新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第09讲 函数的奇偶性与周期性（原卷版）

第09讲函数的奇偶性与周期性【基础知识全通关】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【考点研习一点通】考点01：函数奇偶性的判断【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在SKIPIF1<0为增函数的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】【多选题】（2022·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数SKIPIF1<0的定义域都是R，且SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0是偶函数，则（）A．SKIPIF1<0是奇函数 B．SKIPIF1<0是奇函数C．SKIPIF1<0是偶函数 D．SKIPIF1<0是偶函数考点02：函数奇偶性的应用【典例3】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数SKIPIF1<0为奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（）A． B．C． D．【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理））已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.考点03：函数周期性及其应用【典例6】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的图象连续不断，有下列四个命题：甲：SKIPIF1<0是奇函数；乙：SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称；丙：SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减；丁：函数SKIPIF1<0的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【典例7】（2021·广德市实验中学高三月考（文））已知对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例8】（2022·四川省石室中学高三一模（文））已知是定义域为的奇函数，满足,若，则()A． B． C． D．考点04：函数性质的综合应用【典例9】（2022·山西省高三其他（文））已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【典例10】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0､公差为SKIPIF1<0的等差数列，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例11】【多选题】（2022·山东省高三其他）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（）．A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数C．函数为奇函数 D．函数为偶函数【典例12】（2021·湖南高三三模）函数SKIPIF1<0的定义域为D，对D内的任意SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为非减函数．已知SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的非减函数，且满足：①对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②对任意SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的值为________．【典例13】（2022·重庆高三其他（文））定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-1【考点易错】易错01：函数奇偶性的判断1.（2022·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A． B．C． D．2.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（）A．(-1，1) B．(0，2)C．(-2，0) D．(2，4)易错02：函数奇偶性的应用3.（2022·广东高考模拟（文））已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=（）A．0 B．−a C．a D．3a4.（2022·山东高考模拟（文））已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．2022 B．0 C．1 D．-1易错03：函数周期性及其应用5.（2022·山西省高三其他（文））已知函数，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6.（2022·梅州市梅县区松口中学高三月考（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）A．B．C．D．易错04：函数性质的综合应用7.（2022·江西省高三其他（理））已知函数SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的偶函数，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则不等式SKIPIF1<0的解集为____．【巩固提升】1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于SKIPIF1<0轴对称的图象，则关于函数SKIPIF1<0的性质叙述一定正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是周期函数 D．SKIPIF1<0存在单调递增区间2．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则f(101)+f(105)的值为（）A．3 B．2 C．1 D．04．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间SKIPIF1<0上单调递增的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0是奇函数，并且当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<06．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数SKIPIF1<0，下列说法正确的是（）A．若SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0对称B．若对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称C．若函数SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0为偶函数D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0对称7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．函数SKIPIF1<0有2个零点 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<08．【多选题】（2021·广东高三二模）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都为奇函数，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数 B．SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数C．SKIPIF1<0为奇函数 D．SKIPIF1<0为奇函数9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数SKIPIF1<0满足以下条件：①SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，且其图象是一条连续不断的曲线；②SKIPIF1<0是偶函数；③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不是单调函数；④SKIPIF1<0恰有2个零点.则函数SKIPIF1<0的解析式可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010.设函数SKIPIF1<0，则f(x)（）A．是偶函数，且在SKIPIF1<0