第八章立体几何初步（提分小卷）-2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（人教A版2019）

第八章立体几何初步提分小卷（考试时间：40分钟试卷满分：65分）一、单选题(共25分)1．（2021·广东中山·模拟预测）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】画出直观图，梳理条件，再画出截面图，从中找到等量关系，求出外接球半径，从而求出外接球的表面积.【详解】如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点，连接，交GF于点N，则N为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，设正四面体ABCD的外接球半径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，在图2中，EK=4，，，，所以由，即，解得：所以过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2则△BEP∽△∴，解得：∴∴正四面体ABCD的外接球表面积故选：A【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））在直三棱柱中，点M是侧棱中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】可以取的中点，连接，将异面直线与转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解.【详解】如图所示，取的中点，连接，分别为、的中点，所以为的中位线，所以，所以异面直线与就是直线与所成的角，即或其补角，因为，所以，，，在中，，，，所以.故选：B.3．（2021·湖北孝感·高二期中）如图，已知直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面含边界上的动点，且有平面，则直线与侧面所成角的正弦值的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面，可知的轨迹是过与垂直的直线在侧面内的部分，又为与侧面所成角，可得最长时直线与侧面所成角的正弦值的最小值，可得的最大值为，进而可得正弦的最小值.【详解】直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面含边界上的动点.由平面，面，∴，即的轨迹是过与垂直的直线在侧面内的部分，由及直棱柱的性质，易证：面，且，∴为与侧面所成角，当越大时越小，同时正弦值也越小，又为与的交点时最长，此时，由△∽△，可得，此时，∴直线与侧面所成角的正弦值的最小值为.故选：C.4．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意先求出，再由三棱锥的体积为，得到高，再利用正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，求出外接球的半径，球的最大截面圆为过球心的圆.当垂直于过的截面时，截面圆半径最小，求出此时半径即可求出相应的面积.即可求出过点的平面截球所得截面面积的取值范围.【详解】设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得在正中，可得.从而直角在中解得.进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过的平面截球所得截面的面积最大为；又为中点，由正方体结构特征可得由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为所以.因此，过的平面截球所得截面的面积范围为.故选：A.5．（2021·浙江·余姚中学高二期中）如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】不妨设三棱锥是棱长为2的正四面体，取中点,中点,中点，连结，过作，交于，连结，则，计算求得其余弦值或直接求得角的度数，由此能求出结果．【详解】不妨设三棱锥是棱长为2的正四面体，

