九上人教专题03与圆的切线有关的计算与证明的常见类型（五种技巧精讲精练+过关检测）（解析版）-A4

第页专题03与圆的切线有关的计算与证明的常见类型（五种技巧精讲精练+过关检测）题型01证线段平行【典例分析】【例1-1】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，是的外接圆，P是延长线上一点，连接，且，点D是中点，的延长线交于点Q，则下列结论：①；②垂直平分；③直线和都是的切线；④．其中正确的结论是（

）

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及了圆周角定理、垂径定理、圆的切线证明等知识点，掌握相关结论是解题关键．①②根据点D是中点，，、即可判断；③根据，，且即可判断；④假设结论正确，即可倒推进行判断．【详解】解：∵点D是中点，，∴，，故②正确；∵，∴，故①正确；∵，，且，∴∵，∴∵∴∴∴直线是的切线∵垂直平分，∴∴∴∴直线是的切线，故③正确；若，则∴根据条件无法得出以上结论，故④错误；故选：C【例1-2】（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）已知：如图，直线切于点，为的弦．．求证：．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理的推论，平行线的判定等等，先由切线的性质得到，再由垂径定理的推论得到，据此可证明．【详解】证明：如图所示，连接，∵直线切于点，∴，∵为的弦．，∴，∴．【例1-3】（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了圆的综合题，切线的性质，三角形全等及等腰三角形的判定与性质知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质．（1）连接，由为的直径，根据圆周角定理得为的直径得，再由，则，所以为等腰直角三角形，所以，根据切线的性质得，于是可得到；（2）利用角的关系得出，进而得出，即可得出结论．【详解】（1）证明：连接，如图，为的直径，，的平分线交于点，，，为等腰直角三角形，，为的切线，，；（2）证明：于点，，，，为等腰直角三角形，∴，∴，，在和中，，∴，∵∴．【变式演练】【变式1-1】（24-25九年级上·山东·单元测试）是的外接圆，是直径，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．有下面四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】本题考查的是平行线的判定、圆周角定理的应用、切线的性质、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接、，设交于点，证明，结合，可判断结论①；再证明，结合，易得，即可判断结论③；证明四边形是矩形，易得，，即可判断结论②；结合，可知，即可判断结论④．【详解】解：如图，连接、，设交于点，∵，∴，又∵，∴，故结论①不正确；∵的平分线交于点，∴，∵，∴，∴，∴，又∵为直径，∴，∴，即，故结论③正确；∵为的切线，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，故结论②正确；∵在直角三角形中，∴，故结论④不正确．综上所述，结论正确的有②③，共计2个．故选：C．【变式1-2】（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，点C是弧的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接AB，CD．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了圆的综合，解题的关键是熟练掌握切线的定义，垂径定理，三角形的外角定理，内角和定理，以及平行线的判定和性质．（1）连接，根据切线的性质得出．根据垂径定理得出．即可求证．（2）易得．则．根据题意得出，，则．求出，即可求解．【详解】（1）证明：连接，如图，∵直线与相切于点C，∴．∵点C是的中点，∴．∴．（2）解：∵，∴．∴．∵，，∴．∴．∴．∵，∴．【变式1-3】（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，是的外接圆，是的切线交的延长线于D，交于E.

(1)求证：；(2)若，.求的半径和线段的长.【答案】(1)详见解析(2)的半径为4，【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理．（1）连接，根据圆周角定理得出，由切线的性质得到，进而得到，据此可证明；（2）设的半径为r，则，，根据勾股定理可得，列出方程，解方程即可求出半径；过点O作于点F，用等面积法求出，进而得出，则，最后根据垂径定理可得，则．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵，∴，∵与相切；∴，即∴，∴；

（2）解：设的半径为r，则，∵，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴的半径4；过点O作于点F，

