《测试技术与传感器》课件第2章

2.1测量概述

2.2测量数据的估计和处理

2.3不等精度测量的权与误差以及误差的合成与分配

2.4最小二乘法与线性回归分析

思考题与习题2.1测量概述2.1.1测量的概念及测量结果的组成

1.测量的概念以确定量值为目的而进行的实验过程称为测量。测量是人类认识客观世界、获取定量信息的不可或缺的手段。测量的最基本形式是将待测量和同种性质的标准量进行比较，确定待测量对标准量的倍数，即x=nu

(2-1)或

(2-2)式中：x为被测量值；u为标准量，即测量单位；n为比值(纯数)，含有测量误差。

2.测量结果的组成被测量的量值x称为测量结果，包括比值n和测量单位u，是被测量的最佳估计值，而不是真值。所以测量结果中还应包含测量的可信程度，以评价测量结果的质量，这个可信程度可用测量误差表示。因此，测量结果由三部分组成，即测量结果＝测量数据＋测量单位＋测量误差测量结果可以表示为数值、曲线或图形等不同的形式。2.1.2测量方法及其分类获取被测量与标准量的比值的方法，称为测量方法。不同的测量任务需要不同的测量方法。测量方法可以从以下不同的角度分类:按获得测量值的方法分：直接测量、间接测量、组合测量。按测量的精度分：等精度测量、不等精度测量。按测量方式分：偏差式测量、零位式测量、微差式测量。按被测量变化快慢分：静态测量、动态测量。按测量敏感元件是否与被测介质接触分：接触测量、非接触测量。按测量系统是否向被测对象施加能量分：主动式测量、被动式测量。

1.直接测量、间接测量与组合测量

1)直接测量无需经过函数关系的运算，直接通过测量仪表，就能得到被测量的测量结果的测量方法，称为直接测量，即y=x(2-3)式中：x为被测量值；y为直接测得的值；直接测量又可分为两种，即直接比较和间接比较。直接比较是指直接把被测物理量和标准量做比较的测量方法。例如，用米尺进行长度测量。直接比较的显著特点是被测物理量和标准是同一种物理量。间接比较是指把被测物理量通过仪器仪表变换为与之保持已知函数关系的另一种能为人类感官所直接接受的物理量。例如，水银温度计、弹簧秤、弹簧管压力表等。直接比较和间接比较的测量过程都简单、迅速，是比较常用的方法。

2)间接测量间接测量是指在直接测量的基础上，根据已知的函数关系，计算出被测物理量的大小。被测量y是一个直接测量值x或几个直接测量值x1，x2，…，xn的函数，即y=f(x)(2-4)或y=f(x1，x2，…，xn)(2-5)

间接测量程序较多，花费时间较长，一般用在直接测量不方便，或者缺乏直接测量手段的场合，例如电功率的测量，先测量电压U和电流I，再求功率P=UI。

3)组合测量组合测量是指被测量的最后结果必须经过求解联立方程组才能得到的测量，即

(2-6)式中：x1，x2，…，xn为测量值；y1，y2，…，ym为被测量，且n＞m(用最小二乘法求解)。组合测量方法精度高，是一种特殊的精密测量方法，但操作复杂、费时，多用于科学实验或特殊场合。

2.等精度测量与不等精度测量

1)等精度测量等精度测量是指在测量过程中，影响误差大小的全部测量条件始终不变，如同一测量者，用相同的仪表与测量方法，在同样的环境条件下，对同一被测量进行的多次重复测量。实际应用中，很难保证测量条件始终不变，只能进行近似的等精度测量。

2)不等精度测量不等精度测量是指在不同的测量条件下，如用不同精度的仪表或不同的测量方法，或以不同的测量次数，或在环境条件相差很大时，或由不同的测量者，对同一被测量进行的多次重复测量。不等精度测量多用于科学研究中的对比测量。

3.偏差式测量、零位式测量与微差式测量

1)偏差式测量偏差式测量是指用仪表指针的位移决定被测量的量值的测量方法。其中，仪表刻度需事先用标准器具标定。偏差式测量测量过程简单、迅速，但测量结果精度较低。例如指针式万用表、弹簧秤等。

2)零位式测量零位式测量是指用指零仪表的零位指示检测测量系统的平衡状态，当测量系统达到平衡状态时，用已知的标准量决定被测量的量值的测量方法。例如天平、电位差计等。零位式测量有较高的测量精度，但测量过程复杂、费时，多适用于信号变化缓慢的场合。

