数学学案：课堂探究直线方程的概念与直线的斜率

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一直线的倾斜角求直线的倾斜角的方法及注意点．（1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形）求角．(2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围．【典型例题1】(1）直线x＝－1的倾斜角为()A．135°B．90°C．45°D．0°解析：因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为90°．答案：B（2)下列说法正确的是（）A．一条直线和x轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角B．直线的倾斜角α在第一或第二象限C．和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°D．不是每一条直线都有倾斜角解析：倾斜角的定义是直线向上的方向和x轴正方向所成的角,故A错误；倾斜角的范围是0°≤α〈180°，故B错误；和x轴平行的直线的倾斜角是0°，故C正确；每条直线都有倾斜角,故D错误．答案：C探究二求直线的斜率1．若两点的横坐标相等，则直线的斜率不存在．2．若两点的横坐标不相等,则将两点的坐标代入斜率计算公式．当两点的坐标中有字母时,要注意分类讨论．【典型例题2】已知直线l经过两点A（2，－1),B（t，4），求直线l的斜率．思路分析:点B的坐标中含参数t，注意分类讨论．解：(1）当t＝2时，直线l与x轴垂直,所以直线l的斜率不存在．（2)当t≠2时，直线l的斜率k＝＝，所以综上所述，当t＝2时,直线l的斜率不存在；当t≠2时，直线l的斜率k＝．探究三斜率公式的综合应用利用直线的斜率公式可以解决以下几类问题：(1）若已知直线的斜率或直线斜率间的关系，可求直线所过点的坐标中参数的值．（2）可以判断三点是否共线．已知三点A，B，C，若过A,B两点的直线的斜率与过A，C两点的直线的斜率相等,此时A，B，C三点共线．【典型例题3】(1)若过点P(1－a，1＋a)与Q（3，2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是________．解析：因为直线的倾斜角为钝角，所以直线的斜率小于0，即kPQ＝＝〈0，所以－2〈a〈1．答案：－2<a<1(2)求证A（1,5)，B(0,2），C(2，8）三点共线．证明：(方法一）利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率,kAB＝＝3，kAC＝＝3．因为直线AB和AC的斜率相同,又直线AB和AC过同一点A，所以A，B，C三点共线．（方法二）因为|AB｜＝＝，|AC|＝＝，｜BC｜＝＝，即|AB｜＋|AC｜＝｜BC｜，所以A，B，C三点共线．【典型例题4】已知实数x,y满足y＝－2x＋8,且2≤x≤3，求的最大值和最小值．思路分析：根据的几何意义，本题的实质是求线段y＝－2x＋8(2≤x≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．解:如图,由已知得，点P(x，y）在线段AB上运动,其中A（2,4），B(3,2)，而＝，其几何意义为直线OP的斜率．设直线OA，OB,OP的斜率分别为kOA，kOB，kOP．由图可知kOB≤kOP≤kOA，而kOB＝eq\f(2，3)，kOA＝2．故所求的eq\f（y，x)的最大值为2，最小值为eq\f（2，3)．点评利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可以写成(x1≠x2)的形式，从而联想其几何意义（即直线的斜率）,再利用几何图形的直观性来分析解决问题．探究四易错辨析易错点:忽视了倾斜角的范围而致误【典型例题5】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转30°,得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(）A．α＋30°B．α－150°C．150°－αD．当0°≤α〈150°时为α＋30°，当150°≤α〈180°时为α－150°错解：直线l按逆时针方向旋转30°，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l1的倾斜角为α＋30°．答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会大于或等于180°，这样就不满足倾斜角θ的范围为0°≤θ〈180°了．正解：要分类讨