1014概率的基本性质（教学设计）-2021-2022学年高一数学(人教A版2019)

《概率的基本性质》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第十章《概率》，以下是本章的课时安排：第十章概率课时内容10.1随机事件与概率10.2事件的相互独立性10.3频率与概率所在位置教材第226页教材第246页教材第251页新教材内容分析教材首先在认识随机现象和随机试验的特点的基础上，利用集合论的知识，抽象出样本点、样本空间；类比集合的关系与运算，理解事件的关系与运算；通过古典概型的学习，进一步理解规律的意义，掌握建立规律模型的一般方法。事件的独立性是事件之间的一种重要的关系，它不同于事件的包含、相等、互斥和对立关系，需要用概率来定义，在实际问题中，可以利用乘法公式，求积事件AB的概率。频率的稳定性是概率论的基础，说明随机现象的规律性是客观存在的，事件发生的可能性的大小是可以度量的。我们结合具体的随机试验，通过具体的试验或借助计算机模拟试验来认识频率与概率的关系。核心素养培养通过样本点、样本空间的学习，体会数学抽象的核心素养；通过事件的关系与运算，培养逻辑推理的核心素养；通过古典概型的计算，提升数学建模和数学运算的核心素养。通过相互独立事件的判断，体会数学抽象的核心素养；通过相互独立事件同时发生的概率的计算，提升数学建模和数学运算的核心素养。通过理解频率与概率的关系，培养数据分析的核心素养。教学主线随机事件的概率前面学生学习了求随机事件的概率，本节主要研究概率的几条重要性质.1.理解概率的基本性质，培养学生数学抽象的核心素养；2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题，培养学生数学抽象、数学逻辑的核心素养。1.重点：概率的运算法则及性质2.难点：概率性质的应用（一）新知导入甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.【问题】甲获胜的概率是多少？【提示】甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3.（二）概率的基本性质知识点一概率的取值范围(1)性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.(2)性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.知识点二特殊事件的概率(1)性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．(3)性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．(4)性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．【思考1】在同一试验中，设A，B是两个随机事件，若A∩B＝∅，则称A与B是两个对立事件，此说法对吗？【提示】不对，若A∩B＝∅，仅能说明A与B的关系是互斥的，只有A∪B为必然事件，A∩B为不可能事件时，A与B才互为对立事件.【思考2】在同一试验中，对任意两个事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？【提示】不一定.只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立.【辩一辩】1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×)2.不可能事件的概率不一定为0.(×)3.必然事件的概率一定为1.(√)4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√)5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于eq\f(2,3).(√)【做一做】已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)＝________．【解析】因为A与B互斥．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.【答案】0.3（三）典型例题1.互斥事件的概率例1.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)求射中环数小于8环的概率．【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.【类题通法】1．解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出试验的样本空间及随机事件进行分析．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．【巩固练习1】在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8，10)[10，12)[12，14)[14，16)[16，18)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).【解】记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.2.对立事件的概率例2.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：(1)A＝“取出的两球都是白球”；(2)B＝“取出的两球1个白球，1个红球”；(3)C＝“取出的两球中至少有一个白球”．【解】设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球，对应的样本空间W＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．(1)A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共有6个样本点．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共有8个样本点．∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝eq\f(8,15).(3)法一：∵C＝A∪B且A，B为互斥事件，∴P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(14,15).法二：设C的对立事件为eq\x\to(C)，则eq\x\to(C)＝“取出的两球中没有白球(全为红球)”，且eq\x\to(C)＝{(5,6)}．∴P(C)＝1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).【类题通法】对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.【巩固练习2】甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.【解】(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲获胜的概率是eq\f(1,6).(2)法一设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法二设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不输的概率是eq\f(2,3).3.互斥、对立事件与古典概型的综合应用例3.某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：七年级八年级九年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19.(1)求x的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？(3)已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生少的概率.【解】(1)∵eq\f(x,2000)＝0.19，∴x＝380.(2)九年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为eq\f(500,2000)×48＝12.(3)设九年级女生比男生少为事件A，则eq\o(A,\s\up6(－))为九年级女生比男生多或九年级男生和女生同样多.九年级女生数、男生数记为(y，z)，由(2)知y＋z＝500，y，z∈N.满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共11个，事件eq\o(A,\s\up6(－))包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个.∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(6,11).因此，P(A)＝1－eq\f(6,11)＝eq\f(5,11).【类题通法】求复杂事件的概率常见的两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率．【巩固练习3】一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．【解】(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件eq\o(B,\s\up6(－))包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).（四）操作演练素养提升1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.12.根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为()A．0.65B．0.55C．0.35 D．0.753.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝()A.0.3 B.0.6 C.0.74.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．【答案】1.A2.C3.C4.eq\f(8,15)eq\f(14,15)【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第242页练习第1，2,3题第244页习题10.1第10，11,12,13,14,16,17题