3)微差式测量微差式测量是指将被测量与已知的标准量相比较，取得差值后，再用偏差法测得该差值的测量方法。设N为标准量，x为被测量，Δ为二者之差，则x=N＋Δ

因为N是标准量，其误差很小，且Δ<<N，故:

(1)先用零位式测量方法进行比较测量，测得N；

(2)再选用高灵敏度的偏差式仪表测量Δ；

(3)虽然Δ的精度较低，但N是标准量，Δ<<x，故最终测量精度很高。微差式测量反应速度快，测量精度高，综合了偏差式测量与零位式测量的优点，但测量过程复杂，适于在线控制参数的测量。

4.静态测量与动态测量

1)静态测量静态测量是指在测量过程中，对固定不变或变化缓慢的被测量进行的测量。静态测量可不考虑时间因素的影响，只检测稳态值。

2)动态测量动态测量是指在测量过程中，对随时间不断变化的被测量进行的测量。动态测量时，被测量变化速度快，需检测其动态值。

5.接触测量与非接触测量

1)接触测量接触测量是指传感器和被测对象直接接触而进行的测量。如水银温度计测温、称重等。

2)非接触测量非接触测量是指传感器和被测对象不直接接触而进行的测量。如红外测温、码盘测速等。

6.主动式测量与被动式测量

1)主动式测量主动式测量是指测量系统向被测对象施加能量而进行的测量。

2)被动式测量被动式测量是指测量系统无需向被测对象施加能量而进行的测量。2.1.3测量误差分类测量误差是指测量值与真实值之间的差值，反映测量质量的好坏。任何测量过程都存在误差，而且贯穿于测量过程的始终。因此在测量时不仅需要知道测量值，还需要知道测量值的误差范围。只有通过正确的误差分析，明确哪些量对测量结果影响大，哪些影响小，才能抓住关键因素，减小误差对测量结果的影响，增加测量的可靠性。

不同场合对测量结果可靠性的要求不同。测量结果的准确程度应与测量的目的及要求相适应，要有合理的性价比。例如，在量值传递、经济核算、产品检验等场合应保证测量结果的准确度；当测量值用做控制信号时，则要保证测量的稳定性和可靠性。造成误差的主要原因在于传感器本身性能不良，测量方法不完善，存在环境干扰等。测量误差的分类方法如图2-1所示。图2-1测量误差的分类

1.按误差表示方法分类

1)绝对误差绝对误差是示值与被测量真值之间的差值，可表示为Δ=x－L(2-7)式中：Δ为绝对误差；x为测量值；L为被测量真值。绝对误差用来修正测量结果x′，有x′=x+C(2-8)式中：C为修正值，C=－Δ。值得注意的是，绝对误差不能真实反映测量结果的优劣。

2)相对误差相对误差是指绝对误差与被测量的约定值之比，主要表示形式有实际相对误差、示值(标称)相对误差、引用误差和分贝误差。

(1)实际相对误差：实际相对误差是指绝对误差与被测量真值的百分比，表示为

(2-9)式中：δ为实际相对误差；Δ为绝对误差；L为被测量真值。

(2)示值(标称)相对误差：示值(标称)相对误差是指绝对误差与器具的示值(测量值)的百分比，表示为

(2-10)式中：δ′为示值相对误差；Δ为绝对误差；x

为测量值，用以代替真值。

(3)引用误差:引用误差是指绝对误差与器具的满度值(量程)的百分比，表示为

(2-11)式中：γ为引用误差；Δ为绝对误差；xm为满度值。引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法，常用来确定仪表的精度等级。例如:0.5级仪表的引用误差小于等于±0.5%；1.0级仪表的引用误差小于等于±1%。

(4)分贝误差:分贝误差是指用对数形式表示的一种误差。

3)基本误差基本误差是指仪表在规定的标准条件下所具有的误差。通常，仪表规定的标准条件是:电源电压为(220±5)V；电网频率为(50±2)Hz；环境温度为(20±5)℃；环境湿度为65%±5%。在该条件下仪表工作时所具有的误差即为基本误差。仪表精度等级由基本误差决定。

4)附加误差附加误差是指当仪表的使用条件偏离额定条件时出现的误差，例如温度附加误差等。

5)容许误差容许误差是指测量仪器在规定的使用条件下可能产生的最大误差范围。

2.按误差性质分类

1)随机误差随机误差是指对同一被测量进行多次重复测量时，误差的绝对值和符号不可预知地随机变化，但总体上服从一定的统计规律的误差。

误差的大小是测量结果与在重复性条件下、对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。重复性条件指同一观测者、相同的测量条件、相同的仪器和短时间内的重复。随机误差表达式为

