专题3-9 抛物线与直线联立韦达化运算（解析版）-A4

1/33第页专题3-9抛物线与直线联立韦达化运算总览总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】焦点弦中点相关运算与证明【题型2】向量数量积的处理【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算【题型5】垂直关系的处理【题型6】弦长公式与面积计算【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题【题型8】抛物线中的定点与定值问题题型题型汇编知识梳理与常考题型直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式①抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有.②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么.【题型1】焦点弦中点相关运算与证明已知抛物线的焦点为F，直线与该抛物线交于A、B两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则．【答案】【分析】先求出的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，故可求斜率.【详解】易知设，因为，故，故，而，故,故，联立直线与抛物线方程得，，所以的纵坐标，故直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．【答案】(3,2)【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，eq\f(x1＋x2,2)＝3，∴eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋x2－2,2)＝eq\f(6－2,2)＝2.∴所求点的坐标为(3,2)已知抛物线的焦点为F，直线与该抛物线交于A、B两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则．【答案】【分析】先求出的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示的纵坐标，故可求斜率.【详解】易知设，因为，故，故，而，故,故，联立直线与抛物线方程得，，所以的纵坐标，故已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交于两点．若为线段的中点，且，则．【答案】【分析】直线的斜率存在，可设为，与抛物线方程联立得到韦达定理，求出点坐标，利用求解，再结合抛物线定义得到结果.【详解】设，，，显然当直线垂直于轴时，与重合，此时不满足条件，所以可设直线的方程为，代入的方程有，，所以，，，所以，解得，，由抛物线的几何性质可知，，所以．设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点．(1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值．【答案】(1)m＜1，(2)Q的纵坐标为定值2【解析】(1)直线l：y＝x＋m与抛物线W联立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，∴Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，则点Q的纵坐标为eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋m＋x2＋m,2)＝2.∴点Q的纵坐标为定值2.物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．【答案】y2＝4x或y2＝－4x【详解】解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋eq\f(1,2)p.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋x2＋p＝8.①又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px，))消去y，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.所以x1＋x2＝3p，②将②代入①，得p＝2.所以抛物线的标准方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.【题型2】向量数量积的处理数量积一般化为过坐标运算的形式，再韦达化处理（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（

）A． B． C．4 D．12【答案】B【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】由，得，易得，设，则，.（高二上·四川成都·期末）已知抛物线上的两点A，B满足（O为坐标原点），且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB所过定点为．【答案】【分析】设，，写出直线AB方程，由及A，B位置可解得，即可化简解析式，确定定点.【详解】设，，则，即，即.由A，B分处对称轴的两侧得，又∵，解得（舍）或，故，则直线过定点.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且A到的焦点的距离为1．(1)求的方程；(2)若直线与抛物线C交于两点，，且，试探究直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由．【答案】(1)(2)直线过定点【分析】（1）利用抛物线的定义及点在抛物线上计算即可；（2）设的方程，由平面向量数量积的坐标表示及韦达定理求参数即可.【详解】（1）依题意可得，解得，所以抛物线方程为：；（2）设直线显然存在，联立方程，化简可得所以在抛物线C上，故，，解得或，因为，所以，得所以直线过定点.已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，若直线l经过焦点F，且，则________【答案】【解析】过的直线l的方程可设为，联立抛物线方程，可得，所以，，则，解得过抛物线的焦点作直线l与C交于A，B两点，已知点，若，则的值为．【答案】8【分析】首先设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可求直线的方程，并代入焦点弦长公式，即可求解.【详解】抛物线的焦点F1,0，显然的斜率不为0，设直线，Ax联立x=my+1y2=4x，得，，，则，，，，，解得：，所以，.已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点．(1)求抛物线的方程；(2)如果，证明直线过定点，并求定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线方程求得即得；（2）设，，设，代入抛物线方程应用韦达定理得，，代入可求得，从而得定点坐标.【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为．（2）因为直线与抛物线相交于不同的A、两点，所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得，设，，∴，．，由，解得，∴过定点．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.(1)求t，p的值；(2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且(其中O为坐标原点)．求证直线AB必过定点，并求出该定点的坐标．【答案】p＝2，t＝±2eq\r(3)直线AB过定点(5,0)解：(1)由已知得3＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，代入可解得t＝±2eq\r(3).(2)设直线AB的方程为x＝my＋n，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2)).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋n，,y2＝4x))得y2－4my－4n＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.由，得eq\f(y1y22,16)＋y1y2＝5，∴y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)．即－4n＝－20，∴n＝5，∴直线AB过定点(5,0)【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有.（2023上·广东广州·高二统考期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为.【答案】或【分析】根据题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，,，,，联立直线与抛物线方程，消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，由，解得，即可求解．【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，,，,，联立，得，所以，，因为，解得，，则直线的方程为或（广东深圳·高二校考期末）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值.【答案】（1）；（2）1或.【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB【详解】（1）抛物线C：的准线为，由得：，得.所以抛物线的方程为.（2）设，，由，，∴，∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴解得：，所以k的值为1或过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为，求抛物线C的方程．【答案】y2＝4x【解析】由于抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，故可设直线AB的方程为x＝my＋eq\f(p,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq\f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【答案】y2＝3x【解析】解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq\f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＝2px，即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq\f(3,2).∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是．【答案】【分析】由标准方程表示出焦点坐标，设出直线方程与交点坐标，联立方程，写出韦达定理，利用数量积可得，进而求切线方程和交点坐标，根据交点坐标分析轨迹分析.【详解】由题意可得，设，显然直线的斜率存在，则可设为，联立可得，消去可得，则，可得，，则，因为，，由可得，由，解得.此时抛物线，即，可得，可知在点处的切线斜率存在，设切线方程为，联立方程，消去y得，可得，解得，则切线方程为，即，同理可得在点处的切线方程为，联立方程，解得，即交点坐标为，可知所求轨迹方程为.故答案为：.【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算1、若直线过x轴上的定点，可以考虑设直线方程为2、一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么.过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－2x＋2))得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.∴|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])已知点，，中恰有两个点在抛物线上．(1)求的标准方程(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标．【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称，所以点，在上，将点代入抛物线得，，即，所以抛物线的方程为：；（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为，由消得：，由韦达定理得，所以直线，显然恒过定点0,1．

