专题25函数（能力提升卷）（北师大版2019）

专题2.5函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·福建·上杭一中高一阶段练习）已知函数fx+2的定义域为−3,4，则函数gx=A．13,4 B．13,2 C．【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数f(x+2)的定义域为(−3,4)，所以f(x)的定义域为(−1,6).又因为3x−1>0，即x>13，所以函数g(x)的定义域为故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）已知f2x−1=4x2+3A．x2−2x+4 B．x2+2x C．【答案】D【分析】利用换元法求解函数解析式.【详解】令t=2x−1，则x=t+12，所以f(x)=x故选：D.3．（2022·河南·沈丘县长安高级中学高三阶段练习（理））若函数fx+1x=x2+A．6 B．6或−6 C．−6【答案】B【分析】令x+1x=t，配凑可得f【详解】令x+1x=t（t≥2或t≤−2），x2+1x故选；B4．（2022·全国·高三专题练习）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．【答案】C【分析】当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据fx的值域包含0,+【详解】当a=0时，y=4x+1≥0，即值域为若a≠0，设fx=ax2+4x+1∴a>0Δ=16−4a≥0综上所述：a的取值范围为0,4.故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f−x.若f−A．−53 B．−13 C．【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f5【详解】由题意可得：f5而f2故f5故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.6．（2022·安徽·定远县育才学校高一阶段练习）已知函数f(x)=ax−1x−a在(2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（A．(−∞，−1)∪(1，+∞) B．(−1,1)C．(−∞，−1)∪(1，2] D．(−∞，−1)∪(1，2)【答案】C【分析】先用分离常数法得到f(x)=a2−1【详解】解：根据题意，函数f(x)=ax−1若f(x)在区间(2,+∞)上单调递减，必有a2解可得：a<−1或1<a⩽2，即a的取值范围为(−∞，−1)∪(1，2]，故选：C．7．（2020·海南·高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（

）A．[−1,1]∪[3,+∞) B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞) D．[−1,0]∪[1,3]【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以由xf(x−1)≥0可得：x<0−2≤x−1≤0或x>00≤x−1≤2解得−1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.8．（2021·江苏·高一单元测试）已知实数a，b，c，d满足a>b>c，且a+b+c=0，ad2+2bd−b=0，则dA．−∞,−1∪0,+∞ C．−2,2【答案】D【分析】先求解出方程的解d1,2，然后利用换元法（t=ba）将d表示为关于t的函数，根据条件分析t的取值范围，然后分析出d关于t【详解】因为ad2+2bd−b=0，所以d令ba=t，则d1,2=−t±t又因为a+b+c=0且a>b>c，所以a>0且c=−a−b<b<a，所以−a<2b,b<a，所以−12<当t∈0,1时，d因为y=1t在0,1上单调递减，所以y=−t+t当t=0时，d1=0，当t=1时，d1当t∈0,1时，d因为y=t、y=t2+t在0,1上单调递增，所以y=−t−当t=0时，d2=0，当t=1时，d2综上可知：d∈−1−故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于构造函数方法的使用，通过方程根的计算以及换元方法的使用将多变量问题转化为单变量问题，最后通过函数的性质解决问题.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高一阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．y=|x|x与y=1 B．y=C．y=(x)2x与y=【答案】CD【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：函数y=|x|x的定义域为x≠0，函数y=1定义域为对于B：函数y=(x−1)2定义域为R，化简可得y=x−1对于C：函数y=(x)2x定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，函数y=对于D：函数y=x3+xx2+1定义域为故选：CD10．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高三阶段练习）关于函数fx=xA．fx的定义域为−1,0∪0,1 B．C．fx在定义域上是增函数 D．f【答案】ABD【解析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得fx的定义域，可判断A；化简fx，讨论0<x≤1，−1≤x<0，分别求得fx的范围，求并集可得fx的值域，可判断B；由【详解】对于A，由x2−x4≥0可得函数fx=x对于B，由A可得fx=x当0<x≤1可得fx当−1≤x<0可得fx=1−对于C，由f−1=f1=0，则对于D，由fx=xf−x=x故选：ABD【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.11．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy，当A．fB．fxC．fx在区间m,n上有最大值fD．fx−1+f【答案】ABD【分析】令x=y=0可判断A选项；令y=−x，可得fx+f−x=f0=0，得到f−x=−fx可判断B选项；任取x根据单调性的定义得到函数fx在R上的单调性，可判断C选项；由fx−1+fx2【详解】对于A选项，在fx+y=fx+fy中，令x=y=0对于B选项，由于函数fx的定义域为R，在fx+y=fx+fy中，令y=−x，可得对于C选项，任取x1，x2∈R，且x1所以fx1−fx2=fx1+f−x对于D选项，由fx−1+fx2−1>0可得fx2−1故选：ABD．12．（2022·全国·高一课时练习）若函数f(x)在定义域内D内的某区间M是增函数，且f(x)x在M上是减函数，则称f(x)在M上是“弱增函数"，则下列说法正确的是（

