专题26枚举与筛选（解析）2

20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题26枚举与筛选知识精讲知识精讲专题简析：有些题目，因其所求的答案有多种，用算式不容易表示，需要采用一一列举的方法解决。这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况，最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。用列举法解题时需要掌握以下三点：1，列举时应注意有条理的列举，不能杂乱无章地罗列；2，根据题意，按范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏；3，排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。典例分析典例分析【典例分析01】有一张5元、4张2元和8张1元的人民币，从中取出9元钱，共有多少种不同的取法？分析：如果不按一定的顺序去思考，就可能出现遗漏或重复的取法。因此，我们可以按照从大到小、从少到多的顺序，先排5元的，再排2元的，最后排1元的，把可以组成9元的情况一一列举出来。从上面的列举中可以看出：取9元钱共有7种不同的取法。【典例分析02】有1、2、3、4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成多少个奇数？分析要组成的数是奇数，它的个位上应该是1或者3。当个位是1时，把能组成的三位数一一列举出来：321，421，231，431，241，341共6个；同样，个位是3的三位数也是6个，一共能组成6×2=12个。【典例分析03】在一张圆形纸片中画10条直线，最多能把它分成多少小块？分析：我们把所画直线的条数和分成的块数列成表进行分析：1＋1＋2＋3＋…＋10=56（块）【典例分析04】有一张长方形的周长是200厘米，且长和宽都是整数。问：当长和宽是多少时它的面积最大？当长和宽是多少时，它的面积最小？分析因为长方形的周长200厘米，所以，长方形的长＋宽=100厘米。由于长和宽都是整数，我们可以举例观察。可以看出：当长与宽都是50厘米时，它的面积最大；当长与宽的差最大，即长99厘米，宽1厘米时，面积最小。【典例分析05】从1到400的自然数中，数字“2”出现了多少次？分析：在1—400这400个数中，“2”可能出现在个位、十位或百位上。（1）“2”在个位上：2、12、22、…、92；102、112、122、…、192；202、212、222、…、292；302、312、…、392。共：10×4=40（次）（2）“2”在十位上：20、21、…、29；120、121、…、129；220、221、…、229；320、321、…、329。共10×4=40（次）（3）“2”在百位上：从200到299共100次。所以，数字“2”出现了10×4＋100=180（次）。真题演练真题演练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•历城区期末）要用甲、乙两辆车运30吨煤，甲车的载质量是6吨，乙车的载质量是4吨。如果每次运煤的车都装满，且两辆车都要参加运煤，下面方案（）能恰好运完这些煤。A．甲车5次，乙车0次 B．甲、乙各3次 C．甲车2次，乙车4次【思路引导】根据题意，分别计算出每个选项中甲、乙两辆车运煤多少吨，是否运完，即可得出结论。【规范解答】解：A．两辆车都要参加运煤，那么每辆车至少运煤1次，所以甲车5次，乙车0次，此方案不能恰好运完这些煤；B．6×3+4×3＝18+12＝30（吨），所以甲、乙各3次，此方案能恰好运完这些煤；C．6×2＝12（吨），4×4＝16（吨），12+16＝28（吨），28吨＜30吨，没有运完，所以甲车2次，乙车4次，此方案不能恰好运完这些煤。故选：B。【考点评析】本题主要考查优化问题，理清数量之间的关系，进而进行计算，得出结论。2．（2分）（2022秋•汝州市期末）赵羽有10元和5元的人民币若干张。他买文具要从中拿30元钱，有（）种不同的拿法。A．2 B．4 C．6【思路引导】利用列举的方法，组合成30元，最多有3张10元，据此列举即可。从都是5元的开始找，逐渐增加10元的张数，直到都是10元。【规范解答】解：（1）10元的3张；（2）10元的2张，5元2张；（3）10元1张，5元4张；（4）5元6张。答：有4种不同的拿法。故选：B。【考点评析】此题也可以设5元的有x张，10元的有y张，列出方程5x+10y＝30，据此求出x、y的正整数解的数量即可解答问题。3．