统考版2025届高考数学二轮专题闯关导练五仿真模拟专练一文含解析

PAGE五仿真模拟专练仿真模拟专练(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．[2024·唐山市高三年级摸底考试]已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∩B＝()A．{0,1,2}B．{0,1}C．{3}D．{1}2．[2024·大同市高三学情调研测试]设z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2，则z的共轭复数为()A．－1B．1C．iD．－3．[2024·合肥市高三调研性检测]已知m，n为直线，α为平面，且m⊂α，则“n⊥m”是“n⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[2024·开封市高三模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq\f(1,3)，则cos(α－β)＝()A．－1B．－eq\f(7,9)C.eq\f(4\r(2),9)D.eq\f(7,9)5．[2024·甘肃兰州一中期中]我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“刍甍的底面为矩形，顶部只有长没有宽，为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则它的体积为()A.eq\f(160,3)B．160C.eq\f(256,3)D．646．[2024·开封市高三第一次模拟考试]某省一般中学学业水平考试成果由高分到低分按人数所占比例依次分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%.其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参与学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成果进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C等级及以上级别的学生人数为()A．45B．660C．880D7．[2024·河南省豫北名校高三质量测评]已知直三棱柱ABC­A1B1C1的底面为正三角形，且AA1＝AB，E为A1B1上一点，A1E＝2EB1A.eq\f(\r(13),13)B.eq\f(5,13)C.eq\f(2\r(13),13)D.eq\f(12,13)8．[2024·河北省九校高三联考试题]设a＝，b＝，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a9．[2024·湖北省部分重点中学高三起点考试]执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A．7B．8C．9D10．[2024·河南省豫北名校高三质量考评]已知等差数列{an}的通项公式为an＝26－tn(t∈R)，且当数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，n＝12或13，则当Sk＝150时，k＝()A．10B．25C．10或15D．15或2511．[2024·合肥市高三调研性检测]某公司一种型号的产品近期销售状况如下表：月份x23456销售额y/万元15.116.317.017.218.4依据上表可得到回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋eq\o(a,\s\up6(^))，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为()A．19.5万元B．19.25万元C．19.15万元D．19.05万元12．[2024·河北省九校高三联考]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f′(x)lnx<－eq\f(1,x)f(x)，则使得(x2－1)f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)13．[2024·安徽省部分重点校高三联考]已知变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0,x＋y－1≥0,x≤0))，则z＝x＋3y的最小值为________．14．[2024·石家庄市重点中学高三毕业班摸底考试]已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，λ)，c＝(λ，－2)．若(a＋b)⊥c，则λ＝________.15．[2024·惠州市高三第一次调研考试]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a5＝25，S6＝57，则{an}的公差为________．16．[2024·广东省七校联合体高三第一次联考]已知椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝eq\f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(12分)[2024·安徽省示范中学名校高三联考]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知10b2cosB＝6abcosC＋3(b2＋c2－a2)．(1)求cosB；(2)若AB＝2，D为BC边上的点，且BD＝2DC，∠ADC＝eq\f(5π,6)，求△ADC的面积．18.(12分)[2024·长沙市四校高三年级模拟考试]如图，四棱锥E­ABCD的侧棱DE与四棱锥F­ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3，AD＝4，AE＝5，AF＝3eq\r(2).