A．若f(x)=x2,则不存在区间MB．若f(x)=x+1x,则存在区间MC．若f(x)=x5+x3D．若f(x)=x2+(4−a)x+a在区间【答案】ABD【解析】A.y=f(x)B.f(x)=x+1C.由f(x)=x5+x3+x的奇偶性和单调性，可判断其在R上为增函数.y=f(x)x=D.可结合二次函数和双勾函数单调性作出判断.【详解】A.f(x)=x2,f(x)x=xB.f(x)=x+1x在[1,+∞)上为增函数，y=f(x)故f(x)=x+1x存在区间M使C.f(x)=x5+x3+x为奇函数，且x≥0时，y=f(x)x=x4+xD.若f(x)=x2+(4−a)x+a在区间(0,2]上是“弱增函数”，则f(x)=x2+(4−a)x+a又y=f(x)x=x+(4−a)+ax在综上有a=4故选：ABD【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021·浙江·高考真题）已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2x−3【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】ff6=f故答案为：2.14．（2018·上海市延安中学高一期中）已知函数fx是偶函数，且当x>0时，fx=x1−x，则当【答案】−x(1+x)【分析】设x<0,则−x>0,当x>0时,fx=x1−x于是可求得f−x,再利用偶函数【详解】设x<0,则−x>0∴f根据偶函数f∴fx=f故答案为:−x1+x【点睛】已知函数的奇偶性求解析式,将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出fx15．（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知fx=(3a−1)x+4a,x<1【答案】1【分析】利用函数在R上是减函数，可列出不等式组3a−1<03a−1+4a⩾−1+1，由此求得【详解】由于fx=(3a−1)x+4a,x<1求得17故答案为：1716．（2021·江苏·高一专题练习）设函数fx=x,x≤1,【答案】−3,3【分析】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.【详解】由函数解析式知f(x)在R上单调递增，且−f(2)=−2=f(−2)，则f1−由单调性知1−x>−2故答案为：−3,3【点睛】关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx【答案】(1)奇函数(2)既不是奇函数也不是偶函数(3)既是奇函数又是偶函数(4)偶函数【分析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.（1）fx的定义域是−又f−x=−x（2）因为fx的定义域为−1,1所以fx（3）因为fx的定义域为−3,则fx（4）方法一（定义法）

因为函数fx的定义域为R，所以函数f①当x＞1时，−x<−1，所以f−x②当−1≤x≤1时，fx③当x<−1时，−x>1，所以f−x综上，可知函数fx方法二（图象法）

作出函数fx的图象，如图所示，易知函数f18．（2022·全国·高一单元测试）函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x（1）求函数f(x)在x∈(−∞,0)的解析式；（2）当m>0时，若|f(m)|=1，求实数m的值．【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）1【分析】（1）根据偶函数的性质，令x∈(−∞,0)，由f(x)=f(−x)即可得解；（2）m>0，有m2【详解】（1）令x∈(−∞,0)，则−x∈(0,+∞)，由f(x)=f(−x)，此时f(x)=x（2）由m>0，|f(m)|=m所以m2解得m=1或m=1+2或m=1−19．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)=x+4(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间[2,+∞)上为增函数;(2)解不等式fx【答案】(1)证明见解析;(2)[−1,3].【解析】（1）通过计算fx1−fx2（2）利用fx【详解】（1）fx的定义域为x|x≠0.任取0<x1<x2，则当x1,x2∈[2,+∞)时，x1x2−4>0（2）由于x2−2x+4=x−12+3≥3，且由（1）知f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，所以由fx2【点睛】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.20．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx为R上的偶函数，当x⩾0时，f(1)求fx(2)求fx在t,t+2t∈R的最大值【答案】(1)f(x)={x2【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）根据偶函数的性质，结合函数f(x)在(−∞,0)单调递减，在[0,+∞（1）设x<0，则−x>0，且有f(−x)=(−x)由于函数f(x)为R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，因此x<0时，f(x)=x所以f(x)的解析式为f(x)={x（2）由函数y=x2−2x−3在(−∞,0)单调递减，函数y=x2+2x−3在当t+2≤0，即t≤−2时，f(x)在[t,t+2]单调递减，故M(t)=f(t)=t当t<0<t+2，即−2<t<0时，f(x)在[t,0)单调递减，在[0,t+2]单调递增，若f(t)>f(t+2)，即−2<t<−1，则M(t)=f(t)=t若f(t)≤f