(2-12)式中：xi为被测量的某一个测量值；即。随机误差主要由一些难以控制的微小因素产生，如电场、磁场、温度、湿度、气压的波动等。随机误差不能用简单的修正值来修正，要用统计的方法计算它出现的可能性。

2)系统误差系统误差是指在同一测量条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，按照一定规律出现的误差。系统误差的大小是在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差，其表达式为

(2-13)式中:L为被测量的真值。系统误差的主要特点是只要测量条件不变，误差即为确定的值。产生系统误差的主要原因包括标准量值不准、仪表刻度不准、测量方法不妥、零点未调、采用近似公式、经验不足等。系统误差可用修正值来修正，但由于真值不确知，因此系统误差只能有限度地补偿。

3)粗大误差粗大误差是指明显偏离测量结果的误差，又称为疏忽误差。产生粗大误差的主要原因是测量者疏忽大意以及环境条件突变等。含有粗大误差的测量结果明显不符合客观事实，测量值中往往含有坏值或奇异值，因此在做误差分析时，应先剔除粗大误差。

例2-1

某电压表的精度等级S为1.5级，试算出它在0～100V量程的最大绝对误差。

解：电压表的量程为xm=100V-0V=100V

因为精度等级S=1.5，即引用误差为γ＝±1.5％故可求得最大绝对误差为

Δm=γ×xm=100V×(±1.5％)=±1.5V即该电压表在0～100V量程的最大绝对误差是±1.5V。

例2-2

某1.0级电流表，满度值xm=100μA，求测量值分别为x1=100μA，x2=80μA，x3=20μA时的绝对误差和示值相对误差。

解：因为精度等级S=1.0，即引用误差为γ＝±1.0％所以可求得最大绝对误差为

Δm=γ×xm=100μA×(±1.0％)=±1.0μA依据误差的整量化原则，仪器在同一量程的各示值处的绝对误差均等于Δm。故三个测量值处的绝对误差分别为

Δx1=Δx2=Δx3=Δm=±1.0μA三个测量值处的示值(标称)相对误差分别为

分析：测量仪器在同一量程不同示值处的绝对误差不一定处处相等，但对使用者来讲，在没有修正值可以利用的情况下，只能按最坏的情况处理，于是就有了误差的整量化处理原则。因此，为减小测量中的示值误差，在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般示值不小于满度值的2/3。

例2-3

要测量100℃的温度，现有0.5级、测量范围为0～300℃和1.0级、测量范围为0～100℃的两种温度计，试分析它们各自产生的示值误差，问选用哪一个温度计更合适？

解：(1)对于0.5级温度计，可能产生的最大绝对值误差为

按照误差整量化原则，认为该量程内的绝对误差为

所以示值相对误差为

(2)对于1.0级温度计，可能产生的最大绝对值误差为

按照误差整量化原则，认为该量程内的绝对误差为

所以示值相对误差为

(3)结论：用1.0级小量程的温度计测量所产生的示值相对误差比选用0.5级的较大量程的温度计测量所产生的示值相对误差小，因此选用1.0级小量程的温度计更合适。2.2测量数据的估计和处理2.2.1随机误差分析随机误差分析是指当多次等精度测量时产生的随机误差及测量值服从统计学规律时，利用概率统计的一些基本结论，研究随机误差的表征及含有随机误差的测量数据的处理方法。随机误差处理的目的是:求出最接近真值的值，即真值的最佳估计；对数据精密度的高低(即可信赖的程度)进行评定并给出测量结果。

1.随机误差的正态分布曲线就单次测量而言，随机误差是偶然因素造成的，无规律可循，但当测量次数足够多时，随机误差总体服从统计规律。随机误差的概率分布有多种类型，如正态分布、均匀分布、t分布、反正弦分布、梯形分布和三角分布等。由于大多数随机误差服从正态分布，因此用正态分布理论研究随机误差。对某一被测量进行多次重复测量，设测量值为xi，被测量真值为L，则测量列中的随机误差δi为δi=xi-Li=1，2，…，n

(2-14)当测量次数n足够大时，测量误差服从正态分布规律。概率分布密度函数为

(2-15)