（2分）（2021秋•河西区期末）（疑难点）三张卡片上面分别写着数字1，2，3从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列出来，可以组成不同的一位数、两位数、三位数，其中的质数共有（）个。A．4 B．5 C．9 D．15【思路引导】除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此解答即可。【规范解答】解：质数有：2、3、13、31、23，共有5个。答：其中的质数共有5个。故选：B。【考点评析】解答本题关键是明确质数的意义，注意按顺序列举。4．（2分）（2021秋•高邑县期末）箱子里有2个白球，2个黄球（球除颜色外完全相同），一次摸出两个球，可能有（）种结果。A．2 B．3 C．4【思路引导】一次摸出两个球，有两种情况：都是同一种颜色，或是不同的颜色；据此列举即可。【规范解答】解：有3种情况：白、白；黄、黄；白、黄。答：一次摸出两个球，可能有3种结果。故选：B。【考点评析】解答本题要注意：按顺序分类计数，防止遗漏。5．（2分）（2021秋•淮上区期末）有1克、2克和5克的砝码各一个。用其中的1个、2个或3个，放在天平的一端，能称出（）不同的质量。A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【思路引导】由题意可得：分三种情况，即第一种只放一个砝码，第二种放两个砝码，第三种放三个砝码，由此把每种情况能称出的质量列举出来，由此解答。【规范解答】解：由列举分析得：①1克②2克③5克④1克+2克⑤1克+5克⑥2克+5克⑦1克+2克+5克所以一共能称出7种不同的质量。故选：C。【考点评析】此题考查了学生列举和分析方面的知识以及学生的分析推理能力。二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）6．（2分）（2022秋•平昌县期末）小明、小花、小强在平时的50m短跑训练和比赛中，成绩相当，他们要进行一场短跑比赛，比赛一共有6种可能（不并列）。请你写出比赛可能出现的每一种结果：小明、小花、小强，小明、小强、小花，小花、小明、小强，小花、小强、小明，小强、小明、小花，小强、小花、小明。【思路引导】根据加法原理，不同排法有3+2+1＝6（种），列举出结果即可。【规范解答】解：3+2+1＝6（种）列举如下：小明、小花、小强，小明、小强、小花，小花、小明、小强，小花、小强、小明，小强、小明、小花，小强、小花、小明。答：一共有6种可能，每一种结果如下：小明、小花、小强，小明、小强、小花，小花、小明、小强，小花、小强、小明，小强、小明、小花，小强、小花、小明。故答案为：6；小明、小花、小强，小明、小强、小花，小花、小明、小强，小花、小强、小明，小强、小明、小花，小强、小花、小明。【考点评析】本题主要考查事物的排列与枚举，关键利用列举法解决问题。7．（2分）（2021秋•威县期末）一个袋子里有红球1个，黄球2个，绿球2个（球的形状、重量相同），从中任意拿出1个会有3种结果；任意拿出2个会有5种结果。【思路引导】任意摸出1个球，可能摸出3种颜色的球，也就是有3种可能结果。任意摸出2个球，利用枚举法，不重不漏地列举出所有的情况即可。【规范解答】解：从中任意拿出1个会有3种结果：红、黄、绿。任意拿出2个会有5种结果：2黄、2绿、1红1黄、1红1绿、1黄1绿。故答案为：3，5。【考点评析】此题主要使用了枚举法，要熟练掌握。8．（2分）（2021秋•邱县期末）一个口袋里装有2个红球，2个黄球，3个绿球，任意摸出1个球，有3种可能结果；任意摸出2个球，可能结果有：2红、2黄、2绿、1红1黄、1红1绿、1黄1绿。【思路引导】任意摸出1个球，可能摸出3种颜色的球，也就是有3种可能结果。任意摸出2个球，利用枚举法，不重不漏地列举出所有的情况即可。【规范解答】解：一个口袋里装有2个红球，2个黄球，3个绿球，任意摸出1个球，有3种可能结果；任意摸出2个球，可能结果有：2红、2黄、2绿、1红1黄、1红1绿、1黄1绿。故答案为：3，2绿，1红1绿，1黄1绿。【考点评析】此题主要使用了枚举法，要熟练掌握。9．（2分）（2021秋•雨花区期末）一起掷两颗，朝上的面的点数和有11种情况，点数和为11与点数和为3出现的可能性大小相同。【思路引导】根据题意，可知朝上的两个数字相加，和的情况会有36种，但不同的情况从2到12共11种，再观察点数和为11出现的次数与哪种情况的次数相等，据此解答即可。