，另外要求我们掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．18.平行四边形ABCD中，两条邻边长分别为3和5，∠BAD与∠ABC的平分线交于点E，点F是CD的中点，连接EF，则EF=________.【答案】3.5或0.5【解析】【分析】分两种情况讨论：①当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，由平行线的性质和角平分线的定义可推出∠BAM=∠AMB，得到AB=BM=3，求出CM=2，再证明∠AEB=90°，根据等腰三角形三线合一得到E为AM的中点，所以EF为梯形ADCM的中位线，根据中位线的性质可求EF；②当AB=5，BC=3时，延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，同理可证AE=EM，CM=2，再利用三角形中位线的性质可求出EF.【详解】分两种情况：①如图1，当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠AMB∵AM平分∠BAD，∴∠DAM=∠BAM∴∠BAM=∠AMB∴AB=BM=3∴CM=BC-BM=5-3=2∵AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=90°，∴∠AEB=90°∴BE⊥AM，∵BA=BM∴AE=EM∵DF=CF∴EF为梯形ADCM的中位线∴EF=②如图，当AB=5，BC=3时，延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，同①可证：AE=EM，CM=BM-BC=AB-BC=2，EG为△ADM中位线，FG为△CDM的中位线，∴EG=AD=1.5，FG=CM=1，∴EF=EG-FG=0.5综上所述，EF的长为3.5或0.5故答案为：3.5或0.5【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及梯形和三角形中位线的性质，利用角平分线和平行线的性质推出△ABM为等腰三角形是解题的关键.三、解答题（本大题共6题，满分40分）19.解方程：【答案】【解析】【分析】移项后两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再把所得的结果进行检验即可．【详解】解：（x-3）（4x-13）=0，

解得：，经检验：是原方程的增根，舍去所以，原方程的根是．【点睛】本题考查解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解题的关键，在计算时要注意检验．20.解方程组：.【答案】，，，.【解析】【分析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．【详解】由①得：（x+2y）2＝9，x+2y＝±3，由②得：x（x+y）＝0，x＝0，x+y＝0，即原方程组化为：，，，，解得：，，，，所以原方程组的解为：，，，．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．21.如图，在ABCD中，点E是边BC的中点，设，．(1)写出所有与互为相反向量向量：__________．(2)试用向量、表示向量，则__________．(3)在图中求作：、（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）【答案】（1），；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据相反向量的定义解答即可．（2）利用三角形法则求解．（3）连接，，利用三角形法则求解即可．【详解】解：（1）四边形是平行四边形，，，与互为相反向量的向量有：，，故答案为：，（2），，，故答案为：．（3）连接，．，，，即为所求．【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，学会利用三角形法则解决问题．22.如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件首先证明四边形AEBD是矩形，可得OB=OD，再证明四边形OBCD是平行四边形，进而可得结论．【详解】解：证明：∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，∴∠ABD+∠ABE=×180°=90°，即∠EBD=90°，又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴四边形AEBD是矩形．∴OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC，∴OD∥BC，∵CD∥AB，∴四边形OBCD是平行四边形，∵OB=OD，∴平行四边形OBCD是菱形．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是证明四边形AEBD是矩形．23.为庆祝中国共产党建党90周年，6月中旬我市某展览馆进行党史展览，把免费参观票分到学校．展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）.小张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开.（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）.（2）小张不从同一个验票口进出概率是多少？【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）开始以后有两种选择，即入口A或B，进入每个入口后，又各自有四种选择，即可用树形图法表示；（2）根据树形图求出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．【详解】（1）用树状图分析如下（2）小张从进入到离开共有8种可能进出方式，不从同一个验票口进出的情况有6种，∴P（小张不从同一个验票口进出）=．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.24.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加，而且要提前年完成任务，经测算要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【答案】原计划平均每年完成绿化面积万亩.【解析】【分析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间−实际完成绿化实际＝1．设原计划平均每年完成绿化面积x万亩，则原计划完成绿化完成时间年，实际完成绿化完成时间：年，列出分式方程求解【详解】解：设原计划平均每年完成绿化面积万亩.根据题意可列方程：去分母整理得：解得：，经检验：，都是原分式方程的根，因为绿化面积不能为负，所以取．答：原计划平均每年完成绿化面积万亩.【点睛】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验它是否是原方程的根，第二步检验它是否符合实际问题．四、解答题（本大题共2题，满分18分）25.如图，已知在平面直角坐标系中，直线和双曲线都经过点和点B．（1）求线段AB的长；（2）如果点P在y轴上，点Q在此双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出P、Q的坐标．【答案】（1）；（2），，或，或，．【解析】【分析】（1）将点的坐标代入直线和双曲线的解析式中，求出直线和双曲线的解析式，再联立求解得出点坐标，最后用两点间距离公式求解，即可得出结论；（2）设，，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解，即可得出结论．【详解】解：（1）点在直线上，．，直线的解析式为①，点在双曲线上，，双曲线的解析式为②，联立①②解得，或，，，；（2）由（1）知，双曲线的解析式为，点在双曲线上，设，点在轴上，设，由（1）知，，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，①当与为对角线时，，，，，，，②当与是对角线时，，，，，，，③当与是对角线时，，，，，，，即满足条件的点，的坐标分别为，或，或，．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，平行四边形的性质，用方程组的思想解决问题是解本题的关键．26.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．(1)