(2-16)式中：y为概率密度；x为测量值(随机变量)；σ为均方根偏差(标准误差)；L为真值(随机变量x的数学期望)；δ为随机误差(随机变量)，δ=x-L。正态分布曲线如图2-2所示，是一条钟形曲线。可见，随机变量在x=L或δ=0附近区域内具有最大概率。图2-2正态分布曲线随机误差具有以下特征:

(1)单峰性:绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值大的随机误差出现的概率。测量值在其期望值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。

(2)有界性:随机误差的绝对值不会超出一定界限。

(3)对称性或抵偿性:测量次数n足够大时，绝对值相等、符号相反的随机误差出现的概率相等。

2.随机误差的数字特征

1)算术平均值x在实际测量时，真值L不可能得到，但随机误差服从正态分布，算术平均值处随机误差的概率密度最大，即算术平均值与被测量的真值最接近，且测量次数越多就越接近。因此测量结果的算术平均值最可信赖，它可以作为等精度多次测量的结果，是被测量的最佳估计值。如果进行无限多次测量，由于随机误差的抵偿性，随机误差对测量结果无影响，或其影响可以忽略。设对被测量进行等精度的n次测量，有n个测量值x1，x2，…，xn，则它们的算术平均值为

(2-17)算术平均值反映了随机误差的分布中心。由于真值不可知，代以算术平均值而求得的误差称为残余误差，简称残差，即

(2-18)

2)标准偏差σ标准偏差又称标准误差、均方根误差或均方根偏差，简称标准差，可由下式求取:(2-19)式中：σ为标准偏差；xi为第i次测量值；L为真值；n为测量次数，n→∞。标准偏差反映了随机误差的分布范围，描述测量数据和测量结果的精度。均方根偏差愈大，测量数据的分散性也愈大。图2-3所示为不同σ下随机误差的正态分布曲线。可见，σ愈小，分布曲线愈陡峭，说明随机变量的分散性愈小，测量精度愈高；反之，σ愈大，分布曲线愈平坦，随机变量的分散性愈大，精度也愈低。图2-3不同σ下随机误差的正态分布曲线

3)标准偏差的估计值σs

标准偏差的估计值σs是指用残余误差计算的均方根偏差。在实际测量中，因为测量次数是有限次，因此，用算术平均值代替真值，用标准差的估计值表征有限次的测量值(随机误差)的分散性。标准偏差的估计值又称为样本标准差，用下式计算:(2-20)式中：xi为第i次测量值；为n次测量值的算术平均值；νi为残余误差，即νi=xi-。另外，在有限次测量时，算术平均值不可能等于被测量的真值L，它也是随机变动的。设对被测量进行m组的多次测量，各组所得的算术平均值分别为，则算术平均值的可靠性由算术平均值的标准差来评定。它与标准偏差的估计值σs的关系如下:(2-21)

与n的关系曲线如图2-4所示。可见，算术平均值的标准差随测量次数n的增大而减小。但从图2-4可看出，当n>10时，算术平均值的标准差随测量次数n的增大而缓慢减小。因此，不能单靠增加测量次数来提高测量精度，实际上，测量次数越多，越难保证测量条件的稳定，这会带来新的误差。图2-4算术平均值的标准差与n的关系曲线

3.正态分布随机误差的概率计算符合正态分布的随机变量，其概率为曲线所覆盖的面积。

(1)全概率：全概率的计算公式为

(2-22)

(2)区间概率:在区间(a，b)上的概率为通常，区间表示成σ的倍数kσ。取对称的区间(-kσ，+kσ)，则以残差表示有

(2-23)式中：k为置信系数；Pa为置信概率，亦即区间概率；±kσ为误差限。典型的k值及其相应的概率如表2-1所示。从表中可看出：当k=±1时，Pa=0.6827，测量结果中随机误差出现在-σ～+σ范围内的概率为68.27%，即|ν|>σ的概率为31.73%；出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%,说明误差绝对值大于3σ几乎不可能，通常该误差称为极限误差，表示为σlim＝±3σ。于是，测量结果可表示为

(2-24)或

(2-25)

例2-4

有一组测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，设这些测量值已消除系统误差和粗大误差，求测量结果。

解：将测量值列于表2-2中。由表中的数据得则测量结果为x=237.52±0.09(Pa=0.6827)或x=237.52±3×0.09=237.52±0.27(Pa=0.9973)2.2.2系统误差分析

1.系统误差的判断系统误差判断方法主要有理论分析法、实验比较法、残差观察法以及准则检测法。

1)理论分析法理论分析法针对测量方法、测量理论所引入的误差，通过定性、定量分析来确定误差。如用内阻不高的电压表测量高内阻的电源电压所造成的系统误差。

2)实验对比法实验对比法针对测量条件所引入的误差，通过进行不同条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用于发现固定的系统误差。如更换测量仪表，用精度更高一级的测量仪表测量；更换测量人员、测量环境等。