(1)证明：DF∥平面BCE；(2)求A到平面BEDF的距离，并求四棱锥A­BEDF的体积．19．(12分)[2024·河北张家口阶段测试]已知函数f(x)＝lnx＋ax2－bx.(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值ln2－eq\f(1,2)，求a，b的值；(2)当a＝－eq\f(1,8)时，函数g(x)＝f(x)＋bx＋b在区间[1,3]上的最小值为1，求g(x)在该区间上的最大值．20．(12分)[2024·唐山市高三年级摸底考试]某音乐院校实行“校内之星”评比活动，评委由本校全体学生组成，随机调查了20个学生对A，B两位选手的评分，得到下面的茎叶图：(1)通过茎叶图比较A，B两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出详细值，得出结论即可)；(2)举办方将会依据评分结果对选手进行三向分流：所得分数低于60分60分到79分不低于80分分流方向淘汰出局复赛待选干脆晋级依据所得分数，估计A，B两位选手中哪位选手干脆晋级的概率更大，并说明理由．21．(12分)[2024·山西省六校高三第一次阶段性测试]已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为e，点(1，e)在椭圆E上，点A(a,0)，B(0，b)，三角形OAB的面积为eq\f(3,2)，O为坐标原点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1k2＝－eq\f(1,9)，证明三角形OMN的面积是定值，并求此定值．选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)22．(10分)[2024·大同市高三学情调研测试试题]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t,y＝－4＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点．(1)写出直线l的一般方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．23．(10分)[2024·河南省豫北名校高三质量考评]已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|，g(x)＝x2－8x＋9.(1)当m＝－1时，求不等式f(log2x)<4的解集；(2)若存在x0∈[－m,3](m>－3)，使不等式f(x0)≤g(x0)成立，求实数m的取值范围．五仿真模拟专练仿真模拟专练(一)1．答案：D解析：B＝{x|0<x<2}，A＝{0,1,2,3}，则A∩B＝{1}，故选D.2．答案：A解析：解法一z＝eq\f(1＋i2,1－i2)＝eq\f(2i,－2i)＝－1，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝－1，故选A.解法二z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2＝i2＝－1，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝－1，故选A.3．答案：B解析：当直线m，n都在平面α内时，不能由m⊥n推出n⊥α；若n⊥α，且m⊂α，由线面垂直的性质知m⊥n.所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件，故选B.4．答案：B解析：因为角α与角β均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，所以β＝π－α＋2kπ，k∈Z，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos2α，又sinα＝eq\f(1,3)，所以cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(7,9)，则cos(α－β)＝－eq\f(7,9)，故选B.5．答案：A解析：将原几何体截成一个直三棱柱和两个四棱锥，示意图如图所示．则原几何体的体积V＝eq\f(1,2)×4×4×4＋eq\f(1,3)×(4×2)×4＋eq\f(1,3)×(4×2)×4＝eq\f(160,3).故选A.6．答案：D解析：由题中两图可知C等级所占比例为eq\f(12,10)×20%＝24%，所以C等级及以上级别所占比例为20%＋24%＋46%＝90%，所以C等级及以上级别的学生人数为1000×90%＝900.故选D.7．答案：A解析：如图，在A1C1上取一点D，使A1D＝2DC1，连接AD，DE，结合A1E＝2EB1，知DE∥B1C1.又B1C1∥BC，所以DE∥BC，所以∠AED为异面直线AE与BC所成的角．设AA1＝AB＝3，则A1D＝DE＝A1E＝2，所以AD＝AE＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1D2)＝eq\r(13)，则在等腰三角形ADE中，cos∠AED＝eq\f(\f(1,2)DE,AE)＝eq\f(1,\r(13))＝eq\f(\r(13),13)，故选A.8．答案：B解析：a＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4\f(1,2))＝eq\f(1,2)，b＝＝log23>log22＝1，c＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，且c＝log32<log33＝1，即eq\f(1,2)<c<1，所以a<c<b，故选B.9．答案：B解析：S＝log2eq\f(2,3)＋log2eq\f(3,4)＋log2eq\f(4,5)＋…＋log2eq\f(n＋1,n＋2)＝log2eq\f(2,n＋2)，当log2eq\f(2,n＋2)＝－2时，n＝6，n＝n＋1＝7时，S<－2，此时n＝n＋1＝8，故选B.10．