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文档简介

第一节微分中值定理

罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)中值定理柯西(Cauchy)中值定理罗尔(Rolle)定理几何解释:AB证拉格朗日(Lagrange)中值定理(或微分中值定理)f(b)-f(a)b-a证:作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.几何解释:f(b)-f(a)b-a若图2的函数是用参数方程

如图3此时弦AB的斜率为

柯西(Cauchy)中值定理证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意:若定理的条件不满足,其结论可能不成立.如:下列例子中罗尔定理结论都不成立题型一例1不求导数,判断f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个根,以及所在的区间。例4设证:例6证由零点定理即为方程小于1的正实根.矛盾,题型二:求满足定理条件的值例7求在上满足Lagrange中值定理的值例8证题型三:用Lagrange中值定理证明不等式证2(p153)由上式得证：令f(t)=，f(t)在[0,x]上可导，由中值定理得，使得f(x)-f(0)=(x-0)即，而故例9证明：对任意的x>0,有例例例推论1推论2C为确定的常数题型四:用Lagrange中值定理的推论证明恒等式证:

在(a,b)

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在(a,b)上为常数.例10证:

设

(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.

证明等式例例11.试证至少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此

即分析:题型五:用柯西中值定理证明不等式例11.试证至少存在一点使法2

令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在例12证分析:结论可变形为题型五:其它一些证明题中值定理的数学符号简洁表述如下:四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题

试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.练习题练习题答案定义4.1(极值)函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点

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