高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册 第一课时　抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质01知识梳理·读教材⁠知识点

抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝-2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝-2py(p＞0)图形⁠⁠⁠⁠标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝-2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝-2py(p＞0)性质焦点

F

F

F

⁠准线范围

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

x∈R,y≥0

x∈R,y≤0

⁠对称轴

x轴

y轴⁠顶点

O(0,0)

⁠离心率

e＝1

⁠开口方向

向右

向左

向上

向下⁠

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

x∈R,y≥0

x∈R,y≤0

x轴y轴O(0,0)

e＝1

向右向左向上向下⁠

在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x,y2＝2x和y2＝3x的图象,你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗?提示:影响抛物线开口大小的量是参数p,p值越大,抛物线的开口越大,反之,开口越小.

⁠1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)抛物线没有渐近线.(

)答案:(1)√

(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(

)(3)抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.(

)(4)抛物线中,参数p值越大,抛物线开口越开阔,反之开口越扁狭.(

)答案:(2)×

答案:(3)×

答案:(4)√2.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(

)A.x2＝±3yB.y2＝±6xC.x2＝±12yD.y2＝±12x

3.设抛物线的焦点到顶点的距离为6,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(

)A.(6,＋∞)B.[6,＋∞)C.(3,＋∞)D.[3,＋∞)

答案:402题型突破·析典例⁠题型一抛物线的简单几何性质【例1】

抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.

通性通法把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键看一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负;(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴;(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.⁠

边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是(

)

题型二由抛物线几何性质求标准方程【例2】

已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6,求抛物线方程.解

设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0),点P(x0,y0).因为点P到对称轴的距离为6,所以y0＝±6,因为点P到准线的距离为10,

⁠

如图所示,过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若｜BC｜＝2｜BF｜,且｜AF｜＝3,求此抛物线的方程.解:如图,过A,B分别作准线的垂线AA',BD,垂足分别为A',D,则｜BF｜＝｜BD｜,又2｜BF｜＝｜BC｜,∴在Rt△BCD中,∠BCD＝30°.又｜AF｜＝3,∴｜AA'｜＝3,∴｜AC｜＝6,｜FC｜＝3.

∴抛物线的方程为y2＝3x.题型三抛物线几何性质的应用【例3】

(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2＝2px(p＞0)上,求这个三角形的边长;解

(1)如图所示,

(2)已知A,B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点,O为坐标原点,若｜OA｜＝｜OB｜,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.解

(2)如图,设点A(x0,y0),

通性通法利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题;(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题;(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题;(4)弦长:求解与弦长有关的三角形面积问题.⁠

抛物线y2＝4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO＝120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是

⁠.

⁠1.抛物线y＝ax2(其中a＞0)的焦点坐标是(

)

2.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(

)

3.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(

)A.y2＝8xB.y2＝-8xC.x2＝8yD.x2＝-8y解析:CD

设抛物线方程为x2＝2py或x2＝-2py(p＞0),2p＝8,p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝-8y.4.已知抛物线y2＝2px(p＞0),直线x＝m与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1＋y2＝

⁠.

解析:因为抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称,x＝m与x轴垂直,故y1＝-y2,即y1＋y2＝0.答案:05.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1＋x2＝3p,则｜PQ｜＝

⁠.

答案:4p03知能演练·扣课标⁠

2.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2＋y2-2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是(

)A.y＝3x2或y＝-3x2B.y＝3x2C.y2＝-9x或y＝3x2D.y＝-3x2或y2＝9x

A.4B.5C.6D.7

4.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2-4x-5＝0相切,则p＝(

)A.2B.1

5.(多选)点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2,则a的值可以为(

)

6.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2＝2px(p＞0)的准线上,记抛物线C的焦点为F,则直线AF的斜率为

⁠.

7.设O为坐标原点,直线x＝2与抛物线C:y2＝2px(p＞0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为

⁠.

8.已知F是抛物线C:y2＝8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点,则｜FN｜＝

⁠.

答案:6

10.已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;解:(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x＝-2,x轴,x≥0.(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,｜OA｜＝｜OB｜,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.解:(2)如图所示,由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴,垂足为点M,

⁠11.(多选)已知点A(-2,4)在抛物线y2＝-2px(p＞0)上,抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线相交于另一点B,O为坐标原点,则下列结论中正确的是(

)A.抛物线的准线方程为x＝2B.抛物线的焦点坐标为(-2,0)C.点B的坐标为(-2,-2)D.△OAB的面积为8

A.2B.4C.6D.8

答案:y2＝6x14.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且｜AF