2024-2025学年高中数学模块提升卷A含解析北师大版必修2

PAGE模块提升卷(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用随意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体肯定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满意随意截面都是圆面．答案：C2．已知直线x－eq\r(3)y－2＝0，则该直线的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：直线x－eq\r(3)y－2＝0的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故倾斜角为30°，故选A.答案：A3．点P(2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4，则m的值为()A．1B．－3C．1或eq\f(5,3)D．－3或eq\f(17,3)解析：利用点到直线的距离公式．答案：D4．已知0<r<eq\r(2)＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)，两圆的圆心距离|OO′|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2).明显有|r－eq\r(2)|<eq\r(2)<eq\r(2)＋r.所以两圆相交．答案：B5．(2024·中山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A.eq\f(4\r(3),3)πB.eq\f(1,2)πC.eq\f(\r(3),3)πD.eq\f(\r(3),6)π解析：由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆锥的半径为1，高为eq\r(3)，故所求体积为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6)π，故选D.答案：D6．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1或－1B．2或－2C．1D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得eq\f(|1＋a＋0＋1|,\r(1＋a2＋1))＝1，即|a＋2|＝eq\r(a＋12＋1)，平方整理得a＝－1，故选D.答案：D7．(2024·银川一中期末)在空间给出下面四个命题(其中m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)：①m⊥α，n∥α⇒m⊥n②m∥n，n∥α⇒m∥α③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β④m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β.其中正确的命题个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：②中m也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C.答案：C8．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，故选C.答案：C9．(2024·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝0解析：直线x－2y＋3＝0的斜率为eq\f(1,2)，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D.答案：D10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两相互垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．故选A.答案：A11．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径为R＝OA＝eq\r(62＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(13,2).答案：C12．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A．[－eq\r(3)，eq\r(3)]B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))解析：设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，因为直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，所以圆心到直线的距离d小于或等于半径，∴d＝eq\f(|2k－4k|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若直线(m＋1)x－y－(m＋5)＝0与直线2x－my－6＝0平行，则m＝________.解析：由题意知：m＋1＝eq\f(2,m)，解得：m＝1或－2.当m＝1时，两直线方程为2x－y－6＝0，两直线重合；当m＝－2时，直线为x＋y＋3＝0，x＋y－3＝0，两直线平行．答案：－214．设四棱台的上下底面都是正方形，侧面是全等的等腰梯形，且棱台的上、下底面边长与高之比为142，体积为14cm3，解析：设上底边长为xcm，则下底边长为4xcm，高为2xcm，由题意知：14＝eq\f(1,3)(x2＋4x2＋16x2)×2x，解得：x＝1，即上底边长为1cm，则下底边长为4cm，高为则每个侧面都是上底边长为1cm，下底边长为4cm，高为eq\f(5,2)cm的等腰梯形，侧面积为4×eq\f(1,2)×(1＋4)×eq\f(5,2)＝25cm2，全面积为25＋1＋16＝42cm2答案：42cm15．已知圆C1：x2＋y2＝m与圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0相切，则实数m的值为________．解析：圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝62.若两圆内切，则|C1C2|＝|r1－r2|，即eq\r(32＋－42)＝|6－eq\r(m)|，所以|6－eq\r(m)|＝5，所以eq\r(m)＝1或11，所以m＝1或121.若两圆外切，则|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(32＋－42)＝6＋eq\r(m)，解得eq\r(m)＝－1(舍去)．综上，m的值为1或121.答案：1或12116．从圆Q：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为________．解析：圆心Q(1,1)，半径为1，∴切线长l＝eq\r(|PQ|2－12)＝eq\r(2－12＋3－12－1)＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2024·河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．解析：如图所示，作出轴截面，因为△ABC是正三角形，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝2，所以AC＝4，AD＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3).因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).设OE＝R，则AO＝2eq\r(3)－R，所以eq\f(R,2\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，所以R＝eq\f(2\r(3),3).所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3＝eq\f(32\r(3)π,27)，所以球的体积等于eq\f(32\r(3)π,27).18．(12分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3eq\r(2)，求直线l的方程．解析：(1)当所求直线过坐标原点时，设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式可得3eq\r(2)＝eq\f(|4k－3|,\r(1＋k2))，解得k＝－6±eq\f(3,2)eq\r(14).故所求直线的方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6±\f(3,2)\r(14)))x.(2)当直线不经过坐标原点时，设所求方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，则x＋y－a＝0.由题意可得eq\f(|4＋3－a|,\r(2))＝3eq\r(2)，解得a＝1或a＝13.故所求直线的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.综上可知，所求直线的方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6＋\f(3\r(14),2)))x或y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6－\f(3\r(14),2)))x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.19．(12分)如图所示，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝eq\r(2)，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．证明：(1)EF∥A1D1；(2)BA1⊥平面B1C1证明：(1)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1又因为平面B1C1EF∩平面A1D1所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.(2)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1，又因为B1C1⊥B所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝eq\f(\r(2),2)，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F，所以BA1⊥平面B1C20．(12分)求圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A(0,1)，与直线x＋y＝1相切的圆的标准方程．解析：因为圆心在直线y＝－2x上，设圆心坐标为(a，－2a)，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2.圆经过点A(0,1)且和直线x＋y＝1相切，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋2a＋12＝r2，,\f(|a－2a－1|,\r(2))＝r，))解得a＝－eq\f(1,3)，r＝eq\f(\r(2),3)，所以圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,3)))2＝eq\f(2,9).21．(12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．(1)推断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．解析：(1)直线l的方程可改写为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，又eq\r(12＋1－12)＝1<eq\r(5)，所以点D在圆C内，则直线l与圆C相交．(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m.又k＝tan120°＝－eq\r(3)，所以m＝－eq\r(3).此时，圆心C(0,1)到直线l：eq\r(3)x＋y－eq\r(3)－1＝0的距离d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(\r(3)2＋12))＝eq\f(\r(3),2)，又圆C的半径r＝eq\r(5)，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(17).22．(12分)如图所示，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1)求证：AB⊥平面VAD；(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的大小．解析：(1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD.∵平面VAD⊥底面ABCD，平面VAD∩底面ABCD