【规范解答】解：解：朝上的两个数字相加，和的情况会有36种，但不同的情况从2到12共11种；和为2，会出现1次；和为3，会出现2次；和为4，会出现3次；和为5，会出现4次；和为6，会出现5次；和为7，会出现6次；和为8，会出现5次；和为9，会出现4次；和为10，会出现3次；和为11，会出现2次；和为12，会出现1次；一起掷两颗，朝上的面的点数和有11种情况，点数和为11与点数和为3出现的可能性大小相同。故答案为：11，3。【考点评析】解决此题关键是先求出把两颗骰子同时扔出后，朝上的两个数字相加会有多少种情况，再分别求出从2到12的11种情况。10．（2分）（2021秋•相城区期末）有1元、10元和20元的纸币各一张，共能表示出7种不同的钱数。【思路引导】按照取不同张数组成的不同币值列举出来即可．【规范解答】解：可组成的币值为：（1）单张表示：1元，10元，20元，共3种；（2）任取两张：1元+10元＝11元，1元+20元＝21元，10元+20元＝30元，共3种；（3）任取3张：1元+10元+20元＝31元，有1种，所以能表示的不同钱数为：3+3+1＝7（种）．答：共能表示出7种不同的钱数。故答案为：7。【考点评析】解答此题的关键是，根据题意，能利用所给的币值，找出组成的不同币值时，一定不要重复和遗漏。11．（2分）（2022秋•周村区期末）元旦期间学校举行了趣味套圈活动，套中大熊玩具一次得4分，套中小熊玩具一次得2分，小明一共得了14分，他有4种不同的套中情况。【思路引导】根据题意，将14拆分成含有数字4和2的乘加算式即可得出答案。【规范解答】解：4+2×5＝4+10＝14（分）所以他可能套中1次大熊猫和5次小熊猫。4×2+2×3＝8+6＝14（分）所以他可能套中2次大熊猫和3次小熊猫。4×3+2×1＝12+2＝14（分）所以他可能套中3次大熊猫和1次小熊猫。2×7＝14（分）所以他可能套中7次小熊猫。所以他有4种套中的情况。故答案为：4。【考点评析】本题主要考查了用枚举的方法解决实际问题的能力。12．（2分）（2021秋•高邮市期末）现有1克、2克和5克的砝码各1个（左盘放置物品，右盘放置砝码），在天平上最多能称出7种不同的质量。【思路引导】分选择1个、2个或者3个砝码，找出其能组合成的所有的质量即可。【规范解答】解：（1）当只有一个砝码时，能称出1克、2克、5克的物体的质量，一共有3种；（2）当有2个或3个砝码时，1+2＝3（克）1+5＝6（克）2+5＝7（克）1+2+5＝8（克）所以可以称出4种不同质量的物体；综上所述，一共可以称出：3+4＝7（种）。答：在天平上最多能称出7种不同的质量。故答案为：7。【考点评析】此题主要考查了筛选与枚举问题，解答此题的关键是分别求出当只有一个砝码时，当有2个或3个砝码时，可以称出的质量分别有多少。13．（2分）（2021秋•扬州期末）现有10克、20克、50克的砝码各一个（砝码只能放在右盘），在天平上最多能称出8种不同的质量。【思路引导】首先根据题意，可得用这3个砝码在天平上可以称出的最小的质量是10克，可以称出的最大的质量是10+20+50＝80（克），然后逐一判断出用这3个砝码在天平上可以称出10克、20克、……80克，一共可以称出8种不同的质量，据此解答即可。【规范解答】解：10克、20克、50克的砝码各一个可以直接称出，10克、20克、50克10+20＝30（克）10+50＝60（克）20+50＝70（克）10+20+50＝80（克）50﹣10＝40（克）所以共有8种；答：最多可以称出8种不同的物体。故答案为：8。【考点评析】此题主要考查了筛选与枚举问题的应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，注意不能多数、漏数。14．（2分）（2021秋•柞水县期末）有三张扑克牌，分别是梅花6、红桃8和黑桃3．从三张中任意取出两张，它们的差有3种可能．【思路引导】首先根据题意，求出6、8、3任意两个数的差是多少，然后判断出从三张中任意取出两张，它们的差有几种情况即可．【规范解答】解：因为8﹣6＝2，8﹣3＝5，6﹣3＝3，所以6、8、3任意两个数的差有3种情况：2、3、5，所以从三张中任意取出两张，它们的差有3种．答：它们的差有3种．故答案为：3．【考点评析】此题主要考查了筛选与枚举问题的应用，解答此题的关键是求出6、8、3任意两个数的差分别是多少．15．（2分）（2021秋•莱州市期末）小强有5元和2元的人民币若干张，他要买一本价格39元的书，有4种不同的付钱方法。【思路引导】把39拆分成5的倍数和2的倍数的和即可找出不同的付钱方法。【规范解答】解：39＝5×7+2×2＝5×5+2×7＝5×3+2×12＝5×1+2×17所以可以用5元的人民币7张和2元的人民币2张或5元的人民币5张和2元的人民币7张或5元的人民币3张和2元的人民币12张或5元的人民币1张和2元的人民币17张，共4种不同付钱方法。