设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq\f(1,2).(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(6)，求实数k的值．【答案】x2＝2y，k＝±1【详解】解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq\f(1,2)，∴eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq\f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4k2＋8)＝2eq\r(6)，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.【题型5】垂直关系的处理坐标系中的垂直关系一般化为数量积相乘为0或斜率之积为-1若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.【详解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－4))消去y，得x2－12x＋16＝0.∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.∵＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴，即OA⊥OB.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．【解析】直线由，得则由，得：，整理得：，即：．所以，则，即：过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．【答案】（1）x2＝4y，（2）y＝2x＋1解：(1)C：x2＝2py的准线方程为y＝－eq\f(p,2)，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋eq\f(p,2)＝2，∴p＝2，抛物线C的方程为x2＝4y．(2)∵M(－2，y0)在C上，∴y0＝eq\f(－22,4)＝1，又F(0，1)，设l的方程为y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y))得x2－4kx－4＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)，∵MA⊥MB，∴＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，∴k＝2或0，当k＝0时，l过M点(舍)，当k＝2时，l不过M点，∴k＝2，∴l的方程为y＝2x＋1．【题型6】弦长公式与面积计算抛物线中弦长公式与椭圆双曲线一致（为直线的斜率，且）.过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为．【答案】【分析】设出两直线的方程，求出AB、，表示出四边形面积，即可得出答案.【详解】抛物线的焦点F1,0，因为和的横坐标相同且在抛物线上，易知关于x轴对称且夹角为90°，所以直线的斜率为，则直线的斜率为，显然直线和的斜率都存在，则设直线的方程为，直线的方程为y=-x-1，联立方程组，消元得，则，即，同理，所以四边形的面积为：过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.(1)求抛物线的方程；(2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意设直线，联立抛物线方程，结合弦长公式即可列方程求得参数，进而得解；（2）由题意设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方程即可求得参数，进一步即可求解的面积.【详解】（1）抛物线焦点的坐标为，当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程，化简并整理得，，显然，设Ax1,则，解得，所以抛物线的方程为；（2）设Ax显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程，化简并整理得，显然，所以，又，所以，因为，所以，所以，则，设的面积为，则，所以的面积为.已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积．【答案】答案见解析【分析】由抛物线可知焦点，又，因此可知直线的方程，与抛物线联立，可求出弦长；因为，由抛物线的定义可求，进而可求出，分两种情况求的面积即可.【详解】

因为，所以，所以直线方程为．设Ax联立得，显然，所以，则，因为，所以，则．当时，到的距离；当时，到的距离．已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．(1)若，求P的坐标；(2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t的值，从而求出P的坐标；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得的值，再求出点到直线的距离，从而求出的面积.【详解】（1）因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，，由消去x得，，所以，，，由，得，解得，满足，所以直线方程为，令得，即P的坐标.（2）由题意知抛物线的焦点为，因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点，由消去x得，，所以，，，所以，解得，点到直线的距离为，所以,故的面积为.

