第05讲抽屉原理综合（教师版）

抽屉原理综合抽屉原理综合知识点知识点抽屉原理（六下）1、寻找题目中的“抽屉”和“苹果”：重点在于找到“抽屉”和苹果的数量．2、构造“抽屉”:根据题目要求，选择合适的方法构造满足条件的“抽屉”．3、对于图形问题，经常采用将图形分割的方式来构造“抽屉”．课堂例题课堂例题1、口袋中放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有45人轮流从袋子中取球，每人各取3个，至少有________人取出球的颜色一样．【答案】

5【解析】

取出的3个球颜色有三类：3个同色、2个同色、没有同色，分别有3种、种、1种，这样取出的球共10种可能．，根据抽屉原理，至少有人取出球的颜色一样．2、新年晚会上，老师让每个同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同．只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？【答案】

16人【解析】

摸到的两个球的颜色共种，因为总有两人取的球颜色相同，所以至少人．3、为了欢迎外宾来校参观，学校准备了红色、黄色、绿色的小旗，每个同学都左右两手各拿一面彩旗列队迎接外宾.至少有多少位同学才能保证其中至少有两个人不但所拿小旗颜色一样，而且（左、右）顺序也相同？【答案】

10名【解析】

持两面彩旗的方式共有以下9种：红红、黄黄、绿绿、红黄、黄红、红绿、绿红、黄绿、绿黄.把这9种持旗方式看作9个抽屉，根据抽屉原理可得出，至少要有10个同学，才能保证他们当中至少有两人不但拿小旗的颜色一样而且顺序相同．4、从1～24中至少取__________个数，才能保证其中两个数的差是5的倍数．【答案】

6【解析】

被5除的余数有5种，故取6个数必有两个余数相同，此二数之差一定为5的倍数．5、从1至35这35个数中至少取出________个数，才能保证在取出的数中一定有两个数有倍数关系，即一个数是另一个数的倍数．【答案】

19【解析】

1835共18个数，显然其中任意两数无倍数关系，故取18个不能保证．这18个数分别记为一组，共18组，将917加入其2倍所在的组，58加入其4倍所在的组，3、4加入其8倍所在的组，1、2与32同组．这样共18个组，易知每组任两个均有倍数关系，取19个数必导致某组至少被取了2个数，即一定存在两个数有倍数关系．6、从1、2、3、……、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？【答案】

1000【解析】

1，2，3……1998，1999这1999个数分成五组等差的数组：一、1，6，11，16……1991，1996共400个数；二、2，7，12，17……1992，1997共400个数；三、3，8，13，18……1993，1998共400个数；四、4，9，14，19……1994，1999共400个数；五、5，10，15，20......1995共399个数；我们发现：1.五行中每一行中任意相邻两数相差为5，不相邻两数相差不可能5；2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为5，因为如果相差为5的话，两数将被归为一行，这显然与事实矛盾；故我们用这样的方法来选符合规定的数：前四行每隔一个数选一个，每行最多可选200个数；第五行先选5，再每个一个数选一个，最后一个数为1995，同样最多可选200数；最终得到个数．假设还存在其他的数，比方说第1001个数，则根据我们的分组可知此数必存在于五组之中，但如果这样此数必与所选过的数在某一行相邻，这样它必与某所选数相差为5，不合题意．7、（1）在一个边长为1的正方形里放入3个点，以这3个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？（2）在一个边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过．【答案】

见解析【解析】

（1）在边长为1的正方形中放入3个点，我们比较容易想到取正方形的三个顶点，三个顶点构成的三角形面积为．我们现在说明任何三个点构成的三角形面积不会超过．如图，AABCDEGNFMH如果放入的三个点是A，B，C，过A，B，C作3条平行于正方形的边的直线，与正方形的另外一条边相交于F，G，D，E，M，N，其中过A的线段FG与BC相交于H．由于三角形ACH的面积最大为长方形DEFG的一半，三角形ABH的面积最大为长方形FGMN的一半，因此三角形ABC的面积最大为长方形DEMN的一半．而长方形DEMN面积最大为1，所以三角形ABC的面积最大为．（2）由（1）的结论可知，正方形内3个点构成的三角形面积不超过正方形面积的一半．现在要说明有3个点构成的三角形面积不超过，那么我们考虑找出3个点，使得它们在一个面积为的正方形内．如图，将边长为1的正方形分成4个相等的小正方形，则每个小正方形的面积为．由于一共有9个点，一共4个小正方形，，根据抽屉原理，必有3个点在同一个小正方形中，这3个点构成的三角形面积不超过8、求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得是105的倍数．【答案】

