《电子工程制图》课件第2章

第二章正投影的基本知识

2－1正投影法与视图2－2点的投影

2－3直线的投影2－4平面的投影复习思考题

２－１正投影法与视图

一、投影法的概念

在日常生活中，我们常看到这种现象：物体在阳光或灯光照射下，在地面或墙壁上就会产生它们的影子，这种现象称为投影。

劳动人民在长期的生产实践中，经过科学的抽象，找到了物体和影子之间的几何关系，创造了绘制工程图样的方法：投影法。

投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法。１.中心投影法

要得到物体的投影，必须具备3个条件：光线、物体和承受投影的平面。如图2－1所示，△ABC放在平面P和光源S之间，连接SA、SB、SC并延长之，与平面P分别交于a、b、c。平面P称为投影面，点S称为投影中心，直线SAa、SBb、SCc称为投影线，

直线ab、bc、ca分别是直线AB、BC、CA的投影，而△abc就是空间△ABC在平面P上的投影。这种投射线汇交一点的投影方法，称为中心投影法。由中心投影法绘制的图样，不能反映物体的真实形状，但具有较强的立体感，所以，常常用于建筑工程的外形设计，一般工程图样中，不采用中心投影法。

２.平行投影法

若将图2－1中的投影中心S移到无穷远处，则所有的投影线就互相平行，所得的投影△abc就是空间△ABC的平行投影，如图2－2所示。这种投射线互相平行的投影法，叫做平行投影法。

平行投影法又分为斜投影法和正投影法。斜投影法是指投射线倾斜于投影面的投影法，如图2－2(a)所示，所得的投影称为斜投影。正投影法是指投射线垂直于投影面的投影法，如图2－2(b)所示，所得的投影称为正投影。

图2－1中心投影法图2－2平行投影法

(a)斜投影;(b)正投影

用正投影法绘制的工程图样，能够反映物体的真实形状和大小，所以，正投影法在工程图样中被广泛采用。后面讨论的内容就是采用这种投影方法，今后为便于叙述，将“正投影”简称为“投影”。

二、正投影的基本特性

(１)当平面（或直线段）平行于投影面时，它们的投影反映实形，也就是具有真实性,如图2－3所示。

图2－3正投影的真实性

(２)当平面（或直线）与投影面垂直时，它们的投影为一直线（或一个点），也就是具有积聚性,如图2－4所示。

图2－4正投影的积聚性

(３)当平面（或直线段）与投影面倾斜时，它们的投影变小（或变短），但它们的投影与原来的形状相类似，也就是具有类似性,如图2－5所示。

图2－5正投影的类似性三、三视图的形成及其对应关系

(一）三视图的形成

１.三投影面体系的建立

图2－6表达了三个相互垂直的投影面，形成了“三投影面体系”。三个投影面分别为：正立投影面，简称正面或V面;水平投影面，简称水平面或H面;侧立投影面，简称侧面或W面。

两投影面的交线称为投影轴。V面与H面的交线称为OX轴（简称X轴），H面与W面的交线称为OY轴（简称Y轴），V面与W面的交线称为OZ轴（简称Z轴）。3根投影轴交于一点,该点称为原点O。

如图2－7所示，将物体放在三投影面体系中，按正投影法分别向3个投影面投影，即可得到物体的正面投影、水平投影和侧面投影。

图2－6三投影面体系

图2－7物体在三投影面上的投影

在工程制图中，可将人的视线设想成一组平行的投影线，而把物体在投影面上的投影称为视图。由前向后投射所得的视图称为主视图，它反映物体的长度和高度；由上向下投射所得的视图称为俯视图，它反映物体的长度和宽度；由左向右投射所得的视图称为左视图，它反映物体的高度和宽度。

２.三投影面的展开

为了把空间的三个视图展开摊平在一个平面上，规定正面不动，使水平面绕OX轴向下旋转90°，将侧立投影面绕OZ轴向右旋转90°。在旋转过程中，OY轴被分为两处，随H面旋转的用OYH表示，随W面旋转的用OYW表示,如图2－8所示。

展开后的三投影面和三视图的位置如图2－9所示。在实际画图中，只画物体的视图，投影面的边框线和投影轴均省略不画；视图按图2－9(b)的位置配置时，视图名称不必标注。

图2－8三投影面的展开方法

图2－9三视图展开在同一平面上

(a)展开后的三视图;(b)物体的三视图及对应关系

（二）三视图之间的对应关系

１.三视图之间的投影关系

如图2－7所示，三个视图能够反映出物体长、宽、高三个方向的大小。我们将物体平行于OX、OY和OZ的大小，分别称为物体的长度、宽度和高度。根据图2－9三视图展开摊平在同一平面上的图形，可以看出长度、宽度、高度三者之间存在着如下的关系：

