数学学案：例题与探究等比数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1已知a，b,c依次成等比数列，且x，y分别是a,b和b,c的等差中项,求的值.思路分析:从题意推测所求应为一常数，应用特殊化思想，令a，b,c分别为1，3，9,则x=2，y=6,则==2.解：已知a,b，c成等比数列，设其公比为q,则b=aq，c=bq,x，y分别为a,b和b，c的等差中项，则.∴.绿色通道：x=，似乎无法通分,但只要注意到a，b，c成等比数列，设公比为q,则b+c=q（a+b）就可以通分了.变式训练（2006湖北高考,理2）若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c，a,b成等比数列，且a+3b+c=10,则a等于（)A.4B.2C。-2思路解析：由互不相等的实数a,b，c成等差数列,可设a=b-d，c=b+d。由a+3b+c=10，得b=2。所以a=2—d，c=2+d.又c，a，b成等比数列，则a2=bc，即（2—d)2=2(2+d）得d=6。所以a=-4。答案:D例2在等比数列｛an}中，Sn=48，S2n=60，求S3n。思路分析:由已知可列的两个方程组成的方程组中有三个量a1,q,n,要独立求出这三个量的值是不可能的，但进行整体代换则问题很快得到解决.解：设等比数列{an｝的公比为q,因Sn=48，S2n=60，所以q≠1，于是得方程组②÷①，得1+qn=，qn=。则q3n=。又1—qn=,代入①，=64,所以S3n=.绿色通道:整体代换,求比值的方法在处理数列问题及其他有关数学问题时经常遇到.另外，还可以运用等比数列性质做此题：若数列{an｝是等比数列,Sn是其前n项的和,k∈N+，那么Sk，S2k—Sk，S3k-S2k成等比数列。则有，则（S2n—Sn)2=Sn（S3n—S2n）,∴(60—48）2=48(S3n-60），得S3n=63。变式训练1（2006全国高考Ⅱ,文18)设等比数列｛an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，求通项公式an.思路分析：在求解过程中把q4-1看成一个整体，简化运算。解：设{an｝的公比为q，由S4=1,S8=17,知q≠1，得=1,①=17.②由①②式，得=17.解得q4=16.所以q=2或q=-2.将q=2代入①式，得a1=.所以an=。将q=-2代入①式，得a1=。所以an=。变式训练2（2006全国高考Ⅰ，文17)已知｛an｝为等比数列,a3=2,a2+a4=,求｛an}的通项公式.解:设等比数列｛an}的公比为q，则q≠0，a2=，a4=a3q=2q。所以,解得q=3或.当q=时,a1=18。所以an=18×（)n-1==2×33-n.当q=3时，a1=,所以an=×3n-1=2×3n—3.变式训练3(2006重庆高考,理14）在数列｛an}中，若a1=1，an+1=2an+3(n≥1)，则该数列的通项an=____________.思路解析：在数列{an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1）,∴an+1+3=2（an+3)(n≥1）,即｛an+3｝是以a1+3=4为首项,2为公比的等比数列。∴an+3=4·2n-1=2n+1.∴该数列的通项an=2n+1—3。答案:2n+1—3例3已知等比数列的前n项和Sn=4n—1+a,则a的值为_____________。思路解析:∵S1=a1=1+a,S2=a1+a2=4+a，∴a2=3.∵S3=16+a,S3-S2=a3=12，∴q==4.由a2=a1q，得(1+a）4=3。∴a=。答案：绿色通道：注意到等比数列前n项和的结构将有助于更快、更准确地求出a的值。变式训练（2006辽宁高考，理9)在等比数列｛an｝中，a1=2，前n项和为Sn，若数列｛an+1｝也是等比数列，则Sn等于(）A.2n+1—2B.3nC.2nD.3n—1思路解析：因数列｛an}为等比数列，则an=2qn-1，因数列{an+1｝也是等比数列,则(an+1+1)2=(an+1）（an+2+1）an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an（1+q2—2q)=0q=1,即an=2。所以Sn=2n.答案:C例4设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和Sn＞0(n=1，2,…）。（1）求q的取值范围;(2)设bn=an+2—an+1,记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.思路分析:根据Sn＞0，解不等式可求出q的取值范围；(2)中可以利用bn=an+2-an+1，找到前n项和Tn与Sn的关系式,再比较大小时就较容易了,另外要注意分类讨论.解:(1）因为{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1=S1＞0,q≠0.当q=1时，Sn=na1＞0;当q≠1时，Sn=，即＞0(n=1，2,…)。上式等价于不等式组（n=1，2，…）.解①式,得q＞1；解②式，由于n可为奇数、可为偶数,得—1＜q＜1。综上，q的取值范围是(-1,0）∪(0,+∞).（2)由bn=an+2an+1，得bn=an(q2q）。∴Tn=（q2q)Sn。于是Tn—Sn=Sn（q2-q-1）=Sn(q+)（q-2）。又∵Sn＞0且—1＜q＜0或q＞0，当-1＜q＜或q＞2时，Tn—Sn＞0,即Tn＞Sn;当＜q＜2且q≠0时,Tn-Sn＜0，即Tn＜Sn;当q=或q=2时，Tn-Sn=0,即Tn=Sn.黑色陷阱：在求q的取值范围，尤其是在解第二个不等式组时,容易忽视n为偶数的讨论，这一点要重视;在比较Sn和Tn的大小时,上来就直接作差，这样计算量大,且不直观.变式训练（2006四川高考,文17）数列｛an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）。(1)求｛an}的通项公式；（2）等差数列｛bn}的各项为正,其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn。思路分析:（1)利用Sn—Sn—1=an(n≥2）找出相邻两项之间的关系式，进而判断数列是否为特殊数列，(2）关键是求出等差数列｛bn｝的首项和公差.解：(1）由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n≥2).两式相减，得an+1-an=2an。∴an+1=3an(n≥2)。又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故｛an｝是首项为1,公比为3的等比数列.∴an=3n—1。（2)设{bn｝的公差为d,由T3=15，得b1+b2+b3=15，则b2=5。故可设b1=5—d,b3=5+d,又a1=1，a2=3，a3=9,由题意，得（5-d+1）（5+d+9）=(5+3)2。解得d1=2，d2=-10。∵等差数列｛bn}的各项为正,∴d＞0.∴d=2。∴b1=3。∴Tn=3n+×2=n2+2n。问题探究问题怎样灵活处理求通项公式的问题？导思:如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,则可以根据前几项的规律，观察分析、归纳、猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。但对于特殊数列则可直接求解。探究:如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式,求得a1，d（或q),然后直接套公式即可。已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an=S1,Sn—Sn—1,n=1,n≥2.用此公式时应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”,即a1和an合为一个表达式.对于形如an+1=an+f(n)型或形如an+1=f(n）an型的数列,其中f(n）又是等差数列或等比数列，可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式.有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列为等差或等比数列,从而利用这个