数学学案：课堂探究函数的应用（Ⅰ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一一次函数模型的应用1．一次函数模型的实际应用:一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解：一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．【典型例题1】(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元）与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000。而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2000套B．3000套C．4000套D．5000套（2）商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法：(1）买一个茶壶赠一个茶杯；(2）按总价的92％付款．某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个（不少于4个），若购买茶杯x（个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？(1)解析:因利润z＝12x－（6x＋30000)，所以z＝6x－30000,由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．答案：D(2)解：由优惠办法（1）可得函数解析式为y1＝20×4＋5(x－4）＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．由优惠办法(2)可得y2＝（5x＋20×4）×92%＝4.6x＋73。6（x≥4，且x∈N）．y1－y2＝0.4x－13。6(x≥4，且x∈N），令y1－y2＝0，得x＝34.所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x＜34时,y1＜y2，即优惠办法（1)更省钱；当x＞34时,y1＞y2，优惠办法(2）更省钱．探究二二次函数模型的应用二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0）．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．【典型例题2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润w(元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；(3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思路分析:本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50)，化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．(2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝（x－40）(－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60)2＋1200，所以当x＜60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润，且最大利润为1125元．点评此题中要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，解答时还要注意利用上一问的结论．探究三分段函数模型的应用1．分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏．2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．3．分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论．【典型例题3】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时，销售所得的收入约为5t－t2（万元)．(1）若该公司的年产量为x(单位:百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大?思路分析：利润＝销售收入－总的成本．由于本题中的销量只能为500件，但生产的数量不确定，所以模型确定为分段函数模型．解:（1）当0＜x≤5时，产品全部售出，当x＞5时,产品只能售出500件．所以f(x)＝即f（x）＝（2）当0＜x≤5时，f(x)＝－x2＋4。75x－0。5，所以当x＝4。75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)max＝10。78125(万元）．当x＞5时，f（x)＜12－0。25×5＝10.75（万元)．故当年产量为475件时,当年所得利润最大．点评本题易归为二次函数模型处理，即x＞5这种情况易漏掉．探究四易错辨析易错点忽视实际问题中x的范围而致误【典型例题4】如图所示,在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b（a＞b),在AB，AD，CB，CD上分别截取AE＝AH＝CF＝CG＝x（x＞0）,设四边形EFGH的面积为y。（1）写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式;（2）求当x为何值时,y取得最大值，最大值是多少？错解:（1)由题意，可知△AEH≌△CGF，△DGH≌△BEF,且BE＝DG＝a－x,BF＝DH＝b－x。∴S△AEH＝x2，S△BFE＝(a－x）(b－x）．∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BFE＝ab－x2－（a－x)（b－x）＝－2x2＋(a＋b）x。即y＝－2x2＋(a＋b)x。（2）由(1）知，y＝－2x2＋（a＋b）x＝－22＋，∴由二次函数的性质得，当x＝时，ymax＝。错因分析：（1)中没有注意实际问题中x的取值范围;(2)中没有讨论对称轴与区间的关系，从根本上是由（1)中没明确定义域而造成最后的错误．正解:（1）由题意，可知△AEH≌△CGF，△DGH≌△BEF,且BE＝DG＝a－x，BF＝DH＝b－x.∴S△AEH＝x2，S△BFE＝(a－x）(b－x)．∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BFE＝ab－x2－(a－x）（b－x）＝－2x2＋（a＋b）x(0＜x≤b）,即y＝－2x2＋(a＋b)x（0＜x≤b)．（2)由（1)知，y＝－2x2＋（a＋b）x＝－22＋（0＜x≤b)．若0＜≤b,即a＞b≥时，ymax＝，此时x＝；若＞b,即0＜b