工程力学C-第4章-平面任意力系

本章要点：

（1）物体系统平衡问题的求解基本问题：第4章平面任意力系（1）平面任意力系的简化；（2）平面任意力系的平衡条件及其应用；（3）静定与静不定问题.第4章平面任意力系平面任意力系：作用线位于同一平面内，既不汇交于一点，也不完全互相平行的力系。引例分析方法：平面任意力系=平面汇交力系＋平面力偶系FAxFAyFByFAyFAxF

1.力的平移定理AFBdF′F′′M=F.d=MB(F)可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B,但必须同时附加一个力偶,这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。AF′BM§4-1平面任意力系向作用面内一点的简化FF(a)(b)图示两圆盘运动形式是否一样？(b)′FMFnF1F2O2.平面任意力系向作用面内一点的简化·主矢和主矩OOFR′MOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F2=F2′M2=MO(F2)Fn′MnFn=Fn′Mn=MO(Fn)简化中心O力线平移合成汇交力系合成力偶系主矢FR′MO主矩OxyMOFR′★平面任意力系向作用面内任一点O简化,可得一个力和一个力偶,这个力等于该力系的主矢,作用线通过简化中心;这个力偶矩等于力系对于简化中心O点的主矩.主矢与简化点O位置无关主矩与简化点O位置有关●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′a.平面任意力系简化为一个力偶的情形●

FR=0，MO≠0′★因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同,因此当力系合成为一个力偶时,主矩与简化中心的选择无关。3.平面任意力系的简化结果分析b.平面任意力系简化为一个合力的情形●

FR≠

0，MO=0′合力的作用线通过简化中心●

FR≠

0，MO

≠0′FROO′d′O′FROFRFR′′dFR′OMoO′c.平面任意力系简化为一个力和一个力偶的情形MO(FR)=FRd

=MO=∑MO(Fi)MO(FR)=∑MO(Fi)

平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。●合力矩定理FROO

′d′O′FROFRFR′′dFR′OMoO′●

FR=0，MO=0′原力系平衡d.平面任意力系平衡的情形—平面任意力系平衡的必要条件平衡方程平面任意力系平衡的解析条件:所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。例1:固定端约束既不能移动,又不能转动的约束——固定端约束AFAMAAFAxFAyMAA固定约束的特点利用平面力系的简化结果，将端部的分布力向端部的一点A点简化，得FA.MA。例2已知:M=Pa求：A.B处约束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解:（1）取刚架为研究对象解上述方程,得（2）画受力图（3）建立坐标系,列方程求解§4-2平面任意力系的平衡条件及其应用一、平衡条件及平衡方程:FR=0Mo=0′｝平面任意力系平衡的解析条件:所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程2.二力矩式三个方程并不一定独立。应用条件:A.B的连线不能垂直于x轴。3.三力矩式三个方程并不一定独立。应用条件:A、B.C三点不能共线。二、平衡方程其它形式及应用条件:1.基本形式为平面力系平衡的充要条件。FR力系有合力ABx力系有合力FRABCABCABC三、特殊平面力系的平衡条件及平衡方程:1平面平行力系若取y轴与力系中作用线平行，则有:因而平面平行力系的平衡充要条件或平衡方程为:2平面汇交力系若汇交力系交点为矩心O，则有:因而平面汇交力系的平衡充要条件或平衡方程为:yxoF3F2F1Fn（A.B两点的连线不得与各力平行）二力矩式2a

PaMABCDFAxFAyFB例2已知:M=Pa求：A.B处约束反力。

解法2解上述方程,得2a

PaMABCDFAxFAyFB

解法3解上述方程,得解上述方程,得解:取三角形板ABC为研究对象FDECBAaaaMPFAFB例题3求：三杆对平板ABC的约束反力。FCPACaaaMB解:曲梁AB受荷载F1、F2、M作用，已知：F1=200N，F2=400N，M=600N·m。求A.B处的约束反力。曲梁AB——研究对象xy方向如图方向如图方向如图注意:(1)力偶在任一轴的投影值为零;(2)力偶对任一点矩等于其力偶矩。例题4解:取起重机为研究对象（1）满载时，其限制条件是:FNA≥0（2）空载时，其限制条件是:FNB≥0P2P1ABPbealFNBFNA因此，P2必须满足：求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。例题5解:细杆AB搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所示。已知：杆重为P，重心C在杆AB的中心，两斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的夹角θ和支点A.B的反力。细杆AB——研究对象PFAFBxy设杆AB长l,取图示坐标系。（1）（2）（3）由式（1）和（2）得将上述结果代入（3）得即:当时当时例题6补充:分布载荷的合力q(x)载荷集度PdPdP=q(x)dxq(x)AB合力大小:由合力之矩定理:合力作用线位置:hxdxlx☆两个特例(a)均布载荷Ph(b)三角形分布载荷Phlq0qlxx例题7:解:均匀分布载荷q=4kN/m,自由端B作用有集中力F=5kN,与铅垂线夹角α=25°,梁长l=3m。求固定端的反力。梁AB——研究对象受力分析FAxFAy

