《概率》高考真题再现

高中数学精选资源1/25《概率》高考真题再现知识网络建构高考真题再现考点1古典概型的概率1.古典概型在高考中出现的频率比较高，大多背景简单，题目难度一般为容易或中等，列举出样本点，代入公式即可计算，意在考查学生列举样本点的能力及用古典概型解决实际问题的能力，体现数学运算、数学建模等核心素养.2.一般以选择题或填空题的形式进行考查，近几年以解答题形式出现的频率越来越高，在高考中分值一般为5分，属于容易题或中档题.例1（2018·全国Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.B.C.D.解析不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，所有可能的结果如下所示：，，，，共有45种情况，而和为30的有这3种情况.所以所求事件的概率为.答案C例2（2019·全国Ⅱ）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A.B.C.D.解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为，未测量过这项指标的2只为，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为，，,,共10种可能其中恰有2只测量过该指标的情况为，,,共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为.答案B考点2互斥事件、相互独立事件的概率1.互斥事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率等基本概率类型也是高考常考知识点，试题为选择题或解答题的一部分.值得注意的是高考试题设计背景在稳定中探求创新性.2.一般以选择题、填空题或解答题的一部分的形式进行考查，在高考中分值一般为5分，属于容易题或中档题.例3（2018·全国Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析根据互斥事件的概率的计算公式求解，由题意可知不用现金支付的概率为.答案B例4（2019·全国Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是________.解析甲队以获胜，甲队在第5场（主场）获胜，前4场中有一场输.若在主场输一场，则概率为；若在客场输一场，则概率为.甲队以获胜的概率为.答案0.18例5（2019·全国Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每贏一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立，在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求；（2）求事件“且甲获胜”的概率.解析（1）对应事件为某局双方10：10打平后，两人又打了2个球该局比赛结束，2个球均由甲得分，或均由乙得分.（2）且甲获胜对应的事件为前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.答案（1）就是某局双方10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此.（2）且甲获胜，就是某局双方10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为.考点3利用频率估计概率1.高考对用随机事件发生的频率来估计随机事件发生的概率进行考查时，常与统计的知识相结合，多以解答题的形式出现，解决该类问题的关键是准确统计随机事件发生的频率，或从图表中求出频率，然后用频率估计概率，落实数据分析、数学运算、直观想象等数学核心素养.2.一般以解答题的形式进行考查，在高考中分值一般为12分，属于容易题或中档题.例6（2019·全国I节选）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率.解析将用频率估计概率融入实际生活中解决问题，以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果根据列联表确定相应的频率，即为所求的概率.答案由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.例7（2017·全国Ⅲ改编）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解析（1）理解不超过300瓶的含义，最高气温在25以下的三个区间均满足，选对区间，用频率估计概率即可.（2）由于最高气温影响需求量，超过需求量的部分降价处理，从而影响利润，故需分段计算.答案（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为.所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25.则；若最高气温位于区间,则；若最高气温低于20，则,所以，Y的所有可能值为900，300，.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.考点4统计概率的综合问题1.“统计与概率”在实际生活中有广泛的应用，是高中数学中重要的内容.课程改革以来，“统计与概率”不论是从内容的设置、教学的要求上，还是从高考的考查方向等都发生了很大的变化.以高考试题中“统计与概率”的内容为切入点，研究“统计与概率”试题的特点.概率的考查要多于统计的考查.试题背景大多来源于学生所熟悉的实际生活，体现了试题背景的公平性原则.对试题的来源进行追溯，可以发现高考“统计与概率”试题主要来源于教材而又高于教材.2.统计与概率结合在一起考查，常以解答题的形式出现，在高考中分值一般为12分.例8（2018·全国I）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图（如图所示）；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）解析（1）根据频率分布表，计算出频率，进而计算出,画出频率分布直方图.（2）通过计算小矩形的面积和，估计日用水量小于0.35的概率（3）计算使用节水龙头前和使用节水龙头后