见解析【解析】

一个数除以7的余数只有0，1，2，3，4，5，6，共有7种可能，，所以8个数中必有两个数除以7的余数相同．取出这两个数，设为a，b，则a–b是7的倍数．再考虑剩下的6个数，同理，一个数除以5的余数只有0，1，2，3，4，共有5种可能，所以6个数中必有两个数除以5的余数相同，设它们为c，d，则c–d是5的倍数．再考虑剩下的4个数，同理可得，4个数中有两个数e，f，使e–f是3的倍数．此时(a–b)(c–d)(e–f)是105的倍数，题目得到了证明．9、（1）请说明：在任意的68个自然数中，必有两个数的差是67的倍数；（2）请说明：在1，11，111，1111，这一列数中必有一个是67的倍数．【答案】

见解析【解析】

（1）一个数除以67的余数有67种不同可能：0，1，2，，66．，根据抽屉原理，68个数中必有两个数除以67的余数相同，这两个数的差是67的倍数．（2）根据（1）的结论，对于1，11，111，1111，这列数，前68个数中必有两个数之差是67的倍数．10、老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分都是1分或者2分，数学得分都是1分、2分或者3分，语文得分都是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为__________________________________________________________________________________________．【答案】

这6位同学在三门课上的得分分别是(1分，1分，4分)，(1分，2分，3分)，(1分，3分，2分)，(2分，1分，3分)，(2分，2分，2分)，(2分，3分，1分)【解析】

体育的得分情况最少，所以先考虑这6个人体育的得分．很容易想到一定是3个人得1分，3个人的2分，因为如果至少有4个人得分一样，假设都得1分，那么根据抽屉原理，这4个人的数学得分一定存在2个人得分一样；因为这2个人体育和数学的得分都一样，所以不论他们语文得分的情况如何，一定存在至少一个同学比另一个同学优秀．很明显，对于三个人体育得分都是1分的这组，数学得分必须是1分、2分、3分；对于三个人体育得分都是2分的这组，数学得分也必须是1分、2分、3分．假设这6个人的体育、数学和语文的得分分别为（1分，1分，a分）、（1分，2分，b分）、（1分，3分，c分）、（2分，1分，A分）；（2分，2分，B分）；（2分，3分，C分）．依题意，很明显有，，，，，所以，，其它的很容易得到．所以这6个人的体育、数学和语文的得分分别为（1分，1分，4分）、（1分，2分，3分）、（1分，3分，2分）、（2分，1分，3分）、（2分，2分，2分）、（2分，3分，1分）．

随堂练习随堂练习1、17名同学参加一次考试，考试题是三道判断题（答案只有对错之分），每名同学都在答题纸上依次写下三道题的答案．请问至少有几名同学的答案是一样的？【答案】

3名【解析】

所有学生的答案共种，，所以至少人答案相同．2、（金帆六年级秋季）4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．【答案】

将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．由于每人送出2件礼物，图中共有4×2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线．四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了2条线，即为所证结论．【解析】

将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．由于每人送出2件礼物，图中共有4×2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线．四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了2条线，即为所证结论．3、将1至6这6个自然数随意填在图241的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于8：________________________________．【答案】

，所以每行平均数为7，第一行最大为6，小于7，所以至少有一行大于7【解析】

如果三行中每行的数字和都小于8，那么每行的数字和只能都是7．在第一行中只有一个圆圈，必须要在其中填入数字7，但是我们可以选择的只有1至6，这就出现了矛盾．究其原因，“每行的数字和都小于8”是错误的，因此至少有一行的数字之和不小于8．4、888名学生站成一个圆圈，如果任意连续32人中，至多有9名男生，那么男生的人数最多有多少人？【答案】

249人【解析】

任意连续32个人中，至多有9名男生，可以根据男生出现的频率估算男生大致的人数：，因此男生人数最多为249人．另一方面，是否确实存在这样一种排队方式，确实存在249个男生？答案是肯定的，构造方法如下：（A表示男生，a表示女生）“AaaaAaaAaaaAaaAaaaAaaAaaaAaaAaaa”这个32人序列循环27次，再接上“AaaaAaaaAaaaAaaaAaaaAaaa”这个24人序列，最后围成环形，就是满足条件的排队方式．5、（金帆五年级春季）在任意的5个自然数中，是否必有其中三个数的和是3的倍数？【答案】