∵，，∴，则，解得：，根据勾股定理可得：，∴∵，∴，∴．题型02求线段长度【典例分析】【例2-1】（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可．【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，，∴，，，∴，故选：B．【例2-2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为D，与的延长线交于点C，，则的长度为．【答案】5【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等腰三角形的判定，连接，根据圆周角定理可得，再由是的切线，可得，从而，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵是的直径，，∴，∵是的切线，∴，，∴，∵，∴．故答案为：5【例2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，与边相切于点E．

(1)求证：；(2)若，求的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，圆周角定理和相等的圆心角所对的弧线段，所对的弦线段的性质解答即可；（2）设的半径为r,利用圆的性质定理，含角的直角三角形的性质，求得圆的半径，再利用等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】（1）连接，如图，

∵为半圆的切线，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴；（2）设的半径为r，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴∴，∴，∵，∴．∵，∴为等边三角形，∴【变式演练】【变式2-1】（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，的半径为4，直线是的切线，为切点，连接，是直径．若弦于点，且，则的长度为（

）A． B．4 C．6 D．【答案】D【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，含30度的直角三角形，根据切线的性质，角的和差关系，求出，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，垂径定理求出的长即可．【详解】解：∵直线是的切线，∴，∴，∴，∵是直径，，∴，，∴，∴；故选D．【变式2-2】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为．【答案】【分析】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得是解题的关键，根据垂径定理求得，，即可得到.则是等腰直角三角形，得出根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，进而即可求得【详解】解：为的直径，弦于点，，是等腰直角三角形直线切于点，是等腰直角三角形故答案为：【变式2-3】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在中，弦于点D，点F是上一点，交于点E，过点E作的切线交于点H．(1)求证：．(2)若点C为的中点，，，求的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连结．根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，得到，结合和可得，再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）连结交于M，连结，由点C为的中点，得到，求得，推出垂直平分于点M，根据垂径定理得到，，可求得，，根据勾股定理求得的长，设，则，根据勾股定理求得的值，连接，再设，则，解得的值即可得到结论．【详解】（1）证明：连结．，，与相切于点E，，，在中，，，又，，．（2）解：连结交于M，连结，∵点C为的中点，，，垂直平分于点M，，，，，，，，，，，，，在中，，设，则，在中，，解得：，连接，设，则，解得：，．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂径定理，切线的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．题型03求圆的直径（方程思想）【典例分析】【例3-1】（22-23九年级上·江苏常州·期中）工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为cm．【答案】【分析】如图，切三角板的斜边于点，连接、，利用邻补角计算出，再根据切线长定理和切线的性质得到平分，，所以，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到的长，从而得到圆的直径．【详解】解：如图，切三角板的斜边于点，连接、，则，与三角板和直尺相切，平分，，，，在中，，cm，该圆木的直径为cm．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，熟练掌握切线的性质及切线长定理是解题的关键．【例3-2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等腰三角形内接于，，过点作，交于点，过点作的切线交的延长线于点，已知，．(1)求证：四边形为平行四边形．(2)求的直径长度．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）连接并延长交于H，连接，，利用切线的性质得，再证明为的中垂线，则，得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；（2）根据题意利用平行线的性质得到，则，所以，于是得到，利用垂径定理得到，则根据勾股定理可计算出，设的半径为r，则，在中利用勾股定理得，进而求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于H，连接，∵与相切于点C，∴，∵，，∴为的中垂线，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形；（2）解：∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，在中，，设的半径为r，则，在中，∴，解得，∴的直径长度为10．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质、平行四边形的判定、垂径定理、圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点．【例3-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交，于点、，的延长线与的切线交于点．(1)求证：；(2)已知，，求的直径【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：；（2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得答案．【详解】（1）证明：如图，连接．为的直径，，．是的切线，，即．．，，．．（2）解：如图，连接，，设，，，，，在中，，即，．．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键．【变式演练】【变式3-1】（21-22九年级上·北京·阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．（1）求⊙O的直径BE的长；（2）求CD的长．【答案】（1）BE=6cm（2）6cm【分析】（1）连接OD，设半径为r，在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2，得到（2+r）2=42+r2故可求解；（2）根据切线长定理得到CD=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2得到82＋CD2＝（4＋CD）2，故可求解．【详解】解：（1）连接OD，设半径为r则BO=DO=EO=r∴AO=2+r在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2∴（2+r）2=42+r2解得r=3∴BE=6；（2）∵AC、BC都是⊙O的切线∴CD=BC∵AB=AE+BE=8，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2即82＋CD2＝（4＋CD）2，解得CD＝6cm．【点睛】此题主要考查切线的性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、切线长定理的应用【变式3-2】如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作的切线，连接交于点，．

