期末专题01解三角形大题综合-2022-2023学年高一数学下学期期末考试真题必刷满分训练

期末专题01解三角形大题综合（北京专用）一、解答题1．（2022春·北京延庆·高一统考期末）已知中，.(1)求的大小；(2)若，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换可得，进而即得；（2）利用余弦定理即得.【详解】（1）∵中，，∴，∴，又，∴，又，∴；（2）∵，，∴，∴，解得或（舍去）∴.2．（2022春·北京·高一统考期末）在中，角所对的边分别为，若，，.(1)求的值；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理将角化边，即可得到，再利用余弦定理计算可得；（2）首先求出，再根据面积公式计算可得.(1)解：因为，由正弦定理可得，由余弦定理，即，解得或（舍去）.(2)解：由（1）可得，所以.3．（2022春·北京延庆·高一统考期末）已知中，.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件利用正弦定理可求出，（2）由（1）求出角，再利用三角形面积公式可求出的面积(1)在中，，由正弦定理得，，所以，得，因为，所以(2)在中，，，所以，因为，所以4．（2022春·北京·高一期末）在△中，，.(1)如果，求的值；(2)如果锐角△的面积为，求的长度.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据面积公式可得，再根据余弦定理可得【详解】（1）由正弦定理，可得.因为，所以，所以，所以.（2）由题意知，，可得.在锐角中，.由余弦定理，.所以.5．（2022春·北京·高一统考期末）在中，所对的边分别为，且，，.(1)求的大小；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求出的值，再根据角的取值范围即可求解；（2）由已知及（1）问结论，利用两角和的正弦公式可得，再根据正弦定理即可求解.(1)解：因为，所以由余弦定理可得，又，所以；(2)解：由（1）知，由正弦定理，得.6．（2021春·北京延庆·高一统考期末）在中，，，，是钝角.（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得.（Ⅱ）先求得，然后利用正弦定理求得.【详解】（Ⅰ），，，

，，，

是钝角，.

