数学学案：课堂探究直线与平面的夹角二面角及其度量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一用定义法求直线与平面所成的角利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小．其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”．【典型例题1】在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．思路分析:在求解斜线和平面所成的角时，确定斜线在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题．解：如图，过A，E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O，G为垂足．则AO∥GE，AO＝2GE。连接GC，则∠ECG为EC和平面BCD所成的角．因为AB＝AC＝AD，所以OB＝OC＝OD。因为△BCD是正三角形,所以O为△BCD的中心．连接DO并延长交BC于F，则F为BC的中点．令正四面体ABCD的棱长为1，可求得CE＝eq\f（\r(3)，2)，DF＝eq\f（\r(3),2），OD＝eq\f(\r（3），3),则AO＝eq\r(AD2－OD2）＝eq\r(1－\f（3，9))＝eq\f(\r（6）,3)，所以EG＝eq\f（\r（6）,6)。在Rt△ECG中，sin∠ECG＝eq\f（EG,CE）＝eq\f（\r(2),3).归纳找射影的两种方法：(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；(2)利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．探究二向量法求直线与平面所成的角利用向量法求直线与平面所成角的优势在于不用找角，只需求出直线的方向向量和平面的法向量，再用公式求解即可，其基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；（2)求直线的方向向量s和平面的法向量n；(3）设线面角为θ，由sinθ＝eq\f(｜s·n|，|s||n｜）得出θ的值，需注意的是θ的范围是eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2）)).【典型例题2】如图所示,在直三棱柱ABO。A1B1O1中，OO1＝4，OA＝4,OB＝3，∠AOB＝90°。D是线段A1B1的中点．P是侧棱BB1上的一点，若BD⊥OP，求OP与底面AOB所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)思路分析：由于题中所给图形是直三棱柱,可建立空间直角坐标系,利用向量法求解．解：如图所示，以O点为原点，eq\o（OB，\s\up6（→)），eq\o（OA，\s\up6（→))，eq\o(OO1,\s\up6（→)）为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．由题意有O(0，0,0），B（3,0,0)，Deq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，2)，2,4）),B1（3，0,4）．设P（3,0,z），则eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3，2),2，4）)，eq\o（OP,\s\up6(→)）＝(3，0，z)．因为BD⊥OP,所以eq\o（BD,\s\up6（→）)·eq\o(OP,\s\up6（→）)＝－eq\f(9，2)＋4z＝0，所以z＝eq\f(9,8）。因为平面PBO⊥平面ABO，所以OB为OP在平面ABO内的射影，所以∠POB为OP与平面ABO所成的角．又因为BB1⊥平面AOB，所以eq\o（BB1,\s\up6（→)）是平面AOB的一个法向量，且eq\o（BB1,\s\up6(→))＝（0，0，4)，所以sin∠POB＝|cos∠BPO|＝eq\f(O\o（P，\s\up6（→)）·\o（BB1，\s\up6(→）),|O\o（P,\s\up6（→）)||\o（BB1,\s\up6(→)）｜）＝eq\f（\f（9，2)，\f(3\r（73)，8）×4）＝eq\f（3\r(73）,73).所以OP与底面AOB所成的角为arcsineq\f(3\r（73）,73)。探究三定义法求二面角的大小所谓定义法,就是作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解．作出二面角的平面角常用的方法有：（1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;(2）在二面角的一个面上取一点，利用三垂线定理作平面角；(3）在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作出和棱垂直的射线．【典型例题3】已知在三棱锥P。ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC.求二面角B.AP.C的大小．思路分析：本题可考虑利用三垂线定理作出二面角的平面角,再求解；还可考虑用射影面积公式求出二面角的大小．解法一:如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF。∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.∴BE⊥平面PAC。由三垂线定理有BF⊥PA，∴∠BFE是二面角B。PA。C的平面角．设PC＝1，由E是AC中点，得BE＝eq\f(\r(3),2），EF＝eq\f(1，2)×sin45°＝eq\f(\r(2），4)，∴tan∠BFE＝eq\f(BE，EF)＝eq\r（6)，∴∠BFE＝arctaneq\r（6).解法二：（利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.∵PC⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC.∴△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．设PC＝1，则PA＝PB＝eq\r(2)，AB＝1，∴△PAB中AB边上的高h＝eq\f(\r(7)，2）.∴S△PAB＝eq\f（\r（7),4)，又S△PAE＝eq\f（1，2)S△PAC＝eq\f（1,4)。设二面角B。PA。C的大小为θ，由射影面积公式有cosθ＝eq\f(S△PAE，S△PAB)＝eq\f（\r(7），7），∴θ＝arccoseq\f（\r(7)，7).