答案：C解析：由题意知a12>0，a13＝0，所以26－13t＝0，解得t＝2，所以an＝26－2n，由Sk＝eq\f(k24＋26－2k,2)＝150，解得k＝10或k＝15，故选C.11．答案：D解析：由表中数据，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(15.1＋16.3＋17.0＋17.2＋18.4,5)＝16.8.因为回来直线过样本点的中心，所以16.8＝0.75×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝13.8，所以回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋13.8，所以该公司7月份这种型号产品的销售额为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元)，故选D.12．答案：D解析：因为当x>0时，f′(x)lnx<－eq\f(1,x)f(x)，所以f′(x)lnx＋eq\f(1,x)f(x)<0，令g(x)＝f(x)lnx，则g′(x)＝f′(x)lnx＋eq\f(1,x)f(x)<0在x>0时恒成立，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，g(x)>0，又lnx<0，所以f(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，又lnx>0，所以f(x)<0.由f′(x)lnx<－eq\f(1,x)f(x)，令x＝1，得0<－f(1)，所以f(1)<0.综上可知，当x>0时，f(x)<0.又f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)>0，当x＝0时，f(0)＝0.则不等式(x2－1)f(x)>0转化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1>0fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1<0fx<0))，得x<－1或0<x<1，故选D.13．答案：3解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋3y＝0并平移，可知当直线过点A(0,1)时，z取得最小值，最小值为3.14．答案：－2解析：由题意知a＋b＝(3，－1＋λ)，∵(a＋b)⊥c，∴3λ＋2－2λ＝0，∴λ＝－2.15．答案：3解析：通解设{an}的公差为d.因为a4＋a5＝25，S6＝57，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋7d＝256a1＋15d＝57))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2d＝3))，所以{an}的公差为3.优解设{an}的公差为d，因为S6＝eq\f(6a1＋a6,2)＝3(a3＋a4)＝57，所以a3＋a4＝19.a4＋a5－(a3＋a4)＝2d＝25－19＝6，所以d＝3.16．答案：eq\f(\r(3),2)解析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则y＝eq\f(\r(2),4)x，由|AB|＝2c，可知|OA|＝eq\r(x2＋y2)＝c(O为坐标原点)，即eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)x))2)＝c，解得x＝eq\f(2\r(2),3)c，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)c，\f(1,3)c))，把点A坐标代入椭圆方程得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)c))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)c))2,b2)＝1，又a2＝b2＋c2，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0<e<1，所以e＝eq\f(\r(3),2).17．解析：(1)由10b2cosB＝6abcosC＋3(b2＋c2－a2)，得10cb2cosB＝6abccosC＋3c(b2＋c2－a2即5bcosB＝3acosC＋eq\f(3cb2＋c2－a2,2bc)，所以5bcosB＝3acosC＋3ccosA.所以5sinBcosB＝3sinAcosC＋3sinCcosA.所以5sinBcosB＝3sin(A＋C)＝3sinB.又sinB≠0，所以cosB＝eq\f(3,5).(2)由(1)得sinB＝eq\f(4,5)，所以eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(AD,\f(4,5))＝eq\f(2,\f(1,2))，得AD＝eq\f(16,5).又sin∠BAD＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))＝eq\f(3＋4\r(3),10)，所以S△ABD＝eq\f(1,2)AB·AD·sin∠BAD＝eq\f(24＋32\r(3),25).所以S△ADC＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(12＋16\r(3),25).18．解析：(1)∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD.∵AD＝4，AE＝5∴DE＝3.同理可得BF＝3.又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∴BF∥DE.又BF＝DE，∴四边形BEDF为平行四边形，∴DF∥BE.∵BE⊂平面BCE，DF⊄平面BCE，∴DF∥平面BCE.