答：有4种不同的付钱方法。故答案为：4。【考点评析】本题主要考查了整数拆分的灵活应用。三．应用题（共14小题，满分60分，每小题5分）16．（5分）（2022秋•东台市期末）王老师和李老师带领36名学生去东台市素质教育实践基地参加实践活动，晚上住宿有6人间和4人间，如果规定每间都住满，先在表中列举出所有不同的可能，再填空。6人/间1354人/间852一共有3种住宿方法。【思路引导】总人数是38人，然后把38拆分为几个6与几个4的和即可。【规范解答】解：36+2＝38（人）38＝6+4×8＝6×3+5×4＝5×6+4×26人/间1354人/间852所以一共有3种住宿方法。故答案为：1、3、5；8、5、2；3。【考点评析】本题考查了整数的拆分，关键是明确拆分方法。17．（5分）（2022秋•莱芜区期末）超市现有4节装和6节装两种不同包装的电池。要购买26节这种电池，可以有多少种不同的买法？请你用合适的方式把所有不同的买法都列举出来吧。【思路引导】利用列举法找到符合题意的购买方法即可。【规范解答】解：要购买26节这种电池，可以买5袋4节装的和1袋6节装或2袋4节装和3袋6节装，共2种不同的买法。答：可以有2种不同的买法。【考点评析】本题主要考查最优惠问题，关键利用列举法解答。18．（5分）（2021秋•盐城期末）王叔叔用24根1米长的木条围一个长方形花圃，一共有几种不同的围法？面积最大是多少平方米？【思路引导】根据题意，用24根1米长的木条围一个长方形花圃，则长方形的长和宽的和是24÷2＝12（米），然后利用列举法分别列举和是12米的长和宽的值（都是整数），利用长方形面积公式：S＝ab，计算其面积即可。【规范解答】解：24÷2＝12（米）12＝11+1＝10+2＝9+3＝8+4＝7+5＝6+611×1＝11（平方米）10×2＝20（平方米）9×3＝27（平方米）8×4＝32（平方米）7×5＝35（平方米）6×6＝36（平方米）长/米11109876宽/米123456面积/平方米112027323536答：一共有6种不同的围法，面积最大是36平方米。【考点评析】本题主要利用列举法解决问题，注意长方形的长和宽的和是24÷2＝12（米）。19．（5分）（2018秋•沈河区期末）淘气有2角和5角的邮票共24张，总值6.9元，2角和5角的邮票各有多少张？请用列表的方法解决问题。【思路引导】根据题意，利用列举法，从2角和5角各12张进行列举，根据钱数，找到符合题意的张数。【规范解答】解：序号2角/张5角/张总值/元112128.421687.231776.9答：2角的邮票有17张，5角的邮票有7张。【考点评析】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用列举法进行分析，或用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。20．（5分）（2020秋•南山区期中）五一班45名同学去秋游，分组游玩时，要求每组人数相等，并且每组至少有2人，可以分成几组，每组多少人？有几种分法？请列出算式说明。【思路引导】求有几种分法，即求45的因数有多少，根据找一个数因数的方法，列举出45的所有因数，根据因数的个数，并结合题意，即可得出分法共有多少种。【规范解答】解：45＝3×3×5所以45的因数有：1、3、5、9、15、45，①3×15＝45可以分成3组，每组15人，或分成15组，每组3人；②5×9＝45可以分成5组，每组9人，或分成9组，每组5人。答：有四种分法：分成3组，每组15人；分成15组，每组3人；分成5组，每组9人；分成9组，每组5人。【考点评析】此题考查了因数倍数问题，应明确45的因数的个数，是解答此题的关键。21．（5分）（2020秋•南通期末）2名老师带14名同学去划船。有大船和小船两种，每条大船可以坐4人，每条小船可以坐2人。如果要租船，且都全部坐满，那么可以怎样租？请列举出来。大船/条01234小船/条86420【思路引导】先考虑租几条大船，大船坐满后，用剩下的人数除以每条小船能坐的人数，就是租小船的条数，如果有余数，说明这样租船不能每条船都刚好坐满，没有余数则可以这样租船。【规范解答】解：2+14＝16（名）大船/条01234小船/条86420故答案为：0，8；1，6；2，4；3，2；4，0。【考点评析】解答此题时可以先考虑租几条大船，看剩下的人租几条小船是否能刚好坐满。22．（5分）（2020秋•苏州期末）用三种重量分别为1克、2克和5克的砝码各1个，可以称出多少种不同的重量？【思路引导】分别考虑砝码放一边、砝码放两边的情况：单独用或分别用各种不同重量的砝码结合，计算出用这些砝码一共可以称出多少种不同的重量即可。