第16讲等差与等比数列综合应用（讲义）原卷版

第16讲等差与等比数列综合应用【知识梳理】等差等比数列的性质是数列的基础，而等差等比数列的性质再某些方面又具有一些共同的类似性质，掌握好等差等比数列的性质为后续数列的性质的探究提供了一些思维方法。在学习过程中注意性质的对比以及数列前n项和中的两种重要的思想错位相减和倒序相加的应用。【例题解析】知识点一：等差等比数列基本性质例1．数列满足,.（1）求的值；（2）求数列前项和..例2．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．求证：点在同一条直线上；过点作直线，设与的夹角为θ，求证：.例3．已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。例4．设是各项为正数且公差为d的等差数列（1）证明：依次成等比数列；（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；知识点二：数列的最值与单调性例1．已知数列是等差数列，满足，数列的前n项和是，且.（1）求数列及数列的通项公式；（2）设，求数列中的最大项．例2．已知等差数列的前n项和为，，正项数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若对n∈N*均成立，求实数的取值范围．例3．设是首项为4、公差不为0的等差数列的前n项和，是与的等比中项.求数列的通项公式；求使得成立的最大的n的值.知识点三：数列的通项公式与前n项和例1．已知数列满足，且成等差数列.（1）求的值和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.例2．已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.例3．设数列的前n项和为，.求数列的通项公式；求数列的前n项和；对数列，从第几项开始，.例4．已知定义在R上的函数，对任意实数都有，且.（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；（2）设对任意正整数，有．若不等式对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．知识点四：等差等比数列的综合应用例1．在数列中，设，并且连续的三项满足：当n为奇数时，它们成等比数列；当n为偶数时，它们成等差数列，现将数列的各奇数项，按照n从小到大的顺序依次取出，作出一个新数列，求新数列的通项公式.例2．平面直角坐标系中，已知点在函数的图像上，点在直线上.(1)若点与点重合，且，求数列的通项公式；(2)证明：当时，数列中任意三项都不能构成等差数列；(3)当时，记，，设，将集合的元素按从小到大的顺序排列组成数列，写出数列的通项公式.例3．给定数列，记该数列前项中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，即；（1）对于数列：3,4,7,1，求出相应的（2）若是数列的前项和，且对任意有其中为实数，且．①设证明数列是等比数列；②若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．例4．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，．若，求点的坐标；(2)若点的坐标为，求的最大值及相应的值例5．已知两个无穷数列分别满足，，其中，设数列的前项和分别为，（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”=1\*GB3①若数列为“5坠点数列”，求；=2\*GB3②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由。【反思总结】对于等差等比数列的性质要做到熟练运用，在解题的时候能利用定义法证明一个构造好的数列是否为等差或等比数列，在证明等比数列的过程中不忘判断首先是否为0的情况；另外数列的函数思想也是数列中比较常见的一种类型，要能够从函数的角度去求数列的解析式，单调性等问题，分析所给函数解析式或函数性质从而得出递推关系是，然后化到我们所熟悉的类型上来解决。就数列的综合性题目以及新题型问题，注意分析题目，充分利用题目中所给条件，数字从小到大，合理猜想，善于利用计算器进行辅助。【过关检测】一、单选题1．（2019·浦东新区·上海师大附中高三一模）已知函数，各项均不相等的数列满足．令．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列，使得；(2)若数列的通项公式为，则对恒成立；(3)若数列是等差数列，则对恒成立．其中真命题的序号是（）A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(1)(2)(3)二、填空题2．（2020·上海奉贤区·高三二模）已知等差数列的各项不为零，且、、成等比数列，则公比是________3．（2020·上海高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量，则的最大值是__________4．（2020·上海师大附中高三期中）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则________.三、解答题5．（2021·上海位育中学高三开学考试）对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.（1）已知数列：，，是“K数列”，求实数的取值范围；（2）设等差数列的前项和为，当首项与公差满足什么条件时，数列是“K数列”？（3）设数列的前项和为，，且，.设，是否存在实数，使得数列为“K数列”.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.6．（2021·上海南洋中学高三月考）已知数列的前项和为，把满足条件（对任意的）的所有数列构成的集合记为.（1）若数列的通项为，判断是否属于，并说明理由；（2）若数列的通项为，判断是否属于，并说明