（Ⅱ），

，

.7．（2021春·北京大兴·高一校考期末）在中内角，，的对边分别是，，，已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由正弦定理即可求出；（Ⅱ）先根据内角和定理求出角，再由三角形面积公式即可求出．【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，所以．（Ⅱ）因为，又，所以，所以是锐角，，，．8．（2022春·北京丰台·高一统考期末）在中，．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理计算可得；【详解】（1）解：因为，即由余弦定理，因为，所以；（2）解：因为，，，由正弦定理，即，所以；9．（2022春·北京昌平·高一统考期末）在中，，，．(1)求和的值；(2)求BC边上的高．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）首先利用余弦定理和条件可求出的值，然后利用正弦定理可得的值；（2）BC边上的高为，即可算出答案.(1)因为，，，所以由余弦定理得，所以，解得，所以，所以由正弦定理可得，；(2)BC边上的高为.10．（2022春·北京西城·高一统考期末）在中，，，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件.(1)求的值；(2)求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，由余弦定理求出，再由正弦定理代入即可求出答案；选②，由由两角和的正弦公式代入即可求出答案；选③，由正弦定理求出，再由由两角和的正弦公式代入即可求出答案；（2）选①或③，直接由面积公式代入即可得出答案；选②，，由正弦定理求出，再由由面积公式代入即可得出答案.(1)由题知，三角形为钝角三角形选①，由余弦定理得：，解得：，所以由正弦定理得：.选②，因为，所以，所以选③，由正弦定理得：，所以，所以.(2)选①，因为，，所以的面积为：选②，由正弦定理得：，.选③，因为，，，所以.11．（2021春·北京昌平·高一统考期末）在中，，.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(Ⅰ)的大小；(Ⅱ)和的值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析.【分析】选择①:(Ⅰ)利用正弦定理及大边对大角，即可求出的值；(Ⅱ)根据可得，利用同角三角函数关系求出，再利用三角形内角和定理及两角和的余弦公式，即可求出，再利用正弦定理或余弦定理并结合解方程即可求出的值.选择②：(Ⅰ)利用正弦定理可求出，再由可确定的范围，从而可得的值；(Ⅱ)根据可得，利用同角三角函数关系求出，再利用三角形内角和定理及两角和的余弦公式，即可求出，然后求出，再利用正弦定理或余弦定理即可求出的值.【详解】解：选择①：.（1）在中，因为，，所以由正弦定理得，因为，所以，所以，所以.（Ⅱ）因为，所以，所以.因为，所以.所以.法一：所以，由正弦定理得，即，因为，所以.法二：因为，所以.因为，所以.所以.所以，所以.所以.（或，即）所以或，因为，所以（舍），所以.解：选择②：.（Ⅰ）在中，因为，，所以由正弦定理得.在中，，所以，所以.（Ⅱ）因为，所以，所以，因为，所以，所以，.法一：所以，因为，所以，由正弦定理得，所以.法二：因为，所以，所以，所以，所以.12．（2021春·北京延庆·高一统考期末）在中，三内角所对的边分别为，，.（Ⅰ）若，求边上的高；（Ⅱ）若，求的面积；（Ⅲ）求周长的最大值.【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）先求得三角形的面积，然后利用等面积法求得边上的高.（Ⅱ）结合余弦定理求得，由此求得三角形的面积.（Ⅲ）结合余弦定理以及基本不等式求得的最大值，由此求得三角形周长的最大值.【详解】（Ⅰ），设边上的高为，，.（Ⅱ），，，，，，，.（Ⅲ），，，，，，，，，当且仅当时，等号成立.，，，当且仅当时，，此时周长的最大值等于.13．（2021春·北京·高一校考期末）在中，角所对应的边分别为，向量，且（1）求角（2）若，判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形，【分析】（1）利用坐标表示，再利用辅助角公式化简结合角的范围即可求角；（2）利用正弦定理化边为角，结合，将关系式转化为关于角的方程，进而可得角，再利用三角形的内角和可得角，即可判断的形状.【详解】（1）因为向量，且，所以，即，所以，可得，因为，所以，所以，所以；（2）因为，由正弦定理可得：，因为，所以，即,所以，整理可得，所以，所以，因为，所以，所以或，所以或，当时，，可得，此时是直角三角形，当时，，可得，此时是直角三角形，综上所述：是直角三角形，14．（2021春·北京·高一校考期末）在中，角所对应的边分别为，，时，（1）若，求（2）记（i）当为何值时，使得有解；（写出满足条件的所有的值）（ii）当为何值时，为直角三角形（iii）直接写出一个满足条件的值，使得有两解【答案】（1）；（2）（i）；（ii）或；（iii）（答案不唯一）【分析】（1）在中，由余弦定理即可求解；（2）（i）利用正弦定理将表示成关于角的三角函数求值域即可求解；（ii）分和结合锐角三角函数即可求解；（iii）中，、两点固定，点运动，数形结合即可求解.【详解】（1）在中，由余弦定理可得：，即，所以，解得：或（舍）（2）（i）由正弦定理可得记，因为，所以，所以，所以当时，使得有解，（ii）若，则，所以，若，则，所以，所以或时，为直角三角形，（iii）如图：当点在线段和线段(不含端点)时，即或时，有两解，所以，所以所以可以取满足条件.15．（2021春·北京顺义·高一统考期末）在中，，.（1）若，求的值；（2）若，求角的大小和的面积.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）本题可通过余弦定理得出结果；（2）本题可根据求出，根据求出，然后根据即可求出，再然后根据求出，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）由余弦定理易知，，整理得，解得或（舍去），，（2）因为，，所以，因为，，所以，则，因为，所以，，，即，解得，故.16．（2022春·北京·高一校考期末）定义:在中，若其某一内角等于另一内角的二倍，则称为“二倍三角形”(1)若为二倍三角形，，求的面积(2)对于二倍三角形，记，用含的代数式表示的比.(3)根据（2）的计算结果，是否存在三边长皆为整数的二倍三角形?若存在，举出一例并验证;若不存在，则说明理由.【答案】(1)1或(2)(3)存在【分析】（1）若，则，求得三角形的边可得的面积；若，则，求得三角形的边可得的面积；（2）由正弦的二倍角公式和正弦的和角公式求得，再由正弦定理可得答案；（3）设，若存在三边长皆为整数的二倍三角形，则k为大于0的整数，由此可得结论.