《距离的计算》参考课件

向量法求距离AB1、已知A(x1

,y1,z1),B(x2

,y2,z2)|AB|=其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。2.点到平面的距离已知AB为平面a的一条斜线段,n平面a的法向量.则A到平面a的距离||AB

·n||nd=αBCAnβa3.直线和它平行平面的距离n已知直线a∥平面β,求a到平面β的距离AB在a和平面β上分别任取一点A和Bn是平面β的一个法向量直线a和它平行平面β的距离为||AB

·n||nd=βa4.两个平行平面间的距离ABn||AB

·n||nd=A、B分别是a、β上的任意点，n是平面a、β的一个法向量ababAB只需在两条异面直线a、b上分别任取一点A、B。设与a、b的方向向量都垂直的向量为n则nn·a=0n·b=0∴

a、b之间的距离||AB

·n||nd=3、求两条异面直线的距离1GKFEAB1C1D1CDBAzyx例1：棱长为1的正方形ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是棱AD,AA1,A1B1,D1D的中点，①求A1D与CK的夹角；②求点B到平面EFG的距离；③二面角G—EF—D1的大小（用三角函数表示）④DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）⑤求A1D与CK之间的距离。解：以D为坐标原点DA,DC,DD1为单位正交基底建立直角坐标系。GKFEA1B1C1D1CDBAzyx①∵A1(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)∴DA1=(1,0,1),CKcosDA1=||CK·||DA1CKDA1·∴DA1与CK的夹角为②求点B到平面EFG的距离；zyxGKFEA1B1C1D1CDBA设面EGF的法向量=(x,y,z)nn·EG=0n·EF=0令x=1,得=(1,1,－1)n∴点B到平面EFG||BE

·n||nd=③二面角G—EF—D1的大小（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由②知面GEF的法向量=(1,1,－1)n而面DAD1A1法向量DC

=(0,1,0),,cosDCn在二面角G—EF—D1内是指向面GEFnDC

是背离平面DAD1A1∴二面角G—EF—D1为④DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由②知面GEF的法向量=(1,1,－1)nDD1∵=(0,0,1),cosDD1n,∴DD1n∴

DD1与平面EFG所成的角为⑤求A1D与CK之间的距离。GKFEA1B1C1D1CDBAzyxA1D∵=(－1,0,－1)=(x,y,z)n且设令x=2,得=(2,－1,－2)nGKFEA1B1C1D1CDBAzyx=(2,－1,－2)n∴A1D与CK之间的距离||DK

·n||nd=例2正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面边长为4,侧棱长为5,P为CC1上的任意一点.①求证:BD⊥AP②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。zyxA1B1C1D1CDBAP①证明：以D为坐标原点建立如图所示坐标系。∴A(4,0,0),B(4,4,0)D(0,0,0)由已知可知P(0,4,z)APBD=(－4,4,z),=(－4,－4,0),AP·BD=16－16=0

AP⊥BD

AP⊥BD②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。解：P(0,4,3)B1(4,4,5)zyxA1B1C1D1CDBAPAP=(－4,4,3)PB1=(4,0,2)令平面APB1的法向量为=(x,y,z)nn·n·AP=0PB1=0由令x=2得=(2,5,－4)n而面BCPB1的法向量为CD的方向向量=(0,1,0)m,cosmn在二面角A—B1P—B内是指向平面APB1nzyxA1B1C1D1CDBAP在二面角A—B1P—B内是指向平面APB1nm在二面角A—B1P—B内是背离平面BCPB1故二面角A—B1P—B的平面角为,mn不妨令二面角A—B1P—B的平面角为αtanα∴二面角A—B1P—B的正切值为例3在三棱锥D—ABC中,底面△ABC是等腰直角三角形,侧面△DBC是等边三角形,平面DBC⊥平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为BD,AD中点。①求二面角F—CE—D的大小；②求点B到平面CEF的距离；③直线CE与平面ABC所成的角；O解：找BC的中点O,连AO,DO∵△ABC是等腰三角形∴AO⊥BC于ODO⊥BC于O∴DO⊥面ABC故可以以O为坐标原点OA、OC、OD分别为x,y,z轴建立如图所示的直角坐标系zyxBFEDACABCOxyxOzyBFEDACABCOxy设面EFC的法向量=(x,y,z)nn·CE=0n·EF=0由令x=1因OA⊥面BCD,故=(1,0,0)为面BCD的一个法向量mxOzyBFEDACm=(1,0,0)在二面角F—CE—D内指向面EFC,nm在二面角F—CE—D内是背离面BCD∴二面角F—CE—D的大小等于即二面角F—CE—D的大小为