第03讲函数的奇偶性对称性与周期性-2022年高考数学六大考点全面解读检测(原卷版)

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性高中教材对函数性质这块只讲述了奇偶性和单调性，但奇偶性其实是对称性的特殊情况，奇函数是点对称的特殊化，偶函数是轴对称的特殊化。随着三角函数的学习大家认识到了周期性，但是周期性并不是三角函数特有性质.在高考题中对对称性和周期性的考察比较频繁，多出现在选填题中，难度由简到难跨度比较大，本节将详细总结函数常用的性质以及涉及到的题型奇函数偶函数定义域关于原点对称解析式与互为相反数与相等图像关于原点对称关于y轴对称特殊值有意义时单调性在对称的区间上单调性相同若为奇函数，则；设则在对称的区间上单调性相反左减右增时由可得左增右减时由可得轴对称函数：若对任意的，都有则为轴对称函数，对称轴是反之若函数关于轴对称则点对称函数：若对任意的，都有则为点对称函数，对称点是反之若函数关于点对称则反函数：互为反函数的两个函数图像关于直线对称(除上海学生外其它地区学生只掌握指数函数和对数函数这一对反函数即可)反函数求法：1.由解出2.将中的互换位置，得3.求的值域得的定义域函数周期：若对任意的，都有，则为周期函数，周期为（可正可负，题目中的周期一般指的是最小正周期）常见结论：若对任意的，都有，则为周期函数，周期证明：将看作整体带入得若对任意的，都有，则为周期函数，周期证明：将看作整体带入得若对任意的，都有，则为周期函数，周期证明：将看作整体带入得若对任意的，都有，则为周期函数，周期证明：将看作一个整体则，所以若为偶函数且关于轴对称则为周期函数，周期法一：关于轴对称所以，又为偶函数即法二：画图若为偶函数且关于点对称则为周期函数，周期法一：关于点对称所以，即又为偶函数即由前面第1个结论可知法二：画图若为奇函数且关于点对称则为周期函数，周期法一：关于点对称所以，即又为奇函数即法二：画图若为奇函数且关于轴对称则为周期函数，周期法一：关于轴对称所以，又为奇函数即由前面第1个结论可知法二：画图 若函数的周期为，的周期为，则的周期为与的最小公倍数，但此时并不一定是最小正周期，需要验证1.1以函数奇偶性为主的专题【例题】1.若函数为偶函数，则.【例题】2.已知函数是奇函数，，且当时，是减函数，，则的取值范围是.【例题】3.已知定义在上的偶函数，且当时若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是.【例题】4.已知是奇函数且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是.【例题】5.设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是.【例题】6.已知函数则的解集为（）A.B.C.D.【例题】7.设函数的最大值为，最小值为，.1.2函数性质与解析式的结合【例题】1.已知为奇函数，当时，则当时，.【例题】2.已知，当时，则当时，.【例题】3.已知是定义在上周期为4的奇函数，且当时，，则当时，.1.3以点对称为主的专题【例题】1.已知函数满足：对任意的,，若函数与图像的交点为，则的值为.1.4以轴对称为主的专题【例题】1.设是定义在上的奇函数，且，若，则.【例题】2.已知函数是定义在上的奇函数，满足，若则.【例题】3.已知函数的定义域为,当时，单调递减，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（）A.BCD.1.5以函数周期性为主的专题【例题】1.已知为奇函数，为偶函数，当时则.【例题】2.函数满足，若，则.【例题】3.已知定义在上的奇函数满足，则的值为.【例题】4.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则，【例题】5.函数对任意实数满足条件若，则.【例题】6.已知函数是定义在上的偶函数，若对，都有，且当时，则.1.6反函数【例题】设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则.1.7周期性与零点问题【例题】1.已知函数满足且当时，，则与的图像的交点个数为.【例题】2.已知定义在上的偶函数满足且在区间上若关于的方程有三个不同的实数根，求的取值范围【例题】3.已知是定义在上的偶函数，当时，若函数在区间上有8个零点（互不相同）则实数的取值范围是.1.8三角函数的周期性与对称性【例题】1.（多选题）已知函数则下列说法正确的是（）A.函数关于轴对称B.函数关于点对称C.函数周期为D.函数