主视图与俯视图长度相等,并且对正；

主视图与左视图高度相等,并且平齐；

俯视图与左视图的宽度相等。

“长对正、高平齐、宽相等”的投影关系，无论是对整个物体或物体的局部都是符合的。

２.视图与物体的方位关系

物体对投影面的相对位置确定后，我们沿着主视图的投影方向去观察物体，物体的上、下、左、右、前、后六个方位在三视图中的对应关系如图2－10所示。主视图反映了上、下、左、右的相对位置关系；左视图反映了上、下、前、后的相对位置关系；俯视图反映了前、后、左、右的相对位置关系。从图2－10(b)还可以看出，俯视图的下方及左视图的右方均表示物体的前面；俯视图的上方及左视图的左方均表示物体的后面。

图2－10视图与物体的方位对应关系

２－2点的投影

一、点的单面投影

如图2－11所示，由平面P外一点A向平面P作垂线，垂足为a，a即为空间点A的投影。反之，若已知空间点A的投影a，由于从点a所作的平面P的垂线上所有各点（如点A、A

0等）的投影都位于a，因而就不能唯一确定点A的空间位置。因此，常把物体放在相互垂直的三个投影面体系中，形成三面投影。

图2－11点的单面投影二、点的三面投影

在三投影面体系中，用正投影法将空间点A向三个投影面上投影，如图2－12所示。

作点A的三面投影，就是由点A分别向三个投影面作垂线，在正立投影面上的垂足a′称为点A的正面投影；在水平投影面上的垂足a称为点A的水平投影；在侧立投影面上的垂足a″称为点A的侧面投影。规定空间点用大写字母表示，其正面投影用相应的小写字母加一撇表示，水平投影用相应的小写字母表示，侧面投影用相应的小写字母加两撇表示,如图2－12所示。

图2－12点的三面投影

(a)立体图;(b)投影面展开后;(c)投影图作点A的三面投影，就是由点A分别向三个投影面作垂线，在正立投影面上的垂足a′称为点A的正面投影；在水平投影面上的垂足a称为点A的水平投影；在侧立投影面上的垂足a″称为点A的侧面投影。规定空间点用大写字母表示，其正面投影用相应的小写字母加一撇表示，水平投影用相应的小写字母表示，侧面投影用相应的小写字母加两撇表示,如图2－12所示。

将投影面按图2－8所示的展开方法展开,与V面在同一平面上，即可得点A的三面投影图,如图2－12(b)所示。

由于三个投影面是相互垂直的，因而由点A向三个投影面所作的投影线也必然是相互垂直的。由此可总结出点的投影规律：

(1)点的投影连线垂直于投影轴。即：

(2)点的水平投影到OX轴的距离，等于该点到V面的距离；其正面投影a′到OX轴的距离等于该点到H面的距离；其水平投影到OY轴的距离等于该点到W面的距离。

实际的投影图如图2－12(c)所示。为了作图方便，可作由点O出发的45°的辅助线，的延长线必与这条辅助线交于一点。

三、点的三面投影与空间直角坐标的关系

若将三投影面体系看做直角坐标系，则O是坐标原点，投影轴变成了坐标轴，投影面变成了坐标面，则空间一点A到三个投影面的距离可以用直角坐标(X，Y，Z)表示。反之，也可用点的坐标(X，Y，Z)定出点A的投影(a，a′，a″)的位置。其对应关系是：

点A的X坐标=点A到W面的距离Aa″

点A的Y坐标=点A到V面的距离Aa′

点A的Z坐标=点A到H面的距离Aa因此，点A的水平投影a可由X、Y坐标确定；正面投影a′可由X、Z坐标确定；侧面投影a″可由Y、Z坐标确定。也就是说，有了点A的坐标值(X，Y，Z)后，就可作出它的投影图(a，a′，a″)；反之，若有了点A的投影(a，a′，a″)，也可以确定该点的坐标值。

例1已知空间点A的坐标(20，10，15)，试作其三面投影图。作法如图2－13所示。

图2－13根据点的坐标作点的三面投影图

四、两点的相对位置

两点的相对位置，由两点的投影沿左右、前后、上下三个方向所反映的坐标差来表示，即两点对投影面V、H、W的距离差来确定，如图2－14所示。两点的左右相对位置由两点的X坐标确定，X坐标值大者在左，故A点在B点左方；两点的前后相对位置由两点的Y坐标确定，Y坐标值大者在前，故A点在B点前方；两点的上下相对位置由两点的Z坐标确定，Z坐标值大者在上，故A点在B点上方。

图2－14两点的相对位置

图2－15判断两点的相对位置

例2已知两点A和B的投影图,试判断该两点在空间的相对位置（图2－15）。

解由正面投影或水平投影均可定出点A在点B之右，正面投影反映点的高低位置，可定出点A比点B低，水平投影反映点的前后位置，可定出点A在点B之前。从侧面投影也可定出两点的高低及前后位置。