【规范解答】解：（一）砝码放在一边时：①使用1个砝码：1克，2克，5克；3种重量；②使用2个砝码：3克（1克+2克），6克（1克+5克），7克（2克+5克），3种不同的情况；③使用3个砝码：8克（1克+2克+5克）1种情况；（二）砝码放在两边时：①使用2个砝码，还可以称出的不同重量有：4克（5克﹣1克），1种不同的重量；②使用3个砝码：没有不同的重量。一共可以称出：3+3+1+1+0＝8（种）答：可以称出8种不种重量的物体。【考点评析】本题关键是找出砝码不在天平的同一侧的情况，用较重一边的砝码的重量减去较轻一边砝码的重量就是物体的重量。23．（5分）（2020秋•亭湖区期末）用24个边长1厘米的小正方形拼成长方形，一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。长/厘米宽/厘米（1）一共有多少种不同的拼法？（2）在所有不同的拼法中，长方形的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？【思路引导】（1）根据题干要求，利用列举法找出不同的拼法。（2）利用长方形周长公式：C＝（a+b）×2，分别计算各种拼法拼成发长方形的周长，比较即可得出结论。【规范解答】解：（1）长/厘米241286宽/厘米1234答：一共有4种不同的拼法。（2）（24+1）×2＝25×2＝50（厘米）（12+2）×2＝14×2＝28（厘米）（8+3）×2＝11×2＝22（厘米）（6+4）×2＝10×2＝20（厘米）50＞28＞22＞20答：长方形的周长最大是50厘米；最小是20厘米。【考点评析】本题主要考查图形的拼组，关键利用列举法解题。24．（5分）（2020秋•宁化县期中）一起掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体。（1）朝上面两个数字的和不可能是几？【写3个即可】（2）它们的和都有哪些？【写完整】【思路引导】（1）根据正方体的特点，掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体，正面朝上的数字其和不可能是超过12的数，不可能是：13、14、15。（2）掷两个质地均匀、各面分别标有数字1～6的正方体，朝上的两个数字的和可能是：1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，1+5＝6，1+6＝7；2+2＝4，2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8；3+3＝6，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9；4+4＝8，4+5＝9，4+6＝10；5+5＝10，5+6＝11，6+6＝12。【规范解答】解：（1）朝上面两个数字的和不可能是13、14、15。（答案不唯一。）（2）朝上面两个数字的和可能是：1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，1+5＝6，1+6＝7；2+2＝4，2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8；3+3＝6，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9；4+4＝8，4+5＝9，4+6＝10；5+5＝10，5+6＝11，6+6＝12。【考点评析】本题主要考查利用枚举法解决问题的方法，注意不要重复和遗漏。25．（5分）（2017秋•海安县校级期末）一只口袋中有红色、黄色、绿色玻璃球各若干个（每种至少3个），从中随意摸出3个玻璃球，一共会有多少种不同的组合？（列表列举）【思路引导】摸出的每一个玻璃球可能是红色、黄色、绿色玻璃中的任意一种，由此列出表格找出所有的组合进行求解即可．【规范解答】解：列表如下：种数可能的组合13个红色22个红色1个黄色32个红色1个绿色43个黄色52个黄色1个红色62个黄色1个绿色73个绿色82个绿色1个红色92个绿色1个黄色101个绿色一个红色1个黄色答：一共会有10种不同的组合．【考点评析】在列表时要按照一定的顺序进行，做到不重复，不遗漏；注意本题只是求所有的组合数，不考虑它们的顺序．26．（5分）（2019•益阳模拟）张华有1元和2元的人民币若干张，他要拿出15元（不能只拿一种面值的人民币），有多少种不同的拿法？（用列表法解答）【思路引导】因为不能只拿一种面值的人民币，所以2元的人民币至少要拿1张，若拿1张2元的，则还需要13张1元，若拿