专题07拿高分题目强化卷（第三篇）

冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷第一期【北京版】专题73月一模精选压轴卷（第7卷）1．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连接，依题可知四边形的对角线互相平分，则四边形为平行四边形，由可得，依题可知，由余弦定理可得：，即，又因为点在椭圆上，则，所以，两式相减得，即，所以的面积为：．因为为的中点，所以，故选A．2．甲、乙、丙、丁四位生物学专家在筛选临床抗病毒药物，，，时做出如下预测：甲说：和都有效；乙说：和不可能同时有效；丙说：有效；丁说：和至少有一种有效．临床试验后证明，有且只有两种药物有效，且有且只有两位专家的预测是正确的，由此可判断有效的药物是（）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【解析】假设甲、乙预测正确，则有效药物为，可知丁预测也正确，不合题意；假设甲、丙预测正确，则有效药物为，不合题意；假设甲、丁预测正确，则有效药物为，可知乙预测也正确，不合题意；假设乙、丙预测正确，则有效，可知丁预测也正确，不合题意；假设乙、丁预测正确，若均有效，或无效，有效，则丙预测也正确，不合题意；若有效，无效，则至少一个有效，若有效，则甲预测也正确，不合题意；若有效，则甲、丙预测均错误，此时有效药物为，预测正确的专家为乙和丁，满足题意；假设丙、丁预测正确，若均有效，则乙预测也正确，不合题意；若有效，无效，则至少一个有效，乙预测也正确，不合题意．综上所述：有效药物为，故选．3．在中，是边的中点．若，则的长等于；若，则的面积等于．【答案】742【解析】（1）依题在中，是的中点，∴∴．又，∴，∴，∴的长等于．（2）在中，由正弦定理有：，∴．在中，由正弦定理有：，∴．∵是的中点，则，，∴，∴即，∴．当时，．当时，不符合题意，∴的面积为：．故答案为：（1）；（2）．4．已知函数，则下面三个命题中，所有真命题的序号是．①函数是偶函数；②任取一个不为零的有理数，对恒成立；③存在三个点使得为等边三角形．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分．【答案】①②③【解析】必然是有理数0或1．（1）当，则；当，则，很显然函数=∴函数是偶函数，∴①正确；（2）任取一个不为零的有理数，当，则；当，则，很显然函数，∴②正确；（3）设，，，此时为等边三角形，∴③正确．5．（本小题15分）已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）解：．依题意，令，解得．经检验，时，符合题意．（Ⅱ）解：①当时，，故的单调增区间是；单调减区间是．②当时，令，得，或．当时，与的情况如下：↘↗↘∴的单调增区间是；单调减区间是和．当时，的单调减区间是．当时，，与的情况如下：↘↗↘∴的单调增区间是；单调减区间是和．③当时，的单调增区间是；单调减区间是．综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．当时，在的最大值是，由，知不合题意．当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．∴在上的最大值是时，的取值范围是．6．（本小题14分）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切．切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．【解析】（1）解：设，由题意得，，，而得：①，又过②，∴由①②得：，；∴椭圆的方程：；（2）解：由（1）得，设，，则直线的方程，令，则，∴的坐标，直线的方程：，令，，∴坐标，（圆的切割线定理），再联立，．7．（本小题14分）给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，an变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|an﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为Tk（ck），其中ck为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）为“k次归零变换”．（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；（2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；（3）对于数列1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由．【解析】（1）方法1：T1（4）：3，1，1，3；T2（2）：1，1，1，1；T3（1）：0，0，0，0．方法2：T1（2）：1，1，3，5；T2（2）：1，1，1，3；T3（2）：1，1，1，1；T4（1）：0，0，0，0．．…（2）证明：经过k次变换后，数列记为，k＝1，2，…．取，则，即经T1（c1）后，前两项相等；取，则，即经T2（c2）后，前3项相等；…设进行变换Tk（ck）时，其中，变换后数列变为，则；那么，进行第k+1次变换时，取，则变换后数列变为，显然有；…经过n﹣1次变换后，显然有；最后，取，经过变换Tn（cn）后，数列各项均为0，∴对任意数列，都存在“n次归零变换”．（3）解：不存在“n﹣1次归零变换”．证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换Tj（cj）时，cj＜min{a1，a2，…，an}，那么此变换次数便不是最少．这是∵，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行Tj（cj）后，再进行Tj+1（cj+1），由||ai﹣cj|﹣cj+1|＝|ai﹣（cj+cj+1）|，即等价于一次变换Tj（cj+cj+1），同理，进行某一步Tj（cj）时，cj＞max{a1，a2，…，an}；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的ci满足min{a1，a2，…，an}≤ci≤max{a1，a2，…，an}．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n﹣1次归零变换”．（1）当n＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立．（由（2）可知，存在“两次归零变换”变换：）（2）假设n＝k时成立，即1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次归零变换”．当n＝k+1时，假设1，22，33，…，kk，（k+1）k+1存在“k次归零变换”．此时，对1，22，33，…，kk也显然是“k次归零变换”