数学学案：课堂探究集合之间的关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一判断集合之间的关系判断两个集合A，B之间是否存在包含关系有以下几个步骤：第一步：明确集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中的元素之间的关系．(1)当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B.（2）当集合A中的元素都属于集合B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB。（3）当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B.(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时,有A⃘B，且B⃘A，即集合A，B互不包含．【典型例题1】（1）设M＝｛菱形}，N＝｛平行四边形}，P＝｛四边形｝，Q＝｛正方形｝，则这些集合之间的关系为（）A.P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P（2)有下列关系：①0∈{0｝;②∅｛0｝；③｛0，1｝⊆｛(0，1)}；④{(a，b）}＝{（b，a)}．其中正确的个数为(）A．1 B．2 C．3 D．4解析：(1）由于四边形包括正方形、菱形、平行四边形,故集合M，N,Q均为P的子集,再结合正方形、菱形、平行四边形的概念易知Q⊆M⊆N⊆P.（2）①中根据元素与集合的关系可知0∈｛0}正确;②中由空集是任意非空集合的真子集可知∅｛0}正确；③中集合｛0,1}的元素是数，而集合｛(0，1）｝的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)｝≠{(b，a)｝，故④错误．综上,应选B.答案：（1）B（2）B探究二确定集合的子集、真子集1．（1)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x∈B，但x∉A。所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之，不成立．（2）若集合A＝{1,2｝，B＝{1，2,3｝,则A是B的子集,也是真子集，用符号A⊆B与AB均可，但用AB更准确．2．与子集、真子集个数有关的四个结论假设集合A中含有n个元素,则有:（1）A的子集的个数为2n；(2）A的真子集的个数为2n－1;(3)A的非空子集的个数为2n－1;（4）A的非空真子集的个数为2n－2.【典型例题2】集合A＝｛x｜0≤x〈3，且x∈N｝的真子集的个数是(）A．16 B．8 C．7 D．4解析：因为0≤x〈3，x∈N，所以x＝0,1，2，即A＝{0，1，2｝,所以A的真子集的个数为23－1＝7。答案：C【典型例题3】求满足条件{x|x2＋5＝0}M⊆{x｜x2－1＝0}的集合M。思路分析：M是集合｛x|x2－1＝0｝的子集，又｛x｜x2＋5＝0｝是空集，它是M的真子集，所以M不是空集．因此问题归结为求｛x|x2－1＝0}的非空子集．解：因为{x|x2＋5＝0｝＝∅，{x｜x2－1＝0｝＝｛－1，1}，其非空子集为{－1}，{1｝，{－1，1}．探究三两个集合相等及其应用1．判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法：（1）将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2）看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致，则两个集合相等．2．两个集合相等的问题一般转化为解方程(组），但要注意最后需检验，看是否满足集合元素的互异性．3．找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键．【典型例题4】已知集合A＝{2，x，y｝,B＝{2x,2，y2}，若A＝B，求x，y的值．思路分析：A＝B→列方程组→解方程组求x,y解:∵A＝B，∴集合A与集合B中的元素相同．∴或解得或或验证得,当x＝0，y＝0时,A＝{2，0,0}，这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x，y的取值为或探究四根据子集的关系，确定参数的值对于两个集合A，B，若A或B中含有待确定的参数（字母），且A⊆B或A＝B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法．1．分类讨论是指：（1)A⊆B在未指明集合A非空时,应分A＝∅和A≠∅两种情况来讨论．（2）因为集合中的元素是无序的，由A⊆B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论．2．数形结合是指对A≠∅这种情况，在确定参数时,需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组)求出参数．3．解决集合中含参数问题时,最后结果要注意验证．验证是指：（1）分类讨论求得的参数的值，还需要代入原集合中看是否满足互异性．（2)所求参数的取值范围能否取到端点值．【典型例题5】已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0｝,Q＝{x｜ax＋1＝0｝，满足QP，求a的取值．思路分析：先明确集合P，再结合QP对Q中的a分两种情况讨论．解：P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝｛2，－3｝．当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝∅,QP成立．当a≠0时，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝＝,要使QP成立，则有－＝2或－＝－3，即a＝－或a＝.综上所述，a＝0或a＝－或a＝。反思本题易漏掉当a＝0时的情况，要清楚当a＝0时，ax＋1＝0是无解的，即此时Q为空集．探究五易错辨析易错点忽略B为∅这一特殊情况而致误【典型例题6】集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x|m＋1≤x≤2m－1}．(1）若B⊆A，求实数m满足的条件；（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．错解：(1）由题意并结合数轴（如下图)，得解得2≤m≤3。所以实数m满足的条件是2≤m≤3.(2)当x∈Z时，A＝｛－2，－1，0,1,2，3,4,5}，所以A的非空真子集的个数为28－1＝255.错因分析:（1)中忽略了B＝∅时的情形;（2）中误认为是求A的真子集或A的非空子集的个数．正解:(1）①当B＝∅时，∅⊆A，符合题意，此时m＋1>2m－1，解得m〈2。②当B≠∅时，由题意结合数轴(如下图）．得解得2≤m≤3。综合①②,