MAQ（注意:约束反力偶MA，等效集中力Q。）xy列方程求解转向如图实际方向与图中相反方向如图§4-3刚体系统的平衡一、单个物体平衡问题的独立平衡方程数目平面一般力系：具有三个独立平衡方程；平面汇交力系：具有二个独立平衡方程；平面平行力系：具有二个独立平衡方程；平面力偶系：具有一个独立平衡方程；二、刚体系统刚体系是指若干个刚体用约束联结起来的系统。刚化原理——变形体在某一力系作用下处于平衡,若将此变形体刚化为刚体,其平衡状态保持不变。刚体系平衡时,系中每一个刚体都处于平衡,根据刚化原理,可将刚体系整体或部分刚化为一个刚体,同样处于平衡状态,其求解过程和求解单一刚体平衡问题的步骤基本相同。若刚体系统由n1个受平面任意力系作用的刚体，n2个受平面汇交力系或平面平行力系作用的刚体以及n3个受平面力偶系作用的刚体组成，那么系统可能有的独立平衡方程数目在一般情况为:m=3n1+2n2+n3（个）刚体系统平衡问题的独立平衡方程数目:设刚体系统有n个刚体组成，每个刚体上所作用的力系均平面任意力系，则系统所具有的独立平衡方程数为:m=3×n

（个）静定问题:系统的未知量数≤系统所具有的独立平衡方程数目静不定问题:系统的未知量数＞系统所具有的独立平衡方程数目三、静定与静不定概念系统中多余未知的个数——称为静不定次数为了使结构具有更高的强度、刚度和稳定性,工程实际中多采用静不定结构,能更经济的利用材料,也更安全可靠。四、刚体系平衡问题求解步骤和特点:2、受力分析（1）先从二力杆入手；（2）严格按照约束性质画出相应的约束力，不能凭主观臆断；（3）只画外力，不画内力；（4）物体间的相互作用要统一；（5）铰链的反力通常用二力表示；3.适当选取坐标轴4、列平衡方程，解未知量（1）尽可能避免方程中出现不需要求出的未知量；（2）先从未知量少的方程入手，尽可能避免解联立方程；（3）校核；1、正确选取研究对象一般先考虑整体，对组合梁，可先考虑辅助部分；解得:已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，

sin=4/5例题

8求：支座A、C的反力。AQCB

PPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy解:(1)取整体为研究对象解上述方程,得(2)取AB为研究对象代入（3）式得EqaaaaaABCDFAyFAxFE求：A.E的约束反力和BC杆内力。例题9CDqFDxFDy解:(1)取整体为研究对象解得：(2)取曲杆CD为研究对象解得：FC解:图示组合梁，已知:q，P，a。求:A，C支座的反力及中间铰链B处的压力。45°ABCDaaa2aqPqPABDa2a45°BCaaq45°ABCDaaa2aqPFAxFAyFC

MAFAxFAy

MAFCFBxFBy（1）梁BCxyQ1（1）（2）（3）由此求得:xyQ2例题10:（2）梁AB（4）（5）（6）由此求得:转向如图方向如图FAx45°ABCDaaa2aqPqPABDa2a45°BCaaq45°ABCDaaa2aqPFAyFC

MAFAxFAy

MAFCFBxFByxyQ1xyQ2Pq45°ABCDaaa2aFAxFAyFC

MA求FAx、FAy、MA

也可以整体为研究对象（3）整体（7）（8）（9）由此求得:Qxy讨论:（1）列出9个方程,仅有6个方程独立。（2）对分布力,先拆后用等效集中力代替。（3）固定端约束反力。基本部分:单独可承载并能平衡的部分；附属部分:不可单独承载部分。选取顺序:先附属部分，后基本部分。附属部分45°ABCDaaa2aqP基本部分附属部分基本部分基本部分附属部分组合梁结构研究对象的选取顺序:基本部分基本部分附属部分解:(1)整体三铰拱结构。已知：G1=G2=G=40kN，P=20kN，F=10kN，图中尺寸单位为m。求固定铰支座A.B和中间铰链C的反力。FAxFAyFByFBx(1)(2)(3)由（1）和（2）求得方向如图例题11:（2）左半拱(4)(5)(6)由(4)、(5)、(6)求得再由（3）得FAxFAyFCyFCxFAxFAyFByFBx(3)Fcy实际方向与图中相反,其余各力方向如图。FAxFAyFByFBxFAxFAyFCyFCx讨论:（1）属静定结构问题，研究对象的选取步骤是：先整体分析，尽可能先求出部分未知量；然后，再将系统拆开，选择未知量少于3个物体为研究对象分析。（2）再可取右半拱为研究对象分析求解。FByFBx（3）拱脚不等高情形的处理。（3）拱脚不等高情形的处理。方法一、方法二、BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解:(1)取整体为研究对象(2)取DEF杆为研究对象解得:(3)取ADB杆为研究对象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB求：A、D.B的约束反力。例题12aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：A、D的约束反力。例题13解:(1)取BC杆为研究对象解得:(2)取AB杆为研究对象解得：代入（3）式解得：CDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB(3)取CD杆为研究对象解得:FDxFD