（1）因为为二倍三角形，若，则，又，所以，所以的面积为；若，则，又，所以，所以的面积为；（2）因为二倍三角形，，所以，，所以，所以；（3）存在三边长皆为整数的二倍三角形，理由如下：由（2）得，则设，若存在三边长皆为整数的二倍三角形，则k为大于0的整数，如，时，，即满足题意.所以存在三边长皆为整数的二倍三角形.17．（2022春·北京·高一校考期末）已知的面积为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①，；条件②：，.(1)b和c的值.(2)的值.【答案】(1)若选①：，；若选②：，；(2)若选①：；若选②：.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形的面积公式可求，的值，进而根据余弦定理可求的值．(2)由正弦定理可求，的值，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解的值．若选择条件②：(1)由题意可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形的面积公式可求，的值，根据余弦定理可求的值．(2)由正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的正弦公式即可求解的值．【详解】（1）若选择条件①：在中，∵，∴，，∵，，∴，由余弦定理，，∴；若选择条件②：在中，∵，∴．∵，∴，，∵，∴，由余弦定理，，∴；（2）若选择条件①：由正弦定理，可得，∴，，∵，∴，，∴.若选择条件②：由正弦定理得，∴，∵，∴，∴．18．（2022春·北京·高一统考期末）在中，，.(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)选①：不唯一；选②：；选③：【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件可得解；（2）选①，余弦定理知，知c有两个，不符合题意；选②，由正弦定理知，再利用结合面积公式即可得解；选③：由已知得，再结合余弦定理及面积公式求解.【详解】（1）利用余弦定理结合，得，即，因为，所以；（2）选择条件①：因为，，，由余弦弦定理知，即，解得或都符合三角形的性质，故此时满足条件的有两个，不符合题意.选择条件②：因为，所以因为，由正弦定理又所以的面积选择条件③：因为的周长为，，即①又，即②由①②解方程组所以的面积.19．（2022春·北京西城·高一北京师大附中校考期末）在中，.(1)求；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.条件①：；条件②：；条件③：的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定理化简即可（2）选①则不合题意；选②：根据则可得，再根据两角和的正弦公式可得，再根据高计算即可；选③：根据面积公式可得，进而用余弦定理求得，再结合面积公式求解高即可【详解】（1）方法一：在中，因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因为，由余弦定理得，整理得所以，所以.（2）选条件②：由（1）知因为在中，，所以又，所以所以设边上高线的长为h，则.选条件③：因为所以，由余弦定理得所以.设边上高线的长为h，则20．（2022春·北京·高一101中学校考期末）已知在中，所对边分别为，且.(1)若，求的面积；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得；（2）利用正弦定理及条件可求，再利用正弦定理即可求解.【详解】（1），（2）依题意，正弦定理：，所以代入计算：，则.当为锐角时，，所以，当为钝角时，，所以，综上：或.21．（2022春·北京海淀·高一统考期末）在中，，，．(1)求；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及三角形内角和，结合两角和的正弦公式即可求解；（2）利用平方关系即两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可求解.(1)解：由正弦定理可得：,又，所以，整理得：，因为，所以，而B为三角形内角，故.(2)解：因为，所以或，又，，所以当时，，不符合题意，故，，由正弦定理得，即，解得，故的面积为：.22．（2022春·北京·高一清华附中校考期末）中，已知.边上的中线为.(1)求；(2)从以下三个条件中选择两个，使存在且唯一确定，并求和的长度.条件①：；条件②；条件③.【答案】(1)(2)选择条件②和条件③；.【分析】（1）利用三角恒等变换对已知等式进行化简，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用余弦定理可判断条件①错误；根据条件②和条件③，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，进而得到，在中利用余弦定理可得.【详解】（1）解：因为，则，，又，解得：，故.（2）解：由（1）得，又余弦定理得：，所以，而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误，由条件②，条件③，解得，由余弦定理可得，所以.在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，因为为边上的中线，所以，在中，由余弦定理可得，解得.故.23．（2022春·北京平谷·高一统考期末）在△ABC中，．(1)求的大小；(2)若，．求，并计算的面积；从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)若选①：，；若选②：，.【分析】（1）由条件结合正弦定理可得，然后利用三角函数的知识可得答案；（2）若选①，由余弦定理求出，然后可得答案；若选②，首先求出，然后求出，然后可得答案.【详解】（1）在中，因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，所以，在中，，所以，因为，所以.（2）若选①，，则在中，由余弦定理，得，解得或（舍）．所以．因此若选②，，则，由正弦定理，得，解得．24．（2022春·北京大兴·高一统考期末）在中，.(1)若，求；(2)若存在且唯一确定，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)或【分析】（1）由，利用余弦定理求得角，然后利用余弦定理求得的值，然后利用正弦定理求得；（2）存在且唯一确定，则，或，从而求得的范围.【详解】