是【解析】

三个余数各不相同的数或三个余数相同的数的和是3的倍数．一个数除以3的余数有三种：0、1或2，五个数必然能找到三个数余数相同或余数不同，所以任意的5个自然数中，必有其中三个数的和是3的倍数．6、任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数．【答案】

按除以10的余数分类，构造如下6个抽屉：（0），（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）【解析】

如果任选的7个数中有两个数除以10的余数相同，则它们的差是10的倍数，题目的结论正确．如果任选的7个数除以10的余数各不相同，我们将它们按除以10的余数分组．一个数除以10的余数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，可以分成6组：（1，9）；（2，8）；（3，7）；（4，6）；0；5．由于7个数除以10的余数各不相同，根据抽屉原理，必有两个数除以10的余数属于同一组，这两个数的和是10的倍数．综上所述，题目的结论成立．课后作业课后作业1、从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12．【答案】

13个【解析】

按差是12分组，可分8组：（1,13）（2，14）……（8，20），还剩9、10、11、12四个数，每组可取1个，所以共需要取个．2、有三种图书：科技书、文艺书、故事书，每位同学可任借两本，问至少多少位同学借书，才能保证其中必有4人借的书类型相同？【答案】

19位【解析】

任意两本共种可能，要保证必有4人借的书类型相同，则至少位同学借书．3、（2012高思杯六年级）从1~24这24个数中，取出15个数，每个数最多只能取一次，并且要求这15个数中不存在一个数是另一个数2倍的情况，那么共有__________种满足条件的取法（数相同但顺序不同的，算同一种取法）．【答案】

428【解析】

根据数字之间的倍数关系，可将1~24按如下方式分组：（1、2、4、8、16），（3、6、12、24），（5、10、20），(7、14)，（9、18），（11、22），13，15，17，19，21，23．为了便于讨论，我们可以进一步进行分组：第一组：（1、2、4、8、16）；第二组：（3、6、12、24）；第三组：（5、10、20）；第四组：(7、14)，（9、18），（11、22）；第五组：13，15，17，19，21，23．我们从中取出15个数，有如下几类：（1）3+2+2+3+5（表示第一组取3个数，第二组取2个数，第三组取2个数，第四组取3个数，第五组取5个数）有种取法；（2）3+2+2+2+6有种取法；（3）3+2+1+3+6有种取法；（4）3+1+2+3+6有种取法；（5）2+2+2+3+6有种取法．综合上述：共有144+36+72+32+144=428种取法．4、至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数．【答案】

12【解析】

要使它们的差的个位与十位数字相同，只需差是11的倍数．按照除以11的余数把所有的两位数分成11组，它们除以11的余数分别是0，1，，10．如果从每组中选出一个数，就恰好选出了11个数，其中两两的差都不是11的倍数．如果选出12个数，根据抽屉原理，必有两个数属于同一组，那么这两个数的差就是11的倍数．因此本题的答案就是至少选出12个数．5、空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,请证明必存在一个同色三角形。【答案】

见解析【解析】

选定一点A，与它相连的有5条线段。根据抽屉原理，至少有3条同色，不妨设这3条均为红色，且另一端为B、C、D点。若三角形ABC、ABD、ACD不是同色三角形，则BC、BD、CD均为蓝色，因此三角形BCD为同色三角形。综上，必有同色三角形。6、有9个人，每人至少与另外5个人互相认识．试证明：可以从中找到3个人，他们彼此相互认识．【答案】

见解析【解析】

先取两个人A，B，他们相互认识，其它还有个人．根据题目条件，A至少与其它7个人中的个相互认识，B也至少与其它7个人中的4个相互认识，，，根据抽屉原理，7个人中必有一个人C与A和B都相互认识．因此，A，B，C三人彼此相互认识．7、边长为1的正三角形内，任意给出13个点，则必有___________个点，以它们为顶点的多边形的最长对角线不超过．【答案】

4【解析】

作三边中点并连接，将大正三角形氛围4个小正三角形，每个边长为，且小正三角形中任意两点距离不超过．根据抽屉原理，13个点中必有4个在同一小正三角形中，此4点组成