(1)求证：；(2)若，求的直径的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由为的切线，为切点，可得，即，，由，可得，由，可得，即，进而可得．（2）设，则，在中，，在中，，即，解得，则，即的半径为，进而可求直径的长．【详解】（1）证明：∵为的切线，为切点，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：设，则．在中，，在中，，即，解得，∴，即的半径为，∴的直径的长为．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式3-3】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知等边，以为直径的与边相交于点．过点作，垂足为；过点作，垂足为．(1)求证：是的切线；(2)若，求直径的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）如图所示（见详解），连接，为等边三角形，可求，，，，由此即可求解；（2）由（1）可知，设为，可求出，在中，，可求出，，在中，，，，由此即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线．（2）解：设为，由（1）知，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查圆的切线，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握等边三角形的性质，切线的证明方法，平行线分线段成比例是解题的关键．题型04求角的大小【典例分析】【例4-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可不是主要考查切线的性质，连接，则，得，由得由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理可得【详解】解：连接，如图，∵是的切线，∴，即∵∴∵，∴∴∵∴，故选：D【例4-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的切线，A为切点，连接，点C在上，，连接并延长，交于点D，连接，若，则的度数为．【答案】/50度【分析】此题考查了切线的性质，四边形内角和、等边对等角等知识．利用垂线的性质及切线的性质得到和，再利用四边形的内角和为进而可求得，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．【详解】解：，，又是的切线，，，又，，，又，，，故答案为：．【例4-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，为的直径，切于点，交的延长线于点，且．(1)求的度数；(2)若，求的长．【答案】(1)；(2)【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．（1）连接，如图，根据切线的性质得，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，接着利用互余得到，解得，从而得到的度数；（2）在中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，然后计算即可．【详解】（1）解：连接，如图，切于点，，，，，，，而．，解得，；（2）解：在中，，，，．【变式演练】【变式4-1】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了弦切角定理，角平分线的性质及垂直的定义，难度适中．连接，并延长交于点F，连接，根据弦切角的性质，得，再由已知条件可得，从而求出．【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示：∴，∴，是切线，∴，∴，∴，∵，，平分，，，，．故选：A．【变式4-2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则．【答案】【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数．【详解】解：连接，与相切于点，，，；，，故答案为：32【变式4-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于是上一点，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的度数．【答案】【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，利用平行线的性质得到，利用圆内接四边形的性质计算出，再根据三角形内角和计算出，接着利用圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，最后利用互余计算出的度数．【详解】解：连接．．，．∵四边形为的内接四边形，，，，，为切线，，．题型05证线段垂直【典例分析】【例5-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等知识，要证，就是证．连接，可得，只需证，即可．【详解】证明：如解图，连接，与半圆相切于点，，，，，，，，，，．【例5-2】（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，以的边为直径的交于点E，平分，点P是延长线上一点，且的切线交于点D．(1)求证：；(2)若，，求，的长．【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）根据切线的性质得到，即、根据角平分线的性质得到，等腰三角形的性质得到，故，即可得到，，可得结论．（2）设，则，利用勾股定理得的长．作于点F，利用等面积法可得的长，再利且勾股定理得到的长，再根据等腰三角形的性质，即可求得的长度．【详解】（1）证明：连接．∵切于点E，∴，∴．∵平分，∴．又∵在中，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：设，则，在中，，∴，∴．作于点F，∵，∴，∵在中，，∴，∴在中，，∵为的直径，∴，∴，∴中，，又∵，∴．【点睛】本题考查切线的性质、根据角平分线的性质、等腰三角形的性质、利用等面积法求线段长度，掌握切线的性质和等腰三角形的性质，熟练利用等面积法求线段长度是解题的关键．【例5-3】如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．(1)求证：；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，∵，，∴垂直平分，∴，，∵为的切线，∴，∵为的直径，∴∴四边形为矩形，∴；（2）由（1）知四边形为矩形，，，∴，∴，设的半径为，则：，在中，由勾股定理，得：，解得：；即：的半径为．【变式演练】【变式5-1】（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于⊙O，为直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于点H，作，垂足为E．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)的长为3【分析】（1）连接，根据点C是的中点，可得，然后证明，再根据切线的性质即可解决问题；（2）先根据勾股定理求出，再根据四边形内接于⊙O，可得，然后证明，可得．【详解】（1）证明：如图，连接，∵点C是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是⊙O的切线，是半径，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵四边形内接于⊙O，∴，在和中，，∴，∴．∴的长为3．【点睛】本题考查了圆内角四边形，切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．【变式5-2】（21-22九年级上·湖北鄂州·期末）如图，点O是的边上一点，与边相切于点E，与边分别相交于点D，F，且．(1)求证：；(2)当时，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，利用切线的性质及圆周角定理通过互余即可证明．（2）利用勾股定理先求，再利用勾股定理求即可．【详解】（1）(1)如图，连接∵是的切线，是的半径∴∵和分别是所对的圆心角和圆周角∴∵∴∴∴∴∴（2）解：∵是的切线∴∴已知，设，则解得或（舍去）∴∵∴∴∴∵∴【点睛】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，能够熟练运用切线切线额的性质及勾股解直角三角形是解题关键．【变式5-3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．(1)求证：；(2)若的半径为，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）连接，由点是的中点及可推出，再由切线的性质即可求证；（）过点作，由等腰三角形“三线合一”的性质可知，结合条件可推出四边形为矩形，根据勾股定理即可求解；本题考查了切线的性质、矩形的判定、圆周角定理、勾股定理，掌握相关结论是解题的关键．【详解】（1）证明：连接，如图所示，