探究四向量法求二面角利用向量法求二面角常有如下两种方法：方法一:分别在二面角α。l.β的面α，β内,并且沿α,β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用〈n1，n2>度量这个二面角的大小．cos〈n1，n2>＝eq\f（n1·n2，｜n1｜｜n2｜），n1，n2的选取建立在现有图形中的已知或构图论证上．方法二：通过法向量求解设m1⊥α，m2⊥β,则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．此方法的运用适宜于:（1）在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于确定．（2)二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．(3）具体求解过程中，先求m1与m2所成锐角θ,cosθ＝eq\f(｜m1·m2｜,｜m1｜|m2｜)。若二面角为锐角,则为θ;若二面角为钝角，则为π－θ。【典型例题4】在底面为直角梯形的四棱锥S。ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD。SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f（1，2),求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值．思路分析：解答本题可建立空间直角坐标系，转化为求法向量的夹角．解：以A为原点建立空间直角坐标系如图．则Deq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2），0）），C(1，1,0），S（0,0,1),A（0，0,0），eq\o（SD,\s\up6(→）)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2），－1）),eq\o（SC，\s\up6(→）)＝（1,1,－1）,eq\o(AD,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1，2),0）)。设平面SCD的法向量为n＝（x，y，z），则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o（SC，\s\up6(→)），，n⊥\o（SD，\s\up6(→)),）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（n·\o（SC，\s\up6(→）)＝0，,n·\o(SD,\s\up6(→))＝0,)）∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x,y，z·1，1，－1＝0，，x,y,z·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(1，2),－1））＝0,))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y－z＝0，,\f(1，2)y－z＝0,)）∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝2z,,x＝－z，)）令z＝1,得n＝（－1，2，1)，而eq\o（AD，\s\up6（→)）是平面SAB的法向量．∴cos〈eq\o(AD，\s\up6(→）),n〉＝eq\f(\o(AD，\s\up6(→)）·n，|\o（AD，\s\up6（→））|｜n|)＝eq\f(\r(6)，3）.观察图形可知平面SCD与平面SAB所成角为锐角，其余弦值为eq\f（\r（6),3)。探究五易错辨析易错点混淆直线的方向向量和平面法向量的夹角与线面角【典型例题5】在四棱锥P.ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求EB与底面ABCD所成角的正弦值．错解：由向量加法知eq\o(EB，\s\up6（→))＝eq\o(EC，\s\up6（→)）＋eq\o（CB，\s\up6(→））＝eq\f（1,2）eq\o（PC，\s\up6（→））＋eq\o(CB,\s\up6（→））＝eq\f（1，2)（eq\o（PD,\s\up6(→)）＋eq\o（DC，\s\up6(→)))＋eq\o(CB，\s\up6(→))，设｜eq\o(PD，\s\up6（→)）｜＝1，则|eq\o(DC，\s\up6（→)）｜＝1，|eq\o（CB,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(PD，\s\up6(→）)，eq\o（DC,\s\up6（→)），eq\o（CB，\s\up6（→))两两垂直，可求出|eq\o(EB,\s\up6（→）)|＝eq\f(\r（6),2),∴eq\o(EB,\s\up6（→))·eq\o（DP,\s\up6(→）)＝－eq\f（1,2)，∴cos〈eq\o（EB，\s\up6（→))，eq\o（DP，\s\up6（→））〉＝eq\f(\o(EB，\s\up6(→））·\o（DP,\s\up6(→)），|\o(EB,\s\up6（→))｜｜\o(DP,\s\up6（→）)｜)＝eq\f（－\f(1,2)，\f(\r（6)，2))＝－eq\f（\r（6),6），∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为eq\r(1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r（6)，6)））2)＝eq\f(\r（30），6)。错因分析：用向量法求线面角时，sinθ＝|cos<a，n〉｜，而不是说直线的方向向量与平面的法向量的夹角即是线面角．正解：由向量加法知eq\o(EB,\s\up6(→））＝eq\o(EC，\s\up6（→）)＋eq\o（CB，\s\up6（→）)＝eq\f(1,2）eq\o(PC,\s\up6(→））＋eq\o(CB，\s\up6(→））＝eq\f（1，2)(eq\o（PD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→）））＋eq\o（CB，\s\up6(→））.设|eq\o(PD，\s\up6(→)）｜＝1,则|eq\o（DC,\s\up6(→））｜＝1，|eq\o（CB,\s\up6(→））|＝1，且eq\o（PD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6（→))，eq\o(CB,\s\up6（→）)两两垂直，可得|eq\o(EB,\s\up6(→））｜＝eq\f（\r（6),