(2)如图，连接BD，过A作AH⊥BD，垂足为H，∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AH，又DE∩BD＝D，∴AH⊥平面BEDF.∵AD⊥AB，∴BD＝5，∴AH＝eq\f(12,5)，即点A到平面BEDF的距离为eq\f(12,5).由(1)知BF＝3.∵BF⊥平面ABCD，∴BD⊥BF，∴四边形BEDF的面积为3×5＝15，故V四棱锥A­BEDF＝eq\f(1,3)×15×eq\f(12,5)＝12.19．解析：(1)依题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，对f(x)求导，得f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax－b.由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′2＝\f(1,2)＋4a－b＝0，f2＝ln2＋4a－2b＝ln2－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，b＝0，))所以f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(x,4)＝eq\f(4－x2,4x)＝eq\f(2－x2＋x,4x)(x>0)，可知f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，满意f(x)在x＝2处取得极值，所以a＝－eq\f(1,8)，b＝0.(2)当a＝－eq\f(1,8)时，g(x)＝lnx－eq\f(1,8)x2＋b.对g(x)求导，得g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(x,4)＝eq\f(4－x2,4x)＝eq\f(2－x2＋x,4x).当x∈[1,2)时，g′(x)>0，当x∈(2,3]时，g′(x)<0，所以g(x)在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减，在区间[1,3]上，g(x)max＝g(2)＝ln2－eq\f(1,2)＋b.又g(1)＝－eq\f(1,8)＋b，g(3)＝ln3－eq\f(9,8)＋b，g(3)－g(1)＝ln3－1>0，所以g(x)min＝g(1)＝－eq\f(1,8)＋b＝1，解得b＝eq\f(9,8)，所以g(2)＝ln2＋eq\f(5,8).于是函数g(x)在区间[1,3]上的最大值为g(2)＝ln2＋eq\f(5,8).20．解析：(1)通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散．(2)A选手干脆晋级的概率更大．用CA表示事务“A选手干脆晋级”，CB表示事务“B选手干脆晋级”．由茎叶图得P(CA)的估计值为(5＋3)÷20＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(CB)的估计值为(5＋2)÷20＝eq\f(7,20)，所以，A选手干脆晋级的概率更大．21．解析：(1)依据点(1，e)在椭圆E上以及e＝eq\f(c,a)，c2＝a2－b2，得eq\f(1,a2)＋eq\f(e2,b2)＝1，eq\f(1,a2)＋eq\f(c2,a2b2)＝1，eq\f(1,a2)＋eq\f(a2－b2,a2b2)＝1，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)－eq\f(1,a2)＝1，所以b2＝1，b＝1.因为A(a,0)，B(0，b)，三角形OAB的面积为eq\f(3,2)，所以eq\f(1,2)ab＝eq\f(3,2)，所以a＝3，因此椭圆E的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，设直线l：x＝t(－3＜t＜3且t≠0)，代入eq\f(x2,9)＋y2＝1，得y2＝1－eq\f(t2,9)，则k1k2＝eq\f(\r(1－\f(t2,9)),t)×eq\f(－\r(1－\f(t2,9)),t)＝－eq\f(1－\f(t2,9),t2)＝－eq\f(1,9)，所以t2＝eq\f(9,2)，则三角形OMN的面积S△OMN＝eq\f(1,2)×2eq\r(1－\f(t2,9))×|t|＝eq\f(3,2).当直线l的斜率存在时，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，代入eq\f(x2,9)＋y2＝1，得(9k2＋1)x2＋18kmx＋9m2－9＝0，Δ＝(18km)2－4(9k2＋1)(9m2－9)＝36(9k2－则x1＋x2＝－eq\f(18km,9k2＋1)，x1x2＝eq\f(9m2－9,9k2＋1)，k1k2＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(kx1＋mkx2＋m,x1x2)＝eq\f(－9k2＋m2,9m2－9)＝－eq\f(1,9)，所以9k2＋1＝2m2，满意|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(6\r(1＋k2)\r(9k2－m2＋1),9k2＋1)，又原点O到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))，所以三角形OMN的面积S△OMN＝eq\f(1,2)×|MN|×d＝eq\f(1,2)×eq\f(6\r(1＋k2)\r(9k2－m2＋1),9k2＋1)×eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝eq\f(3|m|\r(2m2－m2),2m2)＝eq\f(3,2)，即△OMN的面积为定值．综上，三角形OMN的面积为定值，定值为eq\f(3,2).22．解析：(1)由直线l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t