3)残差观察法残差观察法是根据残余误差的变化规律，判断系统误差的有无、类型以及大小等，如图2-5所示。图2-5残余误差曲线从图2-5可以看出:图(a)中，残余误差基本上正负相同，无明显的变化规律，“无系统误差”；图(b)中，残余误差线性递增，存在累进性系统误差；图(c)中，残余误差的大小、符号呈周期性变化，存在周期性系统误差；图(d)中，残余误差周期性递增，同时存在累进性系统误差和周期性系统误差。

4)准则检测法

(1)马利科夫判据:将残余误差按测量次序均分为前后两组，若前组和与后组和之差明显不为零，则可能含有线性系统误差。

(2)阿贝检验法:检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离，则可能存在变化的系统误差。将测量值的残余误差按测量顺序排列，且设

(2-26)(2-27)若

(2-28)则可能含有变化的系统误差。

2.系统误差的消除

(1)消除系统误差产生的根源。找出误差根源，明确产生误差的因素，采取相应措施修正或消除。可从以下几方面考虑:①检查传感器和测量仪表的安装、调试、放置是否合理，如仪表是否在水平位置、安装时是否偏心等；②测量方法是否完善，如用电压表测量电压，电压表的内阻的影响等；③传感器或仪表是否准确可靠，如灵敏度不足、刻度不准、放大器与变换器的性能存在优劣等；④环境条件是否符合要求，如环境温度、湿度、气压等的变化会引起误差等；⑤测量者的操作是否正确，如读数时的视差、视力疲劳等会引起系统误差等。

(2)在测量结果中进行修正。①恒值系统误差，可用修正值对测量结果进行修正；②变值系统误差，可找出误差的变化规律，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正；③未知系统误差，可按随机误差进行处理。

(3)在测量系统中采用补偿措施。找出系统误差的规律，在测量过程中自动消除系统误差。如用热电偶测温时，采用冷端补偿法，进行自动补偿；用热电阻测温时，对环境温度进行实时反馈修正。2.2.3粗大误差剔除数据处理之前，应首先依照一定的准则，剔除粗大误差。常用的准则有3σ准则、肖维勒准则以及格拉布斯准则。

1.

3σ准则

3σ准则又称莱以达准则，当某个测量值的残差的绝对值|νi|>3σ(极限误差)时，则剔除。

2.肖维勒准则当某个测量值的残差的绝对值|νi|>Zcσ时，则剔除。实用中Zc<3，Zc的取值如表2-3所示。

3.格拉布斯准则当某测量值的残差的绝对值|νi|＞Gσ时，则剔除。G值与测量次数n和置信概率Pa有关，如表2-4所示。注意:以上准则以数据呈正态分布为前提，当偏离正态分布或测量次数很少时，判断的可靠性就降低。重要的是提高工作人员的技术水平和责任心，保证测量条件稳定，防止环境条件发生剧变。

例2-5

对某一电压进行12次等精度测量，测量值如表2-5所示，若这些测量值已消除系统误差，试判断有无粗大误差，并写出测量结果。

解：(1)求算术平均值及标准差估计值:

(2)判断有无粗大误差:因测量次数不多，采用格拉布斯准则。测量次数n＝12，取置信概率Pa＝0.95，查表2-4，可得系数G＝2.28，则G·σs=2.28×0.032=0.073<|ν6|故剔除U6。

(3)剔除粗大误差后的算术平均值及标准差估计值如下:重新判断粗大误差：测量次数n＝11，取置信概率Pa＝0.95，查表2-4，可得系数G＝2.23,则G·σs=2.23×0.0145=0.032大于所有|νi2|，故无粗大误差。

(4)计算算术平均值的标准差:

(5)测量结果如下：2.3不等精度测量的权与误差以及误差的合成与分配2.3.1不等精度测量的权与误差

1.权的概念一被测量的m组测量结果及其误差不能同等看待，各组具有不同的可靠性，即可信赖程度，这种可信赖程度的大小称为“权”。测量次数多，测量方法完善，测量仪表精度高，测量的环境条件好，测量人员的水平高，则测量结果可靠，其权也大。权用符号p表示，有两种计算方法:

(1)用各组测量列的测量次数n的比值表示，并取测量次数较小的测量列的权为1，则有p1∶p2∶…∶pm=n1∶n2∶…∶nm(2-29)

(2)用各组测量列的误差平方的倒数的比值表示，并取误差较大的测量列的权为1，则有

(2-30)权只表示相对可靠度，无量纲，故实际计算时，通常令最小的权数为1，以化简。

2.加权算术平均值对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量列的算术平均值为，相应各组的权分别为p1，p2，…，pm，则加权平均值可用下式表示:(2-31)

3.加权算术平均值的标准误差加权算术平均值可作为不等精度测量结果的最佳估计，此时其精度也由加权算术平均值的标准差来表示:(2-32)式中，。

例2-6

用三种不同的方法测量某电感量，三种方法测得各平均值与标准差为求电感的加权算术平均值及其加权算术平均值的标准差。

解:

令p3=1，则加权算术平均值为加权算术平均值的标准差为2.3.2误差的合成与分配

1.测量误差的合成

1)系统误差的合成设系统总输出与各环节之间的函数关系为y=f(x1，x2，…，xn)，各环节定值系统误差分别为Δx1，Δx2，…，Δxn。系统误差一般均很小，其误差可用微分来表示，故其合成表达式为

(2-33)实际计算误差时，式(2-33)中的微分项以各环节的定值系统误差Δx1，Δx2，…，Δxn代替，即

(2-34)

2)随机误差的合成设测量系统或传感器的n个环节的均方根偏差为，则随机误差的合成为

(2-35)

若有线性函数y=f(x1，x2，…，xn)，即y=a1x1+a2x2+…+anxn，则

(2-36)如果a1=a2=…=an=1，则

(2-37)

3)总合成误差设测量系统或传感器的系统误差和随机误差均相互独立，则总的合成误差ε可表示为ε=Δy+σy(2-38)

例2-7

用手动平衡电桥测量电阻R

x(如图2-6所示)。已知R1=100Ω，R2=1000Ω，RN=100Ω,各桥臂电阻的恒值系统误差为ΔR1=0.1Ω，ΔR2=0.5Ω，ΔRN=0.1Ω。求消除恒值系统误差后的Rx值。图2-6测量电阻Rx的平衡电桥原理图解：被测电阻Rx变化时，调节可变电阻，使电桥平衡，即使检流计显示的电流为0。于是有R1·RN＝R2·Rx即

当不考虑系统误差时，有已知R1、R2、RN存在系统误差，则Rx也将产生系统误差，按照误差合成理论，利用式(2-34)可得消除ΔR1、ΔR2、ΔRN的影响后，即修正后的电阻Rx为Rx＝Rx0-ΔRx＝10-0.015＝9.985Ω

2.测量误差的分配总误差确定后，求各环节的误差，以使总误差值不超过规定值，称为误差分配。

1)等准确度分配按等准确度分配误差时，认为各环节的误差彼此相同，即系统误差：

Δx1=Δx2=…=Δxn随机误差：则分配后各环节的误差为

(2-39)(2-40)

2)等作用分配等作用分配指分配给各环节的误差对总误差的影响相同，即系统误差：随机误差：

则分配后各环节的误差为

(2-41)(2-42)

进行误差分配时应注意抓住主要误差项进行分配，对影响较小的误差项可不予考虑或酌情考虑。2.4最小二乘法与线性回归分析2.4.1最小二乘法最小二乘法是一种数据处理手段，其原理是:为获得最可信赖的测量结果，使各测量值的残余误差平方和为最小。在组合测量的数据处理、实验曲线拟合等方面，应用广泛。

1.最小二乘法的线性函数通式设被测量为X1，X2，…，Xm，直接测量值为Y1，Y2，…，Yn，其相应的函数关系为

(2-43)若x1，x2，…，xm是待求量X1，X2，…，Xm的最佳估计值，则相应的估计值亦有下列函数关系:(2-44)设带有误差的实际直接测量值为l1，l2，…，ln，则相应的误差方程为

(2-45)按最小二乘法原理，要获取最可信赖的结果x1，x2，…，xm，上述方程组的残差平方和应最小，即为最小。根据求极值条件，有

(2-46)整理后可写成

(2-47)式(2-47)为等精度测量的线性函数最小二乘估计的正规方程。由此可求出被测量x1，x2，…，xm的估计值。式中,

2.最小二乘法的矩阵表示误差方程式(2-45)的矩阵表示为

(2-48)式中，系数矩阵为被测量估计值矩阵为直接测量值矩阵为

残余误差矩阵为