2024-2025学年高中数学第一章统计1.4数据的数字特征学案含解析北师大版必修3

PAGE4数据的数字特征考纲定位重难突破1.驾驭各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.要重视数据的计算，体会统计思想.重点：各种数据特征的意义以及计算.难点：依据问题的须要选择不同的统计量表达数据的信息.授课提示：对应学生用书第11页[自主梳理]eq\a\vs4\al(统,计,量)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(反映数据,的集中趋,势的量)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平均数：若x1，x2，…，xn为n个样本，,则平均数\o(x,\s\up6(－))＝\f(x1＋x2＋…＋xn,n)Ｗ.,中位数：一组从小到大排列的数，若个数是奇数，,位于中间的数为中位数，若个数是偶数，中位数,为位于中间两个数的平均数Ｗ.,众数：一组数中出现次数最多的数据.)),\a\vs4\al(反映,数据,的离,散程,度的,量)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(极差：一组数据中的最大值与最小值的差.,方差：s2＝\f(（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2,n).,标准差：s＝\r(s2)＝,\r(\f(（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2,n)).))))[双基自测]1．下列能刻画一组数据离散程度的是()A．平均数 B．方差C．中位数 D．众数解析：方差能刻画一组数据离散程度的大小．答案：B2．下列说法中，错误的是()A．数据2，4，6，8的中位数是4，6B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4C．一组数据的众数、中位数、平均数有可能是同一个数据D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是eq\f(8×5＋7×3,11)解析：由中位数的特征，知A中的中位数有两个是错误的，其中位数应为eq\f(4＋6,2)＝5.答案：A3．一个样本的方差s2＝eq\f(1,10)[(x1－15)2＋(x2－15)2＋…＋(x10－15)2]，则这个样本的平均数与样本容量分别是________．解析：由方差的计算公式知eq\o(x,\s\up6(－))＝15，n＝10.故这个样本的平均数为15，样本容量为10.答案：15，10授课提示：对应学生用书第11页探究一中位数、众数、平均数的计算及应用[典例1]据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[解析](1)平均数是eq\o(x,\s\up6(－))＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(2)新的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))′＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．理解并驾驭平均数、众数、中位数的概念，平均数、众数、中位数可能相同，也可能不同，留意某几个数据的平均数就是这些数的算术平均数，样本平均数代表了数据更多的信息，在实际问题中计算时，应依据实际要求进行计算．1．某学校对高一年级经过初步比较后，确定从高一年级(1)(4)(8)班这三个班中举荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素养考评，下表是它们五项素养考评的得分表：(以分为单位，每项满分为10分)班级行为规范学习成果校运动会艺术获奖劳动卫生高一(1)班10106107高一(4)班108898高一(8)班910969请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将它们的得分进行排序．解析：设P1、P4、P8顺次为三个班考评分的平均数；W1、W4、W8顺次为三个班考评分的中位数；Z1、Z4、Z8顺次为三个班考评分的众数．则P1＝eq\f(1,5)(10＋10＋6＋10＋7)＝8.6(分)，P4＝eq\f(1,5)(10＋8＋8＋9＋8)＝8.6(分)，P8＝eq\f(1,5)(9＋10＋9＋6＋9)＝8.6(分)；W1＝10(分)，W4＝8(分)，W8＝9(分)；Z1＝10(分)，Z4＝8(分)，Z8＝9(分)．所以平均数不能反映这三个班的考评结果的差异，而用中位数(或众数)能反映差异，且W1>W8>W4(或Z1>Z8>Z4)．探究二方差、标准差与应用[典例2]甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次竞赛，得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100.乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102.请计算甲、乙两队的方差与标准差，并推断哪支球队发挥更为稳定．[解析]eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)(100＋97＋…＋100)＝100.3，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(97＋97＋…＋102)＝100.3，则seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2]＝5.61，则seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)[(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2]＝9.21，所以甲队的标准差为s甲＝eq\r(5.61)≈2.37，乙队的标准差为s乙＝eq\r(9.21)≈3.03.由此可以推断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此甲队在联赛中发挥更为稳定一些．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要探讨方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的状况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．2．某工厂甲、乙两名工人参与操作技能培训，他们在培训期间参与的8次测试成果记录如下：甲9582888193798478乙8392809590808575试比较哪个工人的成果较好．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)×(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)×(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲的成果较稳定．综上可知，甲的成果较好．探究三数字特征的综合应用[典例3]甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成果状况如图所示：(1)请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看，分析谁的成果稳定；②从平均数和中位数相结合看，分析谁的成果好些；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，分析谁的成果好些；④从折线图上两人射击命中环数的走势看，分析谁更有潜力．[解析](1)视察折线图可得甲射击10次中靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.将它们由小到大重排为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射击10次中靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.将它们由小到大重排为：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝eq\f(1,10)(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝eq\f(1,10)(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.依据以上的分析与计算填表如下：平均数方差中位数命中9环及9环以上次数甲71.271乙75.47.53(2)①因为平均数相同，且seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲的成果比乙稳定．②因为平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，所以乙的成果比甲好些．③因为平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，所以乙的成果比甲好些．④甲成果在平均数上下波动，而乙的成果处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的状况发生，所以乙较有潜力．1．计算标准差的方法：(1)算出样本数据的平均数．(2)算出每个样本数据与样本平均数的差xi－eq\o(x,\s\up6(－))(i＝1，2，…，n)．(3)算出(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2(i＝1，2，…，n)．(4)算出(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2(i＝1，2，…，n)这n个数的平均数，即为样本方差s2.(5)算出方差的算术平方根，即为样本标准差s.2．方差的计算公式：(1)s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．(2)s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)－neq\o(x,\s\up6(－))2)．(3)s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2.3．为了普及环保学问，增加环保意识，某高校随机抽取30名学生参与环保学问测试，得分(非常制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为mo，平均值为eq\o(x,\s\up6(－))，则()A．me＝mo＝eq\o(x,\s\up6(－))B．me＝mo<eq\o(x,\s\up6(－))C．me<mo<eq\o(x,\s\up6(－)) D．mo<me<eq\o(x,\s\up6(－))解析：由题意知mo＝5，me＝eq\f(5＋6,2)＝5.5，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)＝eq\f(179,30)，明显eq\o(x,\s\up6(－))>me>mo，故选D.答案：D样本数据的数字特征的综合应用[典例](本题满分12分)在一次科技学问竞赛中，两组学生的成果如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分．请依据你所学过的统计学问，进一步推断这两个组在这次竞赛中的成果谁优谁劣，并说明理由．[规范解答](1)甲组成果的众数为90分，乙组成果的众数为70分，从成果的众数看，甲组成果较好.2分(2)甲、乙两组成果的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成果在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成果在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度看，甲组成果较好.5分(3)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,50)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,50)×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.因为seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲组成果比乙组成果稳定，从这一角度看，甲组成果较好.9分(4)从成果统计表看，甲组成果大于或等于90分的有20人，乙组成果大于或等于90分的有24人，所以乙组成果分布在高分段的人数较多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一角度看，乙组成果较好.12分[规范与警示](1)对实际问题的分析评价，不仅要依据单个样本数字特征，还要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯．(2)本题仅涉及一些简洁的样本数字特征的计算，但在没有任何提示的状况下，要依据这些数据进行分析和推断，会令人手足无措．要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行评价，如本题中的“满分人数”．留意要在恰当的评估后，组织