专题01空间直线与平面（难点）-2021-2022学年高二数学挑战满分期中冲刺卷（2020）（原卷版）

专题01空间直线与平面（难点）一、填空题1．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.2．已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥VABCD可绕着AB任意旋转，AB平面，M是CD的中点，，点V在平面上的射影点为O，则的最大值为_______3．已知点在二面角的棱上，点在半平面内，且，若对于半平面内异于的任意一点，都有，则二面角大小的取值的集合为__________.4．如图，在四面体中，分别为的中点，过任作一个平面分别与直线相交于点，则下列结论正确的是___________．①对于任意的平面，都有直线，，相交于同一点；②存在一个平面，使得点在线段上，点在线段的延长线上；③对于任意的平面，都有；④对于任意的平面，当在线段上时，几何体的体积是一个定值.5．如图，在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是______.6．已知三棱柱中，棱长均为，顶点在底面上的射影恰为的中点，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为________．7．正方体中，是的中点，是线段上的一点.给出下列命题：①平面中一定存在直线与平面垂直；②平面中一定存在直线与平面平行；③平面与平面所成的锐二面角不小于；④当点从点移动到点E时，点到平面的距离逐渐减小.其中，所有真命题的序号是___________________.8．如图，在平面四边形中，为的中点，将沿折起，使得，以为球心，为半径的球与三棱锥各面交线的长度和为___________.9．如图，在矩形中，，．将，分别沿，向上翻折至，，则取最小值时，二面角的正切值是______．10．如图，在中，，，所在平面垂直平面，正方体的棱为的斜边，M为中点，在正方体绕棱旋转过程中，直线与平面所成角的正切值的最大值为________．11．在棱长为的正方体中，过对角线的一个平面交于，交于，得四边形，给出下列结论：①四边形有可能为梯形；②四边形有可能为菱形；③四边形在底面内的投影一定是正方形；④四边形有可能垂直于平面；⑤四边形面积的最小值为.其中正确结论的序号是_____________12．如图，在长方体中，，，是与的交点，、分别为下底面、上底面上的点，且.现给出下列结论：①直线与底面所成的角为；②异面直线与所成角的最大值为；③异面直线与所成角的最小值为；④三棱锥的外接球的体积为.其中正确结论的序号是_______.二、单选题13．如图所示，已知△，是的中点，沿直线将△翻折成△，所成二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．14．如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（）A．B．三棱锥的体积为定值C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D．DP与平面所成角的正弦值最大为15．已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：①线段MN的长度为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③的余弦值的取值范围为；④周长的最小值为．其中正确结论的为（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④16．已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在四边形内（包括边界）运动，则下列说法正确的个数是（）①若是线段上，则三棱锥的体积为定值②若在线段上，则与所成角的取值范围为③若平面，则点的轨迹的长度为④若，则与平面所成角正切值的最大值为A． B． C． D．17．如图，四边形中，，，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界），记二面角的平面角大小为，直线､与平面所成角分别为､，则（）A． B．C． D．18．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角是则三个角，，中最小的角是（）A． B． C． D．不能确定三、解答题19．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的正方形，ACC1A1是菱形，，且平面BB1C1C垂直平面ACC1A1，M为A1C1中点．（1）求证：平面MBC⊥平面A1B1C1；（2）求点C1到平面MB1C的距离．20．如图1，是直角三角形，是直角，，是的中点，的平分线交于点，现沿将折成二面角，如图2.（1）若折成直二面角，求的长度；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，．（Ⅰ）判断点在的位置并说明理由；（Ⅱ）记直线与平面的交点为，求的值；（Ⅲ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的平面角的正切值．22．已知矩形中，，，为线段上一点（不在端点），沿线段将折成，使得平面平面．（1）证明：平面与平面不可能垂直；（2）若二面角大小为60°，（ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（ⅱ）求三棱锥的外接球的体积．23．一块边长为8的正方形纸片，按如图所示将阴影部分剪下，将剩余的四个底边长的全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥（注：底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心的四棱锥），为底边的中点.（1）过棱锥的高及点作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为，求的最大值及取最大值时对应的值；（2）当（1）中的取最大值时，在该棱锥的底面上是否存在动点，使得？若存在，计算动点的运动轨迹的长度；若不存在，请说明理由.24．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）证明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBE的距离；（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.25．如图所示的几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，已知，线段与交于点，，分别为线段，的中点，平面平面，平面．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若是边长为2的等边三角形，，求直线与平面所成角的正弦值．26．如图，在平面四边形中，，，且为等边三角形.设为中点，连结，将沿折起，使点到达平面上方的点，连结，，设是的中点，连结，如图.（1）证明：平面；（2）若二面角为，设平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值.27．如图，四棱锥中，底面，点在线段上，且.(1)求证:平面；(2)若,求四棱锥的体积；(3)若，作于F，作于,当变化时，求三棱锥体积的最大值.28．如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱长上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥的体积减去棱锥的体积.）29．已知四边形是矩形，，将沿着对角线AC翻折，得到，设顶点在平面上的投影为O.（1）若点O恰好落在边AD上，①求证：平面；②若，，当BC取到最小值时，求k的值；（2）当时，若点O恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.30．如图为某一几何