数学学案：例题与探究绝对值不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲【例1】（经典回放)（1）若x<5，n∈N，则下列不等式：①｜xlg｜〈5|lg｜；②|x｜lg<5lg;③xlg〈5|lg|;④|x｜lg〈5|lg|。其中，能够成立的有___________.（2）不等式≥1成立的充要条件是___________.思路解析：(2）题求充要条件,因而可从不等式的性质｜a+b|≥|a｜—｜b｜出发，去寻找原不等式成立的充要条件。(1)∵0<〈1，∴lg〈0.由x〈5，并不能确定｜x|与5的关系，∴可以否定①②③,而|x｜lg〈0,④成立。(2）当｜a|>|b|时,有｜a｜-|b｜>0，∴|a+b｜≥|｜a|-|b｜｜=|a｜-|b｜，∴必有≥1.即|a｜>|b|是≥1成立的充分条件.当|≥1时，由｜a+b｜>0,必有|a｜-|b｜〉0。即|a|〉｜b|，故|a|〉｜b｜是≥1成立的必要条件。故所求为：｜a|〉｜b|.答案:（1）④（2）|a｜>|b|绿色通道：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等,数（或式子）的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考察这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了.题（2)是求充要条件，一般要从两个方面来探讨，一是充分性，二是必要性，两者缺一不可,但为了尽快寻找到满足题意的条件,在对代数式化简整理或变形中，若能使其等价变形式都能保证其等价的条件，最终都将成为要求的“条件"。【变式训练】设ab>0,下面四个不等式①|a+b|〉｜a｜;②｜a+b｜〈|b|；③|a+b|〈｜a—b｜；④｜a+b|>|a｜-|b|中，正确的是（）A。①和②B.①和③C.①和④D.②和④思路解析:∵ab〉0，∴a，b同号.∴｜a+b｜=|a|+|b|。∴①④正确.答案：C【例2】设m等于｜a｜、|b|和1中最大的一个，当｜x｜〉m时,求证:｜｜〈2。思路分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用.|a｜、|b｜和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥｜b｜、m≥1。证明：∵｜x|>m≥|a|，｜x｜>m≥|b｜|x|〉m≥1｜x|2>｜b|,∴｜｜≤||+|｜==2。故原不等式成立。绿色通道：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译"转化而来,那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键,如本题中题设条件中的文字语言“m等于｜a｜,｜b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥｜a｜,|m｜≥|b｜，m≥1"是证明本题的关键.【变式训练】已知a，b∈R且a≠0，求证：.思路分析:本题中要证明的不等式,包含|a+b｜，|a-b｜,｜a｜—｜b｜,因而需要利用绝对值的不等式的性质，其中2|a|=｜a+b+a-b｜，是一种常用的拼凑法，其次，观察要证明的不等式，可以发现不等式的左边(|a｜-｜b|），可能为正值（｜a｜≥|b｜时）,也可能非正（|a|<｜b|时）.因而，又涉及到分类讨论。证明：（1）若|a｜≥|b｜,左边=。∵,∴。∴左边≥=右边。(2）若|a|<｜b|，左边〉0,右边<0,∴原不等式显然成立。综上可知原不等式成立。【例3】求函数y=｜x-3｜—|x+1｜的最大值和最小值.思路分析：若把x—3，x+1看作两个实数,则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和（差)的绝对值与两个数绝对值的和（差）之间的关系，进而可转化求解。另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值.解法一：|｜x—3|—|x+1|｜≤｜(x—3）—(x+1)|=4，∴—4≤｜x-3｜—｜x+1|≤4。∴ymax=4，ymin=—4。解法二：把函数看作分段函数。y=|x—3|—｜x+1｜=∴-4≤y≤4。∴ymax=4，ymin=—4。绿色通道：对于含有两个绝对值以上的代数式,通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题.利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩",有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果。【变式训练】若对任意实数，不等式|x+1|—|x—2|>a恒成立，则a的取值范围是（)A。(-∞，3)B.(-∞，3］C。(—∞,3）D.(—∞，-3］思路解析：恒成立问题,往往转化为求最值问题，即a<｜x+1|-｜x—2|对任意实数恒成立，即a<［｜x+1|—｜x-2｜］min，也就转化为求函数y=|x+1｜—｜x—2|的最小值问题。∵||x+1｜-｜x-2||≤|（x+1）—(x—2)｜=3,∴—3≤｜x+1｜—｜x—2｜≤3.∴［｜x+1|—|x—2|］min=—3。∴a〈-3。答案：C问题探究问题：公路的两侧要修建一些加油站,两个加油站位于某城市东akm和bkm处（a〈b)，一卡车从该城市出发，由于某种原因，他需要往返A、B两加油站,问他行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的？导思:这一个绝对值函数求最值的问题，可以把相关数据找到,写出关系式,利用绝对值不等式的性质来解.探究：设卡车行驶在距城市xkm处，他到两加油站的路程之和为y(km）。∴y=|x—a|+｜x—b|.∵｜x