２－３直线的投影

直线的投影一般仍为直线，在特殊情况下，直线的投影积聚为一点（本书提到的直线是指直线线段）。

一、直线的三面投影

由于两点可决定一条直线，因此，在作直线的投影图时，只要作出直线上任意两点的投影，再将这两点在同一投影面上的投影（即同面投影）分别连接起来，就是直线的三面投影。如图2－16所示，已知直线AB两端点的坐标值，分别作出两端点的三面投影（图2－16(b）)，再作各同面投影的连线即得直线AB的三面投影图（图2－16(c)）。图2－16(a)为其立体图。

图2－16直线的投影

(a)立体图;(b)作直线两端点的投影;(c)连接AB的同面投影

二、直线上点的投影

几何形体在同一投影面上的投影称为同面投影。直线上点的投影，必在直线的同面投影上。如图2－17所示，点M在直线AB上，则必有m落在ab上，m′落在a′b′上，m″落在a″b″上。如果一点的三面投影中有一面投影不在直线的同面投影上，则该点必不在该直线上。

图2－17直线上点的投影

(a)立体图;(b)投影图

三、各种位置直线的投影特性

直线在三投影体系中的位置，相对于投影面可以是平行、垂直或者是倾斜位置。当处于对投影面平行、垂直位置时，称为特殊位置直线；处于对投影面倾斜位置时，称为一般位置直线。直线与投影面之间的夹角称为倾角。

１.一般位置直线

倾斜于三个投影面的直线称为一般位置的直线。如图2－18所示的棱线SA、SB、SC。因为其两端点到同一投影面的坐标差不等于零，所以它的三个投影都倾斜于投影轴，又因为该直线与H、V、W面的夹角都不等于零，所以三个投影都小于空间线段的实长，且与投影轴夹角不反映该直线对投影面的倾角。

由以上分析可得出一般位置直线的投影特性：三个投影均倾斜于投影轴；各投影的长度均小于空间线段的实长；投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。

图2－18三棱锥的立体图

２.投影面平行线

平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线,其分为水平线、正平线、侧平线。表2－1列出了各种投影面平行线的图例及投影特性，它们的共同投影特性是：

(1)直线在所平行的投影面上的投影均反映实长。

(2)另外两面投影平行于相应的投影轴。

表2－1投影面平行线的投影特性

３.投影面垂直线

垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线,其分为铅垂线、正垂线、侧垂线。表2－2列出了各种投影面垂直线的图例及投影特性。它们的共同投影特性是：

(1)在与直线垂直的投影面上的投影积聚为一点。

(2)其它两面投影反映该直线实长，且分别垂直于相应的投影轴。

表2－2投影面垂直线的投影特性

２－４平面的投影

一、平面的投影

本节所讨论的平面一般是指平面图形，平面图形的投影一般仍为一类似的平面图形。

图2－19所示是△ABC三面投影的作图过程。从图中可以看出，作图时，一般先画出平面图形各顶点的投影，然后将各顶点的同面投影依次连成直线，即得该平面图形的投影。

图2－19平面的三面投影

二、各种位置平面的投影特性

１.一般位置平面

对三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置平面。图2－18所示的三棱锥的侧面△SAC和△SBC即是一般位置平面。其投影特性为：一般位置平面的三面投影均是小于原来平面图形的类似形。

２.投影面的平行面

平行于一个投影面而垂直于另外两个投影面的平面，称为投影面的平行面,其分为水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。图2－18所示的三棱锥的底面△ABC平行于H面，为一水平面。它们共同的投影特性为：平面图形在所平行的投影面上的投影反映实形。另外两面投影积聚为直线，且平行于相应的投影轴。表2－3列出了各种投影面平行面的投影特性。

表2－3投影面平行面的投影特性

３.投影面的垂直面

垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面，称为投影面的垂直面,其分为铅垂面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）。图2－18所示的三棱锥的侧面△SAB垂直于W面，为一侧垂面。它们的共同投影特性为：平面图形在所垂直的投影面上的投影为一直线，另外两面投影为原图形的类似形。表2－4列出了各种投影面垂直面的投影特性。

表2－4投影面垂直面的投影特性

三、平面上直线和点的投影

１.在平面上取直线

若在平面上作直线，须使直线经过属于该平面的两点，或者使该直线经过属于该平面的一点，且平行于属于该平面的另一条直线。

例2－3已知平面△ABC，试作出属于该平面的任一直线(图2－20)。

图2－20在平面上取直线

作法1在AB直线上任取一点M，其投影分别为m和m′，再在BC直线上任取一点N，其投影分别为n和n′。连接两点的同面投影，由于M、N属于平面△ABC，因而mn