数学学案：课堂探究抛物线的标准方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一抛物线的定义及应用抛物线定义的实质可归纳为“一动三定"：一个动点；一个定点F；一条定直线l;一个定值．抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此两者可以相互转化，这也是利用抛物线定义解题的方便之处．【典型例题1】设P为抛物线y2＝4x上的一个动点．（1）求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值;（2)若B(3，2），求|PB|＋｜PF|的最小值．思路分析：本题主要考查抛物线中的最值问题,利用数形结合的思想寻求解题思路．解:（1)抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1。因为点P到准线x＝－1的距离等于点P到F（1，0）的距离，所以问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A（－1，1)的距离与P到F（1,0)的距离之和最小．连接AF，如图(1)所示，图（1)显然P是AF与抛物线的交点,最小值为|AF｜＝eq\r(5).(2)同理|PF|与点P到准线的距离相等．如图（2）所示,图（2）过B作BQ⊥准线于Q，交抛物线于点P1。由题意知｜P1Q｜＝|P1F｜所以｜PB|＋｜PF｜≥｜P1B｜＋|P1Q|＝｜BQ|＝4。所以｜PB｜＋|PF|的最小值为4.点评：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1）当两定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点；（2）当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为（1)的情形即可．探究二求抛物线的标准方程、焦点、准线方程求抛物线的标准方程时，从形式上看，只需要求出参数p即可．而要求抛物线的焦点坐标、准线方程,则首先要将抛物线方程化成标准形式，求出p的值后，再写出焦点和准线方程．【典型例题2】已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（3,m）到焦点的距离是5。(1)求抛物线方程和m的值．(2）求抛物线的焦点坐标和准线方程．思路分析:设出抛物线方程，利用抛物线的定义得出p的关系式，求出p的值，再用代入法求m的值．解:（1)设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），焦点为Feq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(p，2)，0）)，准线方程x＝－eq\f（p,2），根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离,则3＋eq\f（p，2)＝5，解得p＝4。因此抛物线方程为y2＝8x.又点M(3，m)在抛物线上，所以m2＝24,解得m＝±2eq\r(6)。故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2eq\r(6).(2）因为p＝4，所以抛物线的焦点坐标为(2,0),准线方程是x＝－2.探究三易错辨析易错点忽略抛物线中变量的取值范围【典型例题3】设点A的坐标为(a,0）(a∈R)，则曲线y2＝4x上的点到点A的距离的最小值为多少?错解:设曲线上的任意一点B（x,y)到点A的距离为d,则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－4）x＋a2＝［x－(a－2）]2＋（4a因为a∈R,所以当x＝a－2时，d2取最小值4a所以dmin＝2eq\r(a－1).错因分析：在求与抛物线有关的最值时,要充分利用抛物线所隐含的条件，注意坐标的取值是否满足抛物线的范围．错解中既忽略了抛物线中x的取值范围，也忽略了对a的讨论．正解：设曲线上任意一点B（x,y）到点A的距离为d，则d2＝（x－a)2＋y2＝x2－(2a－4)x＋a2＝[x－(a－2)]2＋（4a由题意知x∈［0,＋∞），所以当