∵是的切线，∴，∴，∵点是的中点，∴，∴∵，∴，∴，∴，即；（2）解：过点作，如图所示，则，

∵，，∴，∴，∵，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，，∴，在中，．一、单选题1．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案．【详解】解：、为的切线，，、为的切线，，同理，，的周长，，．故选：B2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．根据切线的性质得出，由垂径定理可得，然后由勾股定理求得的长，继而可求得的长．【详解】解：∵弦与小圆相切于点，∴，∴，∵两个同心圆的半径分别为和，∴，∴，故选：D．3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了圆的切线性质、同弧所对圆心角和圆周角的关系，熟记切线的性质是解题的关键．先根据切线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，然后由圆周角定理即可解答．【详解】解：切于点，，，，，故选：B．二、填空题4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为．【答案】/26度【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数．【详解】解：如图所示，连接，∵是的切线，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为．【答案】【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可．【详解】解：连接，与圆O相切于点M，；，；，，，；，；故答案为：．6．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的切线，若，，．【答案】【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】解：∵，是的切线，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：．7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为．【答案】/50度【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键．根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到．【详解】解：∵与相切，∴．又∵，∴．∵是的直径，∴．∴．故答案为：．三、解答题8．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，与相切于点C，，的直径为，，求长．【答案】【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，勾股定理知识．连接，根据切线的性质得，由于，则根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中利用勾股定理计算出的值即可．【详