如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且，交于点，点的坐标为(1)求的值．(2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.【答案】(1)(2)12【分析】（1）由两直线垂直得到直线，再联立曲线方程，由韦达定理结合向量的数量积为零求出即可；（2）设线段的中点为，由中点坐标公式得到方程，联立曲线方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简即可；【详解】（1）设Ax因为交于点，点的坐标为，所以直线的方程为，联立，消去可得，，则，因为，所以，即，即，解得，（2）设线段的中点为，由（1）知，所以，所以，即，联立，消去可得，，设，则，所以，又点到直线的距离为，所以的面积为.已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若过点的直线交于两点，且，求的面积．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根据抛物线的定义，利用两点之间距离公式以及点到直线的距离公式，建立方程方程，可得答案；（2）设出点的坐标以及直线方程，结合韦达定理以及向量的坐标表示，建立方程，可得答案.【详解】（1）设，动圆的半径，整理可得．故曲线的方程为.（2）法一：设Ax1,y1由可得，由已知直线斜率必不为0，故可设直线，联立方程，可得，故，解得，故，．法二：设Ax1,y1由可得，若直线的斜率不存在，则，不符合题意，舍去；设直线，联立方程可得，，解得，，，解得．原点到直线的距离，故的面积.【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题面积的表示：可以考虑结合铅锤高或水平宽来表示面积求解最值：一般化为二次函数模型或利用基本不等式来求最值已知抛物线，过该抛物线焦点的直线与该抛物线相交于两点（其中点在第一象限），当直线的倾斜角为时，，为坐标原点，则面积的最小值为．【答案】【分析】结合题意求出,设直线，结合韦达定理表示出面积，结合基本不等式即可求解.【详解】如图所示，分别过向准线作垂线，垂足分别为、，过作的垂线，垂足为，当直线的倾斜角为时，结合题意易得，所以，即，设Ax1,y1，B设直线，代入抛物线方程，可得，，所以，当时，三角形面积取最小值，此时最小值为．故答案为：．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于．【答案】22【分析】设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理得，，由求得，距离公式求得，再求得原点到直线l的距离可得三角形面积，从而得最小值．【详解】抛物线C的方程为，由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为，由，得，则，即，∴，，则，解得，直线方程为，恒过定点，，到直线AB的距离为，∴，∴时，为最小值，故答案为：已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补．(1)求的值；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由点在抛物线上，得，联立直线与抛物线方程得，再通过计算即可；（2）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出，再结合基本不等式可求面积的最大值.【详解】（1）由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为；

如图：设，将直线的方程代入，得，

所以，

因为直线与倾斜角互补，所以，

即，所以，即，所以.（2）由（1）可知，所以，则，

因为，所以，即，

又点到直线的距离为，

所以，

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以面积最大值为．（23-24高二上·浙江宁波·期末）设为抛物线的焦点，直线l与抛物线交于两点，且，则的面积最小值为.【答案】【分析】设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，由，得，求出的关系，进而可求出的范围，再根据计算即可.【详解】由已知F1,0，设直线的方程为，联立，消得，，则，由，得，即，所以，化简得，所以，化简得，解得或，则，则或，所以或，，所以当时，，所以的面积最小值为.故答案为：.已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是．【答案】12【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及可求出，进而求出直线在轴上的截距，最后将面积之和表示出来，利用基本不等式求最值，即可得到结果．【详解】由题意可知：，设直线的方程为：，点，直线与x轴的交点为，联立方程，消去x得，根据韦达定理有，因为，所以，解得或，由点在该抛物线上且位于轴的两侧，可知，所以，故，此时，即，不妨设点A在轴上方，则，，且，则,当且仅当，即时，等号成立，所以与面积之和的最小值是.故答案为：12．

已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．(1)求E的标准方程；(2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．【答案】(1)(2)32【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知，从而可得抛物线E的标准方程；（2）设出的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出，，由结合基本不等式求出最小值．【详解】（1）抛物线的焦点，准线．∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．根据抛物线的定义可知，，∴，∴抛物线E的标准方程为.（2）由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，

设，，，设，由，消可得，∴，，∴，∴，同理可得，∴，当且仅当时取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为32．【题型8】抛物线中的定点与定值问题常见定点问题与定值问题的常见条件有数量积为定值，斜率和或积为定值，其中数量积可以化为坐标运算再代入韦达定理，斜率和积为定值时可以考虑平移齐次化来解决定点问题.1、过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点2、过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点以上称为手电筒模型，注意点P不在曲线上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1²”【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移）Step1：平移点P到原点，写出平移后的曲线方程，设出直线方程，并齐次化处理Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系，Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为.【答案】1【分析】设出直线的方程，把直线与抛物线联立，表示出，运用韦达定理即可.【详解】设直线：，Ax1,y1，B所以，，，，，所以，则直线：，直线恒过点1,0，则点到直线的最大距离为1.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且kPM•kPN＝，证明：直线MN过定点. 答案：（2）（9，﹣2）【简析】将点P移到原点，抛物线与所有点和线跟着平移，再设平移后的直线MN，然后齐次化，同除x²，得出两根之积为，从而求出直线MN中的参数.在平面直角坐标