数学学案：例题与探究不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲【例1】若a,b，c∈R，a>b,则下列不等式成立的是(）A.B.a2>b2C.D。a|c｜〉b|c｜思路解析：本题只提供了“a，b，c∈R,a〉b"这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A，还需有ab〉0这个前提条件；选项B,当a，b都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2〉—3，但22>(-3)2不正确;选项C,>0,因而正确；选项D,当c=0时不正确。答案：C绿色通道：考查不等式的基本性质的选择题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等号变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取0、正数、负数等。【变式训练1】如果a，b，c满足c〈b〈a，且ac〈0,那么下列选项中不一定成立的是（)A.ab>acB。c（b-a）〉0C。cb2〈ab2D。ac（a-c）〈0思路解析：由条件c〈b<a,ac〈0,可以知道a>0,c<0，但b的正负情况不确定.方法一：取a=1,b=0,c=—1分别代入A、B、C、D中验证可知C不成立.方法二：由题意，知c<0，a〉0，则A一定正确；又c〈0,b—a<0，所以c(b—a）>0，所以B一定正确；ac<0,a-c>0,所以ac(a-c）<0，所以D一定正确.故选C(当b=0时,不成立）.答案：C【变式训练2】已知a<0,b〈-1，则下列不等式成立的是（）A.a〉>ab2B。〉〉aC.>>aD。>a>思路解析：本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较、、1的大小关系，再比较、、a的大小，又因为a〈0，所以又可认为是在比较、、—1的大小。因为b〈-1，所以1〉〉。也可以令a=—1,b=—2，分别代入A,B，C，D中，知A、B、D均错.答案：C【例2】设a>0且a≠1，0〈x〈1,试比较｜loga（1-x）｜和｜loga（1+x)｜的大小。思路分析:由于所要比较的两个数带有绝对值号，结合对数函数的知识，可知对a应分为a〉1和0<a<1两种情况讨论。解:（1）当a〉1时,∵0<x<1,∴-1<—x<0，0〈1—x<1,1+x〉1.∴loga（1—x)<0，loga（1+x)〉0.∴｜loga（1—x)｜—｜loga(1+x)|=-logα(1-x）-loga(1+x)=—［loga（1-x）+loga(1+x）］=-loga（1-x)（1+x)=-loga（1-x2）。∵0<x〈1,∴0<x2<1,—1〈—x2<0,0〈1-x2<1，即loga(1-x2）〈0,—loga(1-x2)>0.∴|loga(1—x）|>｜loga（1+x)｜.(2）当0〈a〈1时，loga(1—x）〉0，loga(1+x)〈0，∴|loga（1-x)|-｜loga（1+x)|=loga（1—x)+loga（1+x）=loga(1—x2)>0.∴|loga(1-x）|〉｜loga(1+x）｜.综合①②，可知|loga（1—x)|>|loga(1+x）|。绿色通道：比较实数大小,常用作差或作商法,作差法中差式最后的形式可以有多种，如常数、平方数(式）、因式相乘等，这些结果形式在某些条件下是非常容易得到差式符号的，但在作差变形中，也存在一定的变化技巧，如平方相减、配方等.如果要比较的项较多，可恰当选取“分界量”，如先找出正数、负数，在正数中找比1大的数，比1小的数等.【变式训练1】比较(+1）3-(—1)3与2的大小（n≠0）。思路分析：本题中为一个整体，因而可以用换元法将第一个式子化简变形，再与2比较大小。解：设a=，则（+1）3-（—1)3=(a+1）3-（a-1)3=（a3+3a2+3a+1）—（a3-3a2+3a—1)=6a2+2=n2+2。∴（+1）3-（—1)3—2=n2.∵n≠0,∴n2〉0。∴(+1)3-(—1)3〉2.【变式训练2】已知a〉0且a≠1,P=loga（a2—a+1)，Q=loga（a3—a+1），则P与Q的大小关系是_____________。思路解析：P与Q两数是对数式，两对数同底，因此只需比较两真数的大小，但应对a讨论.（a3-a+1）-(a2—a+1)=a3-a2=a2(a—1）。当a>1时，函数y=logax是增函数.a2（a-1）〉0,∴P<Q.当0<a〈1时，函数y=logax是减函数.∵a〈1,∴a2（a-1）〈0。∴P〈Q。综上可知P<Q.答案:P〈Q【例3】（2006山东临沂模拟考试,13）已知60<x<84，28<y〈33，则x—y的取值范围为___________，的取值范围为____________。思路解析：x—y=x+(—y），所以需先求出—y的范围；=x×，所以需先求出的范围。∵28<y〈33,∴—33〈—y<—28，。又60〈x〈84，∴27<x—y〈56，,即<3。答案：27<x—y〈56〈<3绿色通道：本题不能直接用x的范围去减或除y的范围,应严格利用不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中,还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系。如已知20<x+y〈30，15<x—y〈18，要求2x+3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x+3y的范围，应把已知的“x+y"“x-y”视为整体，即2x+3y=（x+y）-(x-y）,所以需分别求出=(x+y)、（x—y)的范围,两范围相加可得2x+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题,则不能再间接得出,必须“直来直去”,即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求。【变式训练】若已知二次函数y=f(x）的图象过原点，且1≤f（—1)≤2,3≤f(1）≤4.求f（—2）的范围.思路分析:用解方程的思想或待定系数法，视f(—1），f(1）为整体，找到f(-2)=mf（-1）+nf(1），求出m，n，再求f(-2）的范围.解法一：∵f(x）过原点，∴可设f（x)=ax2+bx.∴∴∴f（-2）=4a—2b=3f(-1）+f（1），且1≤f(-1)≤2，3≤f(1）≤4,∴6≤f(-2）≤10。解法二：设f(x)=ax2+bx，则f(1)=a+b，f（—1）=a—b.令m(a+b）+n(a—b)=f(-2)=4a-2b,∴∴f(—2）=(a+b)+3(a-b)=f（1)+3f(—1)。∵1≤f（-1)≤2，3≤f(1)≤4,∴6≤f(—2）≤10.问题探究问题：下表是某一地区在2006年第一季度应聘和招聘人数排行榜中前5个行业的情况:行业名称计算机机械营销建筑物流应聘人数2158302002501546766528074570招聘人数124620891151029357651670436你能根据表中的数据,来分析一下这五个行业的就业形势吗？导思:一个行业就业形势的好与坏，要综合考察各个数据,不能只看应聘人数,也不能只看招聘人数，可以用同一行业中应聘人数与招