取中点，中点，中点，连结，

过作，交于，连结，

则

∴，，∴，取中点，连结，则，又，平面，．．一般的，当为锐角时，由正弦函数的单调性可得，当为钝角或直角时，由于异面直线所成的角是锐角或直角，此时显然有.由直线与平面所成的角是与平面内所有直线所成的角中的最小角，可得，由于的范围是在和之间变化，因此和的大小关系不确定.故A正确，B,C,D错误故选：A．【点睛】求角的一般步骤（几何法）：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．（3）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决.二、多选题(共10分)6．（2021·全国全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，是棱上的一点，则（）A．直线始终与直线垂直B．存在点，使得直线与平面平行C．当是棱的中点时，直线与所成角的余弦值为D．当是棱的中点时，点与点到平面的距离相等【答案】BC【分析】由点与点重合时，即，由此可判断A；证明，，，四点共面，再证明，从而判断B，求出异面直线所成角的余弦值，判断C，由与的交点不是中点判断D．【详解】对于A，当点与点重合时，即，易知，且与不垂直，故A不正确；对于B，连接，因为，分别为，的中点，，而正方体中易知，所以，连接，则，，，四点共面，当是棱的中点时，由与平行且相等，与平行且相等，得与平行且相等，从而是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，即平面，故B正确；对于C，当是棱的中点时，取的中点，连接，，由都与平行得，所以或其补角为异面直线与所成的角，（注意异面直线所成角的范围）易得，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C正确；对于D，当是棱的中点时，连接，假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，设交于点，易知不是的中点，则假设不成立，故D错误．故选：BC．7．（2022·湖北·高三期末）如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（）A．三棱锥的体积恒为定值B．存在唯一的点E，使得截面的周长取得最小值C．不存在点E，使得平面D．若点E满足，则在棱上存在相应的点G，使得∥平面【答案】ABD【分析】选项A：易证平面，则点到平面的距离为定值，又底面的面积为定值，由等体积法可判断三棱锥的体积为定值，则选项A正确；选项B：将侧面翻折到与底面同一平面，得矩形，连接，与的交点即为周长最小时的点，则选项B正确；选项C：由题可证得，则只需作，即可证得，那么平面成立，则选项C错误；选项D：要使∥平面，则考虑在平面内找到一条直线与平行.将平面与长方体表面的交线作出来，这样更利用下一步构造平行四边形证明线线平行.【详解】选项A：由可证平面，则点到平面的距离为定值，又底面的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，由等体积法可判断三棱锥的体积为定值，则选项A正确；选项B：将侧面翻折到与底面同一平面，得矩形，连接，与交于点，即为周长最小时的点，则选项B正确；选项C：连接，在底面内过点作，交于点，又由长方体可知平面，则，由可证得平面，则连接，由可知四边形是正方形，则，因，则平面，选项C错误；选项D：当时，在棱上取点，使，连接，则可证得四边形为平行四边形.过点作，交棱于点，则四边形为平行四边形，.又过点作，交于点，连接，再过点作，交于点，则四边形也为平行四边形，，则，连接，则四边形为平行四边形，.因平面，平面，则选项D正确.故选：ABD.三、填空题（共10分）8．（2021·广东·顺德市李兆基中学高二期中）点E、F、G分别是正方体的棱、、的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②过点、、的截面是正方形；③点P在直线上运动时，总有；④点Q在直线上运动时，三棱锥的体积是定值；【答案】③④【分析】以三棱锥为例判断①，根据四边形的形状判断②，根据棱锥的体积公式判断③；根据平面判断④.【详解】解：以三棱锥为例，则此三棱锥的4个面均为直角三角形，故①错误；，且，过点、、的截面为矩形，故②错误；，，平面，当在直线上运动时，平面，，故③正确；当在直线上运动时，△的面积为定值，到平面的距离为定值，的体积是定值，故④正确．故答案为：③④．9．（2021·黑龙江·哈师大附中高三期中（理））如图，在边长为2的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结,，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）①四棱锥的体积的最大值为；②当面平面时，二面角的正切值为；③存在某一翻折位置，使得；④棱的中点为，则的长为定值．【答案】①②④【分析】当面平面时，四棱锥的高取得最大值,此时体积达到最大值，经计算可知①正确；作出二面角的平面角，经计算可知②正确；利用反证法可知③不正确；取的中点，连，，，可得，经计算可知④正确.【详解】在翻折到的过程中，因为四棱锥的底面积为定值，定值为，所以当四棱锥的高取得最大值时，其体积达到最大，当面平面时，四棱锥的高取得最大值,其最大值为直角三角形的斜边上的高，其值为，所以四棱锥的体积的最大值为，故①正确；当面平面时，过作，垂足为，则平面，所以，过作，垂足为，连，因为，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，因为，所以，在直角三角形中，，所以，所以，所以二面角的正切值为，故②正确；连接，如图：假设，因为，，所以平面，所以，所以，又，二者相矛盾，故假设不成立，故与不垂直，故③不正确；取的中点，连，，，如图：因为，，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，在直角三角形中，，所以，即CN的长为定值，故④正确.故答案为：①②④.四、解答题（共20分）10．（2021·上海·位育中学高二期中）如图，在斜三棱柱中，，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.（1）求证：平面平面；（2）已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值.【答案】（1）证明见解析（2）时，体积最大为36【分析】（1）由平面与平面平行的判定证明；（2）结合几何关系（线面垂直、相似三角形）设法先求出，再求出的体积，由体积对应关系推导出，利用函数思想通过二次函数求最值．（1）证明：在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，且为的中点，为的中点，且，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，连接，如图所示，，且，则四边形为平行四边形，，且平面，平面，平面，，且，平面，平面平面；（2）

，为的中点，，平面平面，平面平面，且平面平面，，平面，平面，平面，与平面的距离，平面，，在△中，，则，，平面，则平面，而平面，，且，又，，平面，平面，且平面，，记交点为，则三角形为直角三角形，△，且，，，，，，，，，设，即，当时，即，三棱柱的体积最大，36.11．（2021·浙江·镇海中学高一期中）如图，在直三棱柱中，．（1）求证：；（2）若与的所成角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）或【分析】（1）将棱分别向下延长，使得，连接，由等腰三角形三线合一可证得，进而可证得，从而证得；（2）设，，由与的所成角得余